李燕飛，郭海艷，吳 濤，毛軍軍

（安徽大學數學科學學院，合肥230601）

引 言

多屬性決策問題就是從若干個屬性考慮，綜合評價多個備選方案，從而取得使決策者滿意的方案排序的過程。2011年，Zadeh［1］提出了Z?number理論，Z?number不僅對評價對象作出了評價，還給出了評價結果的可靠性，因而在很多領域得到了廣泛應用。后來很多學者對Z?number進行了大量研究，文獻［2?3］討論了離散型Z?number和連續(xù)型Z?number的運算問題，包括加減乘法除、開平方根以及其他的一些運算操作，文獻［4］提出了一種Z?number向經典模糊集的轉化模型。通過這種操作，可以將模糊集環(huán)境下的決策方法應用到Z?number環(huán)境中去；1995年，李德毅等［5］首次提出了云模型這個概念，討論了云模型的技術實現以及具體的應用場合，文獻［6］論證了正態(tài)云模型的普適性，以及為什么云模型能夠快速完成定性概念與數值之間的轉換；文獻［7］將多專家在多準則下給出的自然語言評價信息轉化為用云模型表示的評價信息，再以云模型的相對距離的大小為準繩，對備選方案進行優(yōu)先級別的排序，最終選出了最優(yōu)方案。

比利時學者Brans等［8］提出了豐富度評估的偏好排序組織方法（Preference ranking organization method for enrichment evaluation，PROMETHEE）的決策方法，在該決策方法中，每一個屬性對應的偏好函數可以根據決策者自己的偏好來進行選擇或者由決策者自己定義。然后依據偏好函數和屬性權重定義方案之間的優(yōu)先指數，下一步計算每一個方案的正方向和負方向的優(yōu)先級別數值，最后計算出每一種方案的綜合優(yōu)先級別值，得到方案的最終排序。語言變量中的不確定性主要來自其模糊性與隨機性，而目前對于Z?number的研究大多都只考慮到其模糊性未考慮其隨機性，將云模型與Z?number結合可以很好地解決這個問題。與應用最多的TOPSIS決策方法比較，PROMETHEE更加看重被評估對象各屬性間的差異，因此本文將云模型與PROMETHEE決策方法結合，應用到語言型Z?number環(huán)境下的決策問題中。

針對評價信息為語言型Z?number，且各屬性的權重完全未知的多屬性決策問題，本文介紹了一種基于云模型與PROMETHEE方法思想的決策方法。處理這種問題面臨兩個難點：（1）如何將語言型Z?number向云模型的轉化；（2）如何利用云模型評價信息矩陣進行PROMETHEE決策。為解決這些問題，首先，引入語言尺度函數，然后利用其建立轉化模型完成語言型Z?number向云模型的轉化，然后，通過定義云可能度函數，建立屬性權重求解公式及構建正弦偏好函數，進而計算方案的優(yōu)先指數，最終完成PROMETHEE決策方法的決策過程。

1 相關概念

本節(jié)介紹了與研究相關的基本概念，包括語言術語集、語言尺度函數、Z?number和云模型的概念。

定義1語言術語集［9］

S={si|i=0，1，2，…，2t，t∈N}為一個有序的，基數為奇數的離散的語言集合，si代表語言變量的可能取值，如果sl，sj∈S滿足下面的性質，那么集合S就是一個語言術語集［10］。

（1）sl>sj，當且僅當l>j；（2）滿足負運算，neg(sl)=sj，l+j=2t。

定義2語言尺度函數［9］

假設S是一個語言術語集，且si∈S，另有數值θi∈[0，1]，語言尺度函數H為從語言術語集元素si到數值區(qū)間[0，1]的映射

這里0≤θ0≤θ1≤…≤θ2t≤1。θi取值的大小反映了決策者對于語言術語si這個評價信息的偏好，因此，語言尺度函數是對語言術語si語義的一種定量轉換。隨著集合S中元素下標i的嚴格遞增，H也嚴格增。這里給出了兩種類型的語言尺度函數［11］，即

在所給的語言術語集從中間往兩邊延伸的過程中，H1(si)的絕對偏差遞減，H2(si)的絕對偏差遞增。

定義3Z?number［1］

X是一個實值不確定變量，Z?number是一個有序的模糊數對，記作Z=(A，B)，第1個模糊數A是實值不確定變量X取值的模糊限制，第2個模糊數B是對A的可靠性的模糊限制。一般來說，可以用自然語言描述A和B。例如，（一般，確定）和（好，非常確定）就可以看做是2個語言型的Z?number。

定義4云模型［5］

設U為一個定量的論域，因此它具有精確數值，C表示論域U上的一個定性概念，如果x是論域U上的數值，且它正好是C的一次隨機實現，并且有x的分布函數滿足x～N(E x，E'n2)，x隸屬于C的確定程度是一個隸屬分布，滿足

這樣x在U上的分布叫做正態(tài)云分布，一顆云滴可以記作(x，y)。云模型的主要性質可以通過云模型的期望E x，熵E n，超熵H e這3個數字特征反映，因此一個云模型被記作C=(E x，E n，H e)。其中，期望E x是定性概念C在定量論域U上的期望，反映了定性概念C的核心點；熵E n體現了定性概念下隨機實現的不確定程度，同時決定 了云滴的離散程度；超熵H e是熵的不確定性測度，也決定了云層的厚度。

2 Z?number向正態(tài)云模型的轉化

本節(jié)提出了將語言型Z?number轉化為正態(tài)云模型的方法。首先，將描述Z?number的模糊限制和可靠性度量的語言術語集轉化為正態(tài)云模型，然后將2個正態(tài)云模型進行融合形成新的正態(tài)云模型。

2.1 語言變量向正態(tài)云模型的轉化

在實際決策問題中，想要對定性概念進行比較就要將其轉化為對應的定量數值形式，云模型使用3種數值特征來表達語言術語中的概念，使定性概念與定量值之間的客觀轉換更加直接。文獻［12］提出了基于黃金分割率的方法，產生5個云模型來定義語言尺度，但是這種方法有局限性，只適用于5個標簽的語言術語集。文獻［13］根據正態(tài)分布的3σ原則確定定性概念的熵與超熵，應用這種方法會發(fā)現語言術語越靠近中間熵值越小，這顯然與人們對語言的模糊性理解有出入。因此，本文發(fā)展了一種新的轉化方法，克服了以上幾種方法的缺陷，方法描述如下：

設S={si|i=0，1，2，…，2t，t∈N}是一個有序的，奇基數的離散的語言集合，對應的取值區(qū)間為U=[Xmin，Xmax]，si是語言術語集S中的一個標簽，語言尺度函數H(si)是從si到θi的映射，描述語言術語si的標準云模型用Ci=(E x i，E ni，H ei)表示，則C i可以通過下述步驟算出。

（1）根據語言尺度函數計算θi，θi=H(si)；

（2）計算E x i。根據有效區(qū)間U=[Xmin，Xmax]，計算期望E x i的取值，E x i=Xmin+θi(Xmax-Xmin)；

（3）計算E ni。記一個云 滴 為(x，y)，其 中x～N(E x，E'n2)。由正態(tài)分布的3σ法則，可得3E'ni≤max{Xmax-E x i，E x i-Xmin}，這里取

又 由 于E'n～N(E n，H2e)，E n，i可 以 視 為E'n，i，E'n，i-1，E'n，i+1的 均 值，故 有E n，i=(E'n，i-1+E'n，i+E'n，i+1)/3，其中i=1，2，…，2t-1，E n0=(E'n0+E'n1)/2，且E n，2t=(E'n，2t-1+E'n，2t)/2。

（4）計算H e，i。因為E'n～N(E n，H2e)，H e也遵從正態(tài)分布的3σ法則，可以取得H e，i=(maxi{ }E'n，i-E n，i)/3。

2.2 語言型Z?number向正態(tài)云模型的轉化

例1假設S=｛s0=非常差，s1=差，s2=有點差，s3=中等，s4=有點優(yōu)，s5=優(yōu)，s6=非常優(yōu)｝。S'=｛s'0=非常不確定，s'1=不確定，s'2=輕微不確定，s'3=中立，s'4=輕微確定，s'5=確定，s'6=非常確定｝。若Z1=（s3，s'6），有效區(qū)間為U=［0，5］，兩個集合的語言尺度函數分別取f(si)=H1(si)，g(s'i)=H2(s'i).

應用上面的模型，對于這個Z?numberZ1，可以計算得到E x=2.5，E n=0.833 5，H e=0；E'x=1，E'n=0.104 0，E x=2.5，E n=0.833 5，H e=0；E'x=1，E'n=0.104 0，H'e=0，因此ZC=（2.5，0.837 0，0.022 2）。1 500個云滴的正態(tài)云模型ZC可視化的表示可見圖1。

圖1 Z-number Z1=(s3,s'6)的標準云模型表示Fig.1 Z-number Z 1=(s3,s'6)described by normal cloud

3 云可能度函數與權重確定模型

為了對2個標準云模型進行比較，文章提出了云可能度函數，然后，使用云可能度函數計算各方案各屬性下的云評價的差異，最后通過各屬性優(yōu)指數在總優(yōu)先指數中的占比來確定各屬性權重。

3.1 云可能度函數

且滿足以下3個性質

（1）P(Ci≥Ci)=0.5；

（2）P(Ci≥Cj)+P(Cj≥Ci)=1；

（3）如果P(Ci≥Cj)≥0.5，P(Cj≥Ck)≥0.5，P(Ci≥Ck)≥0.5。

性質（1）和（2）顯然成立，此處省略其證明。性質（3）證明如下

據此，性質（3）得到證明。

3.2 權重確定模型

假設決策方案為A i，i=1，2，…，n。決策屬性為aj，j=1，2，…，m，Cij表示專家對各備選方案在決策屬性下云模型評價信息。最大差異方法是一種較為直接的屬性權重確定方法，如果屬性aj在各方案的評估結果中明顯不同，那么屬性aj對于區(qū)別這兩個方案就會有較大的貢獻，因而可以給aj更大的權重，基于該思想建立如下權重確定公式

4 決策模型建立

4.1 決策思路

本文基于標準云模型和PROMETHEE方法提出了一種新的決策方法，目的在于更好地處理語言型Z?number環(huán)境下的多屬性決策問題。

利用第2節(jié)中的轉化模型將語言型Z?number評價信息轉化為正態(tài)云模型，接著，將所有備選方案根據定義的云可能度函數在屬性aj下兩兩比較，得到方案A i對于方案A k的優(yōu)勢信息，云可能度函數是取值范圍為[0，1]的函數，方案A i對于A k的云可能度大小與方案A i優(yōu)于A k的程度正相關。云可能度P(Cij≥Ckj)>0.5時，表示在屬性aj下方案A i是嚴格優(yōu)于A k的；云可能度P(Cij≥Ckj)=0.5時，在屬性aj下方案A i與A k是沒有差異的；云可能度P(Cij≥Ckj)<0.5時，表明在屬性aj下方案A i是嚴格劣于方案A k的。文獻［8］提出了PROMETHEE方法的6種優(yōu)先函數，根據決策者偏好，決策者也可以自己定義優(yōu)先函數［14］，本文方法利用的是正弦屬性偏好函數。因此，方案A i在屬性aj下對于方案A k的優(yōu)先指數計算方法如下

通過式（5）求得各屬性權重后，再根據式（8）計算出備選方案A i對于方案A k的綜合優(yōu)先指H(A i，A k)

式中：正方向的優(yōu)先級別值?+(A i)代表方案A i優(yōu)于其他所有方案的程度，優(yōu)先級別負方向的值?-(A i)代表方案A i劣于其他所有方案的程度。兩方案A i與A k進行比較時，當且僅當?+(A i)=?+(A k)，?-(A i)=?-(A k)同時成立，兩方案無差異；當且僅當?+(A i)≥?+(A k)，?-(A i)≤?-(A k)同時成立，方案A i優(yōu)于方案A k；其他情況下，兩種方案是不可比較的。根據式（10）計算方案A i的綜合優(yōu)先級別值

?(A i)

根據各方案的綜合優(yōu)先級別值可以得出方案的完全排序。

4.2 決策步驟

基于上述討論，本文提出的標準云模型與PROMETHEE方法的語言型Z?number多屬性決策方法步驟如下：

步驟3通過式（5）求出每個屬性的權重w=(w1，w2，…，w m)。

步驟4使用式（7，8）計算方案A i相對于A k的優(yōu)先指數H(A i，A k)。

步驟5使用式（9，10）計算每個方案的綜合優(yōu)先級別值，方案的綜合優(yōu)先級別值越大，則該方案的排名就越靠前。

5 決策實例

5.1 決策過程分析

應用本文提出的方法對某地區(qū)4個區(qū)域潛在空氣污染程度［13］進行研究，4個區(qū)域分別記為A1，A2，A3，A4，分別對其4個屬性進行評估，分別為：風力a1、降水量a2、大氣壓a3、濕度a4，4個屬性均為效益型，其權重完全未知。模糊限制與可靠性度量對應語言術語集分別為S=｛s0=非常不適宜，s1=不適宜，s2=輕微不適宜，s3=中等，s4=輕微適宜，s5=適宜，s6=非常適宜｝。S'=｛s'0=十分不確定，s'1=不確定，s'2=輕微不確定，s'3=中立，s'4=輕微確定，s'5=確定，s'6=非常確定｝。表達對對象的模糊限制。此外，專家語言型Z?number評估矩陣見表1。

在應用本文提出的決策模型評估4個地區(qū)空氣潛在污染的過程中f(si)=H1(si)，g(s'i)=H2(s'i)，決策步驟如下：

步驟1由于各屬性均為效益型準則，故評價矩陣不需要再進行規(guī)范化操作，所以有A=

表1 專家語言型Z?number評價矩陣Table 1 Linguistic Z?number evaluation matrix giv?en by the expert

步驟2轉化模型中對于模糊限制，語言尺度函數為f(si)=H1(si)，對于限制的可靠性度量語言尺度函數為g(s'i)=H2(s'i)，利用第2節(jié)轉化模型將專家評價語言型Z?number轉化為標準云模型，得到云信息的決策矩陣

步驟3通過式（5）計算各個屬性的權重：w=(0.266 2，0.363 6，0.220 5，0.149 7)。

步驟4利用式（7，8）計算方案A i對于A k的優(yōu)先指數H(A i，A k)，計算結果如表2所示。

步驟5利用式（9，10）得到各方案的綜合優(yōu)序級別值，分別為?(A1)=0.103 1，?(A2)=-0.003 4，?(A3)=0.056 9，及?(A4)=-1 567，可知最優(yōu)方案排序為A1?A3?A2?A4。

5.2 決策方法比較

利用本文提出的語言型Z?number向正態(tài)云模型的轉化模型結合文獻［15］提出的云模型TOPSIS方法和文獻［16］介紹的基于正態(tài)云相似度的語言型多屬性群決策模型以及文獻［13］提出的語言Z?number環(huán)境下的利用云模型的多準則決策方法對上面的例子進行決策，這里，取屬性權重為w=(0.266 2，0.363 6，0.220 5，0.149 7)。

（1）基于文獻［13］提出的方法進行決策，得到例子中4個方案的貼近系數值分別為因此得到方案的最終排序為A3?A4?A1?A2。

（2）基于文獻［15］提出的方法進行決策，讓云滴數N=1 000，然后通過計算得到各方案與正理想解的距離再根據方案的相對貼近度D得到各方案的最終排序結果，由表3可知方案的最終排序為A1?A4?A3?A2。

表2 各個方案之間的優(yōu)先指數Table 2 Comparison of priority index of each alter?native

表3 不同方案與理想間的相對貼近度值Table 3 Values of relative closeness between each al?ternative with ideal

（3）基于文獻［16］提出的方法進行決策，可以求得各屬性的綜合相似度矩陣P為

加權之后得到各方案綜合相似度為S1=0.444 5，S2=0.327 0，S3=0.310 1，S4=0.401 6。因此方案的排序為：A1?A4?A2?A3。幾種方法終最結果對比見表4。

分析表4可以得知，對于語言型Z?number環(huán)境下的多屬性決策問題，應用本文模型的排序結果與利用文獻［15?16］提出的模型的排序結果最優(yōu)方案相同，文獻［13］模型得出的最優(yōu)方案在本文排序結果中也是次優(yōu)的方案，由此證明了本文提出的決策模型的有效性。已有的3種方法與本文方法的主要區(qū)別在于已有的3種方法在比較云模型時做到的是度量2個標準云模型的差異程度，而本文提出的方法則可以直接比較2個云模型的優(yōu)劣程度；另外本文模型改進了語言術語集向標準云模型的轉化方法，縮減了單個語言術語的云的覆蓋范圍。

表4 4種決策方法結果對比Table 4 Ranking results by the four methods

6 結束語

語言型Z?number不僅給出了備選方案在各屬性下的語言評價，同時給出了這些評價信息的可靠性，本文將云模型與PROMETHEE方法相結合，應用于語言型Z?number環(huán)境下的多屬性決策問題，充分利用了語言型Z?number蘊含的信息，將PROMETHEE方法擴展至語言型Z?number環(huán)境，提出了云可能度函數和基于云可能度函數的屬性權重確定模型。該方法思路清晰，可操作性和實用性強，為語言型Z?number環(huán)境下的決策及其他問題引入了一種新的視角和解決決策問題的新思路；同時，在其他環(huán)境下的云模型方法決策同樣具有實用價值。本文尚存在不足，首先Z?number向云模型的轉化過于依賴語言尺度函數，未能更好挖掘Z?number內在的不確定性；其次，決策時沒有考慮屬性之間的相關性，也未能充分挖掘評價數據中的潛在信息；最后本文未對群決策問題進行討論，多專家情況下本文方法還有待拓展。上述問題將在進一步的研究工作中繼續(xù)探討。