盧立河，王世杰

（沈陽工業(yè)大學機械工程學院，遼寧沈陽 110870）

潛游螺桿泵轉子反饋的軸向載荷均由置于球鉸型自動調心聯(lián)軸體[1]中的推力軸承承受，根據(jù)現(xiàn)階段數(shù)據(jù)統(tǒng)計，系統(tǒng)軸向力的總和為50～120 KN不等[2]，且隨著螺桿泵采油系統(tǒng)下潛深度等進一步的增加，施加在推力軸承上的軸向力也將隨之增加[3]，因此軸承的疲勞壽命將面臨著高負載嚴峻考驗，可見推力軸承的使用工況苛刻，導致現(xiàn)行標準軸承的使用壽命短。

由于井下機組部分維護、維修困難，成本較高且系統(tǒng)零部件的壽命均具有“短板效應”，一旦軸承發(fā)生失效，必然導致井下機組的使用壽命降低，系統(tǒng)整體使用壽命也將隨之降低，這將大大影響系統(tǒng)的推廣與使用，同時其他部件也因提前更換而導致成本的增加；從等壽命及可靠性原則的角度上考慮，軸承壽命是決定系統(tǒng)整體使用壽命的關鍵[4]。文章通過Hertz 彈性接觸理論解和有限元仿真計算結果的對比，分析軸承在載荷作用下的接觸問題。

1 Hertz彈性接觸理論

Hertz 彈性接觸理論[5]，作了以下假設，成功地解決了滾動軸承接觸應力、變形的計算問題，這些假設對于滾動軸承內部的接觸問題而言是基本上成立的。

（1）材料是均質的；

（2）接觸區(qū)的尺寸遠遠小于物體的尺寸；

（3）作用力與接觸面垂直（假設接觸區(qū)域無摩擦）；

（4）變形在彈性極限內進行。

由Hertz 理論可知，主曲率和函數(shù)及主曲率差函數(shù)如公式(1)、(2)所示。

主曲率和函數(shù)∑ρ：

主曲率差函數(shù)F(ρ)：

式中：ρ1I、ρ1II為球型滾動體在兩個主平面上的曲率；ρ2I、ρ2II為軸圈、座圈內滾道在兩個主平面上的曲率；Dw為球型滾動體直徑；ri為溝道曲率半徑。

橢圓接觸面的長半軸、短半軸長度分別為a、b，彈性趨近量為δ，計算公式如(6)、(7)、(8)所示：

式中：σ、v、ω為橢圓接觸區(qū)尺寸系數(shù)；E1、E2為軸承滾動體和滾道的彈性模量；μ1、μ2為軸承滾動體和滾道的泊松比；Q 為推力球軸承滾動體承受的軸向載荷，一般情況下指承載最大載荷的滾動體：

式中：Fa為施加于軸承的外部軸向載荷；Z 為滾動體數(shù)目；α為承載時的接觸角（°）。

由于公式(6)、(7)、(8)求解繁瑣，重復性計算大大增加了工作量。由于本文所研究的推力球軸承型號為51410，材料為軸承鋼GCr15，在工程上可使用經帕姆格林（A.Palmgren）優(yōu)化計算式簡化后的公式進行求解，大大縮減了工作量，且計算所得數(shù)據(jù)相等，這是因為滾動軸承的材料一般為軸承鋼，可見經簡化后的公式十分便于求解，公式(10)、(11)、(12)即為橢圓接觸面長、短半軸、彈性趨近量經帕姆格林優(yōu)化計算后的公式：

根據(jù)以上公式推導，經簡化后的赫茲接觸應力計算公式如(13)、(14)所示。

最大赫茲接觸應力：

平均赫茲接觸應力：

選取的軸承為現(xiàn)行標準下的推力球軸承51410，其相關參數(shù)如表1所示。

表1 51410推力球軸承相關參數(shù)

根據(jù)上述公式計算方法，將表中相關參數(shù)代入公式（3）、（4）、（5）、（9）可得；

將上述數(shù)據(jù)代入公式（1）、（2），因此主曲率和函數(shù)及主曲率差函數(shù)為：

由上述計算結果可知，F(xiàn)(ρ)=0.8619 ≈0.086，查赫茲接觸系數(shù)表[5]，得出如表2數(shù)據(jù)。

表2 赫茲接觸系數(shù)（E=207GPa，μ=0.3）

通過上述表2可查得，ea=0.063 30，eb=0.01178，πeaeb=2.342 × 10-3，a/b=5.38，eδ=2.047 × 10-4。

將以上數(shù)據(jù)帶入公式（10）、（11），可求得接觸橢圓的長半軸a及短半軸b分別為：

因此，接觸橢圓的長軸和短軸分別為2a=6.02 mm，2b=1.12 mm，由公式(13)求得推力球軸承滾動體最大接觸應力：

由公式(14)求得推力球軸承滾動體的平均接觸應力為：

由公式(12)求得推力球軸承滾動體的彈性趨近量為：

將赫茲彈性接觸理論計算得出的推力球軸承滾動體最大接觸應力理論解與有限元數(shù)值分析仿真計算的結果進行對比，分析有限元仿真分析結果與赫茲彈性接觸理論計算結果的差異性。

2 軸承應力有限元分析

（1）軸承模型的構建及網格的劃分

選取的軸承為現(xiàn)行標準下的推力球軸承51410，其幾何特征參數(shù)如表3所示。

表3 推力球軸承幾何參數(shù)

考慮到推力球軸承是軸對稱結構，選取軸承整體的1/Z（Z 為滾動體數(shù)目）作為分析對象，即選取軸承整體的1/8 作為分析對象，在Creo 三維軟件建立51410 推力球軸承的幾何模型，根據(jù)圣維南定理[6]進行模型簡化，在建模時忽略圓角、游隙等因素；同時為了建模方便，節(jié)約計算資源，忽略保持架對有限元分析結果的影響[7-8]，推力球軸承51410三維模型如圖1所示。

圖1 51410軸承模型

在Creo軟件中導出51410三維幾何模型，另存命名為51410.stp 格式，再導入到Ansys Workbench 仿真軟件中，首先材料設置為高碳鉻軸承鋼GCr15，其參數(shù)如下表4所示。

表4 推力球軸承材料參數(shù)

由于導入的模型粗糙不便于計算求解，此時需要對模型進行拓撲優(yōu)化處理；由于軟件無法自動識別導入的模型為1/8，此時需要自行對軸承模型進行設置軸對稱，可以采取新建Cylindrical 圓柱坐標系，利用Symmetry 功能設置軸對稱，在此基礎上用網格劃分功能自動生成網格，單元類型選擇為8 節(jié)點solid45號單元，為提高數(shù)值計算精度，需要細化網格，由于接觸是非線性問題，若是將整體進行網格細化，其計算占用的資源相當大，為節(jié)省計算機資源的同時提高效率，可以采用局部細化接觸區(qū)域網格的方法，即僅將滾動體與軸圈、座圈滾道面接觸處網格進行局部細化，可采用軟件自帶的contact sizing 進行網格細化，共劃分662 384 個網格單元,生成1 003 477 個節(jié)點，模型網格劃分如圖2所示。

圖2 網格劃分

（2）接觸對的設置

多零件表面發(fā)生接觸時，需要指定接觸對中的目標面和接觸面，由于滾動體表面為凸面，滾道面為凹面，因此設置滾動體表面為接觸面，軸圈、座圈滾道面為目標面[9]，設置滾動體與軸圈、座圈滾道面接觸類型為Frictional，在考慮良好的脂潤滑條件下設置摩擦系數(shù)為0.1。

（3）載荷與約束的施加

根據(jù)軸承的實際工況進行模擬，因此軸承座圈底部施加固定約束，由于模型為原來的1/8，因此軸圈頂部模擬軸施加軸向載荷數(shù)值也為初始載荷的1/8，即10 750 N，如圖3所示。

圖3 載荷與約束

（4）有限元分析計算結果

經Ansys Workbench 仿真軟件分析計算得51410推力球軸承的等效應力云圖，如圖4 所示。從圖4 明顯可以看出，推力球軸承的等效應力主要集中在滾動體與軸圈、座圈滾道面接觸區(qū)域，此時最大接觸等效應力值為2 947.2 MPa。

圖4 51410等效應力云圖

3 結果分析

根據(jù)赫茲理論解可知，滾動體局部的接觸應力高達3 043 MPa，有限元仿真得出的滾動體局部的接觸應力也高達2 947.2 MPa，可見理論解與計算結果僅相差2%，當然這主要也是軟件參數(shù)設置得當，與理論解偏差較小，說明二者具有良好的一致性，驗證了采用數(shù)值模擬手段分析軸承在載荷作用下的接觸應力是符合實際情況。

此外，由理論解及仿真計算結果顯然可見滾動體局部的接觸應力非常大，這是因為滾動體與滾道間的接觸載荷只作用在非常小的接觸面上，而接觸面經過網格局部細化，導致接觸面被劃分為諸多微小面，因此即使施加的接觸載荷不是很大，最大接觸應力值也是相當高的。

從軸承鋼GCr15 的材料屈服極限為518.42 MPa可知，仿真計算的最大應力值已經遠遠超過了材料的屈服極限，勢必導致軸承失效，但是接觸應力存在于非常小的局部區(qū)域內，即便是計算的接觸應力值超過材料的屈服極限，也僅會在有限的局部區(qū)域內發(fā)生塑性變形[10]，產生塑性變形后接觸面積變大，接觸應力也會瞬間減小到材料的屈服強度以內。

4 結語

通過Hertz彈性接觸理論解和有限元仿真計算結果的對比分析，得出以下結論：

（1）采用數(shù)值分析模擬手段及Hertz 彈性接觸理論計算方法分別對推力球軸承51410 進行了接觸問題的分析計算，對比分析得出二者的計算結果誤差小，具有良好的一致性，因此采用數(shù)值模擬手段分析軸承在載荷作用下的接觸應力是符合實際情況。

（2）有限元數(shù)值模擬手段對比Hertz 理論解優(yōu)點是：考慮了接觸處的摩擦，更符合軸承應用的實際工況，并且可以直觀地查看各個部位的數(shù)據(jù)，因此仿真計算結果相對更具有工程實用價值。

（3）仿真計算結果為分析潛油螺桿泵采油系統(tǒng)中的推力球軸承的實際工況提供了一種方案，也為今后滾動軸承的失效分析及優(yōu)化設計提供了一種有效的參考依據(jù)。

（4）滾動軸承的有限元仿真分析本質上是復雜多學科綜合應用的工程，參數(shù)設置略有偏差導致所得的計算結果差異性很大，諸如網格劃分、邊界問題及約束等設置需反復驗證，確保計算結果的準確性。