丁 卯，耿 達(dá)，周明東, 來(lái)新民

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200240)

復(fù)雜工況下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必須考慮結(jié)構(gòu)在外力作用下應(yīng)力的分布情況，以避免局部應(yīng)力過(guò)高導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效等問(wèn)題[1].現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展對(duì)具有高比剛度及高比強(qiáng)度結(jié)構(gòu)的需求愈發(fā)迫切.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法基于最優(yōu)化理論，結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助工程(CAE)技術(shù)，自動(dòng)地設(shè)計(jì)符合性能要求的工程結(jié)構(gòu)，近年來(lái)已作為新興的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法在航空航天及汽車等領(lǐng)域的高比剛度、高比強(qiáng)度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的研究與應(yīng)用[2-3].目前結(jié)構(gòu)比剛度問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化已得到充分發(fā)展，而考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的拓?fù)鋬?yōu)化方法仍存在許多問(wèn)題[4-6].

基于變密度法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)拓?fù)渥兓`敏，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì).但傳統(tǒng)基于變密度法的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度拓?fù)鋬?yōu)化方法受優(yōu)化問(wèn)題非線性影響，結(jié)構(gòu)近似最大單元應(yīng)力難以準(zhǔn)確計(jì)算，應(yīng)力變化趨勢(shì)難以精準(zhǔn)評(píng)估[7-8],且優(yōu)化過(guò)程對(duì)優(yōu)化參數(shù)的選擇較敏感，不易收斂.同時(shí)最終優(yōu)化結(jié)果往往存在較多無(wú)實(shí)際物理意義的灰度單元，后處理前后結(jié)構(gòu)強(qiáng)度性能偏差較大，常需反復(fù)試錯(cuò)才能得到符合強(qiáng)度設(shè)計(jì)需求的結(jié)構(gòu).Zhou等[9]采用基于單純復(fù)形的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，使用二階單元?jiǎng)澐纸Y(jié)構(gòu)網(wǎng)格，并選取較高應(yīng)力指數(shù)系數(shù)以構(gòu)建結(jié)構(gòu)最大單元應(yīng)力近似計(jì)算公式[10]，使優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)力水平得以降低.Lian等[11]采用“結(jié)構(gòu)拓?fù)溟_(kāi)洞-結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化-可變復(fù)型網(wǎng)格跟新”的迭代循環(huán)方法進(jìn)行考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力的拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化結(jié)果不存在灰度單元，且優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平近似計(jì)算較準(zhǔn)確.

在此基礎(chǔ)上，本文針對(duì)基于變密度法考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，采用過(guò)濾-投影結(jié)構(gòu)參數(shù)化方法，通過(guò)研究主要優(yōu)化參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)比強(qiáng)度優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化過(guò)程的影響規(guī)律，提出一種新的優(yōu)化策略，實(shí)現(xiàn)了在拓優(yōu)化過(guò)程中對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平及其變化趨勢(shì)的準(zhǔn)確控制，同時(shí)保證優(yōu)化過(guò)程的穩(wěn)定性.最后通過(guò)典型結(jié)構(gòu)的算例實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法的合理性及實(shí)用性進(jìn)行驗(yàn)證.

1 考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的變密度法拓?fù)鋬?yōu)化 模型

基于變密度法的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度拓?fù)鋬?yōu)化研究一直以來(lái)是工程應(yīng)用關(guān)注的對(duì)象和學(xué)界的研究熱點(diǎn).本文基于固體各向同性材料懲罰(SIMP)法，對(duì)以結(jié)構(gòu)體積為約束，最小化結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究[12].其優(yōu)化列式可表述為

s.t.KU=F

(1)

0≤ρe≤1,e=1,2,…,ne

式中：ρ={ρ1,ρ2,…,ρe}表征各單元的相對(duì)密度，其中ρe在0與1之間連續(xù)變化，ρe=0和ρe=1分別表示該位置為空單元及實(shí)體單元，0<ρe<1則表示此處單元具有中間密度材料；σmax為結(jié)構(gòu)單元最大應(yīng)力，表征結(jié)構(gòu)整體應(yīng)力水平，本文采用Von Mises屈服準(zhǔn)則對(duì)單元應(yīng)力進(jìn)行表達(dá)(后文亦稱σmax為最大單元Von Mises應(yīng)力)；K、U及F分別為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣、位移向量及外力向量；ve為對(duì)應(yīng)單元的體積；V*為所允許的結(jié)構(gòu)體積上限；ne為結(jié)構(gòu)內(nèi)單元總數(shù)量設(shè)計(jì)變量場(chǎng).

(2)

式中：Ωe為單元e附近所有形心落在過(guò)濾區(qū)域內(nèi)的單元集合；加權(quán)函數(shù)ωj為相應(yīng)單元中心離距的線性函數(shù)；ρj為該對(duì)應(yīng)單元的相對(duì)密度；單元e的過(guò)濾區(qū)域?yàn)橐栽搯卧涡臑閳A心，過(guò)濾半徑為r0的圓形區(qū)域；rj為Ωe內(nèi)單元j與單元e的中心離距.

本文采用Von Mises屈服準(zhǔn)則進(jìn)行單元應(yīng)力計(jì)算[13-14]，并構(gòu)建如下所示的類SIMP法單元應(yīng)力插值函數(shù)，以解決單元應(yīng)力奇異性問(wèn)題：

(3)

(4)

e=1,2,…,ne

式中：σ11、σ22及σ12為單元e應(yīng)力矢量的3個(gè)分量.

單元應(yīng)力是局部物理量，優(yōu)化過(guò)程中需對(duì)各單元應(yīng)力進(jìn)行控制以實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)整體應(yīng)力水平的預(yù)測(cè).而將每個(gè)單元應(yīng)力均作為優(yōu)化約束時(shí)，存在約束過(guò)多、難以求解的問(wèn)題.因此，本文采用如下所示的p-norm法近似計(jì)算：

(5)

2 結(jié)合投影法的參數(shù)化方法

基于傳統(tǒng)變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)中，中間密度單元使結(jié)構(gòu)應(yīng)力在對(duì)應(yīng)位置處無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算，而為獲得單元密度非0即1的離散結(jié)構(gòu)，一般對(duì)優(yōu)化結(jié)果采用如下所示的投影后處理，以去除結(jié)構(gòu)中間密度單元：

(6)

(7)

圖1 投影函數(shù)曲線Fig.1 Curves of projection function

針對(duì)上述具有較高非線性的結(jié)構(gòu)應(yīng)力優(yōu)化問(wèn)題，本文采用移動(dòng)漸近線(MMA)法[16]作為優(yōu)化器對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu).優(yōu)化器中設(shè)計(jì)變量變化閾值(ML)表征每次優(yōu)化迭代中各設(shè)計(jì)變量的變化范圍，亦即優(yōu)化算法中的搜索步長(zhǎng)[12]， 其同p-norm法的p和投影函數(shù)的β耦合，綜合影響優(yōu)化過(guò)程的穩(wěn)定性和收斂性.本文基于式(1)的優(yōu)化模型，通過(guò)控制變量法對(duì)上述3個(gè)主要優(yōu)化參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行研究.

以圖2所示的L型梁作為優(yōu)化對(duì)象，圖中R為半徑.采用 6 400 個(gè)邊長(zhǎng)為1 mm的一階四節(jié)點(diǎn)四邊形單元對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，L型梁左上端固定，為避免產(chǎn)生應(yīng)力集中，將豎直向下大小為5 N的力分解加載在結(jié)構(gòu)右端扇形區(qū)域內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)上，實(shí)體材料彈性模量E=1.0 MPa，泊松比ν=0.3，優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)體積約束值為0.3.

圖2 二維L型梁有限元模型(mm)Fig.2 Finite element model of a L-shaped beam (mm)

圖3～6所示為ML、p及β取不同值時(shí)的結(jié)構(gòu)拓?fù)?、?yīng)力分布云圖及結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力.結(jié)構(gòu)材料分布圖下方的應(yīng)力云圖中，顏色從藍(lán)到紅表征單元應(yīng)力由0逐漸增大至結(jié)構(gòu)最大單元應(yīng)力值，如圖7所示.圖3～6中，以相同p和ML作為一組算例，通過(guò)對(duì)比各組算例的優(yōu)化結(jié)果可知，β越大，優(yōu)化結(jié)果的中間密度單元比例越低，越能避免如圖3(q)、3(r)、3(t) 等所示的結(jié)構(gòu)斷裂現(xiàn)象.而由各圖中的(a)、(e)、(i)、(m)及(q)可知，隨著p不斷增大，優(yōu)化結(jié)果的最大單元Von Mises應(yīng)力有逐漸下降的趨勢(shì).當(dāng)p取12及30等較高值時(shí)，優(yōu)化過(guò)程受優(yōu)化問(wèn)題非線性影響較大，結(jié)構(gòu)最大單元應(yīng)力值有上升趨勢(shì).由此可知，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)p和β取較小值時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題非線性較弱，結(jié)構(gòu)內(nèi)中間密度單元比例較大，此時(shí)設(shè)計(jì)變量變化閾值ML宜取較大值，以使結(jié)構(gòu)拓?fù)渥兓`敏，從而更快地獲得具有較低應(yīng)力水平的優(yōu)化結(jié)果.當(dāng)為保證優(yōu)化過(guò)程中對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平和最大應(yīng)力變化趨勢(shì)的控制精度而采用較高p值，同時(shí)為降低優(yōu)化結(jié)果中間密度單元比例采用而較高β值時(shí)，應(yīng)使用較低的設(shè)計(jì)變量變化閾值ML.

圖3 β=2時(shí)優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Optimized results at β=2

圖4 β=4時(shí)優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimized results at β=4

圖5 β=8時(shí)優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimized results at β=8

圖6 β=16時(shí)優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimized results at β=16

圖7 優(yōu)化結(jié)果應(yīng)力分布圖Fig.7 Stress distribution map of optimized results

3 優(yōu)化策略

基于上一節(jié)所研究的主要優(yōu)化參數(shù)對(duì)優(yōu)化過(guò)程及優(yōu)化結(jié)果的影響規(guī)律，本文提出了先結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，后近似形狀優(yōu)化的優(yōu)化策略，以同時(shí)提升優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平的控制精度和優(yōu)化過(guò)程的穩(wěn)定性，并使最終設(shè)計(jì)結(jié)果的強(qiáng)度性能滿足要求.首先在優(yōu)化過(guò)程的拓?fù)鋬?yōu)化階段，通過(guò)采用較小β及p作為初始值，降低優(yōu)化問(wèn)題非線性影響，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞目焖僮兓?待符合收斂條件后，增大p至30以提高優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平控制精度.滿足收斂條件后增大β至64以大幅降低結(jié)構(gòu)中間密度單元比例，使結(jié)構(gòu)變化主要發(fā)生在邊界，以構(gòu)建近似形狀優(yōu)化的結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程，最終采用后處理投影方法，獲得非黑即白的設(shè)計(jì)結(jié)果.

為探明拓?fù)鋬?yōu)化階段p及整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中ML的選取方法，同時(shí)驗(yàn)證本文優(yōu)化策略的有效性，以式(1)為優(yōu)化模型，并以圖2所示的L型梁為研究對(duì)象進(jìn)行優(yōu)化實(shí)驗(yàn).為提高單元應(yīng)力計(jì)算精度，降低非線性對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的影響，采用二階矩形單元對(duì)L型梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格數(shù)量、尺寸、荷載、邊界條件及體積約束等設(shè)置與前文相同.在不同的初始p值(圖中p′)及ML值下，最終設(shè)計(jì)結(jié)果的σmax變化曲線如圖8～10所示.

圖8 ML=0.05時(shí)優(yōu)化結(jié)果的σmaxFig.8 σmax of optimized results at ML=0.05

圖9 ML=0.1時(shí)優(yōu)化結(jié)果的σmaxFig.9 σmaxof optimized results at ML=0.1

圖10 ML=0.2時(shí)優(yōu)化結(jié)果的σmaxFig.10 σmax of optimized results at ML=0.2

根據(jù)圖8～10可知，當(dāng)p′≤9時(shí)，優(yōu)化結(jié)果的最大Von Mises應(yīng)力較小.當(dāng)p′>9時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題的非線性程度較高，優(yōu)化結(jié)果的最大Von Mises值較采用低p′值時(shí)更高，整體呈增大趨勢(shì)，且存在較大振蕩現(xiàn)象.當(dāng)ML取0.1時(shí)，易于獲得具有更低應(yīng)力水平的最終設(shè)計(jì)結(jié)果，并保證結(jié)構(gòu)拓?fù)涞撵`敏變化.優(yōu)化策略如圖11所示.

圖11 優(yōu)化策略流程Fig.11 Flowchart of optimization strategy

為了驗(yàn)證上述方法的合理性與一般性，以圖12所示的Portal結(jié)構(gòu)[11]作為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化對(duì)象.采用邊長(zhǎng)為1 mm的二階正方形單元對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，結(jié)構(gòu)左下角5個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有自由度固定，右下角5個(gè)節(jié)點(diǎn)僅固定豎直方向的自由度，大小為5 N的力平均作用在結(jié)構(gòu)頂部中間5 mm范圍的節(jié)點(diǎn)上.采取與L型梁算例相同優(yōu)化參數(shù)設(shè)置構(gòu)建對(duì)比實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)結(jié)果的最大單元Von Mises應(yīng)力變化曲線如圖13～15所示.

圖12 Portal結(jié)構(gòu)尺寸及邊界條件(mm)Fig.12 Size and boundary condition of the portal structure (mm)

圖13 ML=0.05時(shí)優(yōu)化結(jié)果的σmaxFig.13 σmax of optimized results at ML=0.05

根據(jù)圖中驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化結(jié)果可知，設(shè)計(jì)結(jié)果最大單元應(yīng)力的變化趨勢(shì)以及優(yōu)化參數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果強(qiáng)度的影響規(guī)律與L型梁實(shí)驗(yàn)一致，該系列優(yōu)化結(jié)果以圖16為例，表明上文所總結(jié)的優(yōu)化參數(shù)影響規(guī)律及提出的參數(shù)選取策略具有一定的普適性及實(shí)用性，可用于指導(dǎo)工程實(shí)際應(yīng)用.

圖14 ML=0.1時(shí)優(yōu)化結(jié)果的σmaxFig.14 σmax of optimized results at ML=0.1

圖15 ML=0.2時(shí)優(yōu)化結(jié)果的σmaxFig.15 σmaxof optimized results at ML=0.2

圖16 Portal結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Fig.16 Optimized results of portal structure

5 結(jié)語(yǔ)

本文采用基于過(guò)濾-投影的參數(shù)化方法，實(shí)現(xiàn)在迭代優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)中間密度單元比例的不斷下降，進(jìn)而降低后處理前后優(yōu)化結(jié)果應(yīng)力水平的偏差，使其滿足工程實(shí)際的設(shè)計(jì)需求.通過(guò)對(duì)經(jīng)典L型梁結(jié)構(gòu)的比強(qiáng)度優(yōu)化實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，研究了關(guān)鍵優(yōu)化參數(shù)對(duì)優(yōu)化過(guò)程及優(yōu)化結(jié)果應(yīng)力水平的影響規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上，提出了先結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，后近似形狀優(yōu)化的新優(yōu)化策略，同時(shí)在優(yōu)化過(guò)程中保證了對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平的控制精度以及優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)定性.在上述優(yōu)化策略下對(duì)典型Portal結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)力水平進(jìn)行了分析，闡明了該方法的合理性及實(shí)用性，可為實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)比強(qiáng)度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).