基于非局部Biot理論的平面波作用下飽和地基動(dòng)力響應(yīng)

王 寧，丁海濱，童立紅，蔣亞龍

(1. 華東交通大學(xué) 江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330013； 2. 江西省地下空間技術(shù)開發(fā)工程中心，南昌 330013)

關(guān)于彈性波傳播至兩種介質(zhì)交界面的反射及折射問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了充分的研究[1-3].但以往對于飽和土中彈性波傳播問題的研究基本都是基于經(jīng)典Biot理論[4].然而，Biot理論的建立是基于波長遠(yuǎn)大于飽和土中的孔隙尺寸的假設(shè)，但理論[5-8]及試驗(yàn)[9-10]研究均表明，在高頻下，波長遠(yuǎn)大于孔隙尺寸的假設(shè)已不再成立，此時(shí)，孔隙材料的孔隙尺寸對波傳播特性具有顯著的影響.此外，波的傳播會(huì)引起土顆粒的運(yùn)動(dòng)，由此會(huì)導(dǎo)致土顆粒產(chǎn)生慣性力(孔隙動(dòng)應(yīng)力)，顯然此慣性力隨入射頻率的增加而增大，而Biot理論假定孔隙尺寸為常數(shù).因此，其理論中未考慮孔隙尺寸及孔隙動(dòng)應(yīng)力對波傳播特性的影響.

為解決上述問題，Chakraborty等[11]結(jié)合經(jīng)典非局部彈性理論[12]和Biot理論[4]預(yù)測了飽和多孔材料中波的傳播特性，但其由于考慮了流體的非局部效應(yīng)，對Biot理論進(jìn)行過修正，而使其預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一定的偏差.Tong等[13]摒棄了流體部分非局部效應(yīng)，提出了僅考慮土骨架非局部效應(yīng)的非局部-Biot理論模型，分析了飽和土中波速的傳播及其衰減規(guī)律，其結(jié)果與Bouzidi等[9]的試驗(yàn)結(jié)果吻合得很好，以此說明了所提出模型的合理性.隨后，徐長節(jié)等[14]、Xu等[15]及Ding等[16]基于非局部-Biot理論研究了飽和土中深埋、淺埋圓形襯砌及淺埋復(fù)合式襯砌對入射P波的散射問題.結(jié)果表明，高頻下孔隙尺寸對襯砌動(dòng)應(yīng)力影響顯著，而低頻情況下，非局部-Biot理論解與經(jīng)典Biot理論解基本一致.Tong等[17]利用非局部-Biot理論，分析了非局部參數(shù)對飽和土中Rayleigh波的傳播特性的影響，結(jié)果仍表明高頻下孔隙尺寸對波傳播特性的影響不可忽略.由以上分析可知，高頻下，飽和土中孔隙尺寸及孔隙動(dòng)應(yīng)力會(huì)對波的傳播特性產(chǎn)生較大的影響，為此，研究孔隙尺寸在平面波作用下對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響顯得尤為重要.

本文基于非局部-Biot理論，構(gòu)建了P波及SV波入射下，飽和土地基地表響應(yīng)計(jì)算模型，采用波函數(shù)展開法，得出了地表位移及水平應(yīng)力的解析解，通過算例分析研究了非局部參數(shù)、入射波頻率及入射角對地表位移及應(yīng)力響應(yīng)影響的變化規(guī)律.

1 計(jì)算模型

假設(shè)平面P1(SV)波以入射角為θα(θβ)經(jīng)飽和土半空間傳播至地表，如圖1所示.飽和土地基為典型的兩相介質(zhì)，因此，入射波經(jīng)地表反射將產(chǎn)生P1、P2及SV波.

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Calculation model

P1波入射時(shí)：

(1)

SV波入射時(shí)：

(2)

式（1）中，fsr為轉(zhuǎn)發(fā)器接收信號(hào)頻率，fst表示衛(wèi)星天線發(fā)射頻率，即衛(wèi)星下行頻率，fs為衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)器本振頻率。

2 非局部-Biot理論控制方程

飽和土中總波場由入射波場和散射波場構(gòu)成，本文考慮入射波場分別為P波和SV波情況.

燈草老爹說：“瓦是蓋在屋上的，本來就捂不得?！彼戳艘谎鄣蟮潞?，“當(dāng)然當(dāng)然，剛出窯的瓦例外，不能被雨淋了。但是出窯之后放一兩天，熱氣沒了，如果再蓋就會(huì)破裂。這個(gè)道理，我本來想跟刁隊(duì)長說，但他老拿手槍指著我，我就不敢多嘴……”

本構(gòu)方程：

(3)

高中生物課堂教學(xué)質(zhì)量水平的提高，要充分注重方法的科學(xué)應(yīng)用，而生活化的教學(xué)方法的應(yīng)用就顯得比較重要，這是將學(xué)生生活中比較熟悉的情景內(nèi)容在生物課堂中呈現(xiàn)的教學(xué)方法，能促使學(xué)生對生物知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生共鳴，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性。生活化教學(xué)方式的應(yīng)用過程中要注重從多方面加強(qiáng)重視，將教學(xué)方法的應(yīng)用要點(diǎn)進(jìn)行把握，這樣才能有效提高生物教學(xué)的質(zhì)量。生活化教學(xué)方法的應(yīng)用過程中，就要充分注重師生間的溝通交流，教師對學(xué)生要能夠有所了解，這樣才能更好地開展相應(yīng)教學(xué)活動(dòng)。生物課堂的生活化教學(xué)不能只注重學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，要注重學(xué)生課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)以及學(xué)習(xí)的過程表現(xiàn)。

運(yùn)動(dòng)方程：

(4)

SV波入射：

(5)

3 波場的求解

3.1 飽和土中散射波場的求解

β9=-ρfτ2ω2

(6)

將式(6)帶入式(4)，并消去φf和Ψf，可得：

式中：ξ1、ξ2及ξ3為流體部分勢函數(shù)與土骨架部分勢函數(shù)的比值，其表達(dá)式為

(7)

實(shí)際工程中人們所關(guān)心的問題是地表的位移及應(yīng)力變化，地表位移可采用式(15)中第1式計(jì)算，所得出的位移為與入射波幅值的比值(本文取入射波幅值為φ0=1)，因此后續(xù)分析中的位移為無量綱位移，針對P波和SV波入射分別采用ka1和kβ對其位移進(jìn)行無量綱化.地表應(yīng)力采用無量綱應(yīng)力，即

參數(shù)關(guān)系為

β1=(λ+α2M+2μ-ρω2τ2)

β2=αM-ρfω2τ2

煨姜 煨姜為生姜經(jīng)煨制的品名，生姜經(jīng)煨制后辛溫不燥，辛散藥力不及生姜，溫中止嘔功效又較生姜好，適用于腹痛嘔吐、大便泄瀉等癥。

β3=-ρω2,β4=-ρfω2

β5=αM,β6=M

β8=μ-ρτ2ω2

為求解式(4)，引入土骨架標(biāo)量和矢量勢函數(shù)φs和Ψs，及流體部分標(biāo)量及矢量勢函數(shù)φf和Ψf，根據(jù)Helmholtz分解定理，飽和土中位移場可表示為

其中：ω為圓角頻率.

目前的技術(shù)水平已經(jīng)可實(shí)現(xiàn)不受控制的核聚變，如氫彈等核武器早已登上歷史舞臺(tái)。但如要使核聚變釋放出的巨大能量可有效為人類所利用，則必須對其進(jìn)行人為控制，即受控核聚變。

由式(7)可知，飽和多孔介質(zhì)中存在兩種P波，土骨架部分的P波勢函數(shù)可表示為

φs=φs1+φs2

(8)

同理，由式(4)和(6)可得流體部分P波和SV波勢函數(shù)為

(9)

（三）在學(xué)習(xí)“健康的生活”一章內(nèi)容時(shí)，教材中提到“拒絕毒品、遠(yuǎn)離毒品”。青少年時(shí)期是一個(gè)“出生牛犢不怕虎”的時(shí)期，對什么都感到好奇，對什么都想試一試，再加上對毒品的危害認(rèn)識(shí)不清，致使受害人數(shù)較多。青少年時(shí)期正是迅速生長發(fā)育的時(shí)期，若吸毒危害比成年人更為嚴(yán)重，所以我們要在青少年中開展禁毒教育，使之充分認(rèn)識(shí)毒品的危害，自覺抵制毒品、遠(yuǎn)離毒品。在每年的6月26日，制作相關(guān)內(nèi)容的展板，宣傳相關(guān)的禁毒知識(shí)，并開展講座，以具體事例教育學(xué)生，真正從思想上樹立高度警惕意識(shí)。

產(chǎn)業(yè)集聚過程中所產(chǎn)生的環(huán)境效應(yīng)是經(jīng)濟(jì)因素、生態(tài)因素、社會(huì)化因素、文化因素、政治因素、地理因素等共同作用的結(jié)果，因此，通過多學(xué)科交叉研究產(chǎn)業(yè)集聚與環(huán)境效應(yīng)相互作用機(jī)制是未來研究的趨勢。將多因素納入系統(tǒng)的研究框架，考慮

ξ3=-β4/β7

1）對一些已經(jīng)廢棄但是確實(shí)可以體現(xiàn)城市歷史文化特色的街道名稱進(jìn)行調(diào)研，必要時(shí)予以恢復(fù)。濰坊市2018年發(fā)布的《關(guān)于道路命名征求意見的公告》中將原來已經(jīng)廢棄的“狀元胡同”重新啟用，改為“狀元街”。

3.2 飽和土中總波場

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，飽和孔隙彈性介質(zhì)的非局部-Biot理論的運(yùn)動(dòng)方程為

國家應(yīng)加大金融市場的建設(shè)，鼓勵(lì)機(jī)構(gòu)投資者和中小投資者參與。同時(shí)，營造良好的市場環(huán)境，提供信譽(yù)擔(dān)保，預(yù)防不誠信行為的發(fā)生，促進(jìn)我國資產(chǎn)證券化市場的發(fā)展。

當(dāng)下對中國建筑的考古挖掘和文獻(xiàn)整理已取得一定成就，這讓我們有機(jī)會(huì)去觸碰中國傳統(tǒng)建筑形式背后的文化淵源，回歸中國傳統(tǒng)建筑的原初形式的探討，文章透過史料去探究和詮釋中國古建山面入口到檐面入口面向轉(zhuǎn)變的內(nèi)在邏輯，這種入口面向轉(zhuǎn)變是由建筑技術(shù)、居住經(jīng)驗(yàn)、禮制文化等共同作用、逐漸演變的結(jié)果，并且通過對其探究，讓我們可以理解一些建筑形式的時(shí)空聯(lián)系和文化內(nèi)涵。探討傳統(tǒng)建筑的形式邏輯這類問題將有利于我們擺脫對傳統(tǒng)形式拙劣的模仿，做出有中國性的設(shè)計(jì)。

入射波為P波時(shí)：

(10)

入射波為SV波時(shí)：

(11)

此處需要說明的是，入射波為SV波時(shí)，由于P1波波速通常大于SV波波速，當(dāng)SV波的入射角達(dá)到臨界角θcr1時(shí)，P1波的反射角將大于90°，此時(shí)，P1波表現(xiàn)出隨深度增加，其幅值呈指數(shù)減小的非均勻波.與此同時(shí)，在軟黏土介質(zhì)中，P2波波速也有可能大于SV波波速，此時(shí)將存在第二個(gè)臨界角θcr2.由波的反射關(guān)系，可得兩個(gè)臨界角為

(12)

為便于分析，將式(2)表示為

(13)

式中：K1、K2及K3為反射波待定系數(shù)，

k=kβsinθβ=kα1sinθα1=kα2sinθα2

為提高公路瀝青路面運(yùn)行使用的整體性與安全性，路面表面的施工應(yīng)進(jìn)行防水施工處理，以降低雨水環(huán)境對其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性帶來的負(fù)面影響。此外，相關(guān)人員還應(yīng)在公路工程的兩側(cè)設(shè)置排水溝，以使雨水能夠快速排除，進(jìn)而降低對路面結(jié)構(gòu)作用效果帶來的影響。

4 邊界條件及待定系數(shù)求解

4.1 應(yīng)力位移與勢函數(shù)關(guān)系

由式(3)可知，非局部-Biot應(yīng)力張量與經(jīng)典Biot理論應(yīng)力張量滿足

即

(14)

結(jié)合式(3)、(6)及(14)，應(yīng)力、位移與勢函數(shù)關(guān)系可表示為

(15)

式中：ux、uy分別為x、y方向土骨架位移；wx、wy分別為x、y方向流體相對土骨架位移；σxx、σyy、σxy分別為x、y方向正應(yīng)力與切應(yīng)力；Pf為孔隙水壓力.

4.2 邊界條件

考慮到地表零應(yīng)力及透水特性，可將其邊界條件表示為

(16)

將式(1)和(13)分別代入式(15)，并結(jié)合式(16)可求出P波及SV波入射下勢函數(shù)的待定系數(shù)，待定系數(shù)求解方程組如下[3].

P波入射：

(17)

式中：ρ為土體密度；ρf為流體密度；m=ρf/n0，b=ηF(ξ)/k，η為流體黏滯系數(shù)，k為流體滲透系數(shù)；F(ξ)為高頻下黏性修正系數(shù)，其表達(dá)式為[18]

(18)

系數(shù)矩陣表達(dá)式見表1.

通過式(17)，并結(jié)合表1即可求出反射系數(shù)，從而可利用式(15)求解出飽和土中位移及應(yīng)力表達(dá)式.

表1 系數(shù)矩陣表達(dá)式Tab.1 Expression of coefficient matrix

5 結(jié)果與討論

式中：kb為剪切波波數(shù)，滿足

加特可（廣州）自動(dòng)變速器有限公司是加特可株式會(huì)社在海外獨(dú)資設(shè)立的第二家生產(chǎn)基地。公司于2007年4月在以高新技術(shù)為主導(dǎo)的廣州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)科學(xué)城成立，注冊資金7 500萬美元，主要生產(chǎn)無級(jí)自動(dòng)變速器（CVT）。公司在2012年4月成立了“加特可中國品質(zhì)技術(shù)中心”，該中心集顧客品質(zhì)保證、SQA、開發(fā)和采購等功能于一體，形成以組織形式對市場品質(zhì)、車輛適用開發(fā)和零部件國產(chǎn)化作出高效反應(yīng)的機(jī)制。

(19)

5.1 結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文結(jié)果的合理性，將本文計(jì)算結(jié)果與Lin[3]結(jié)果進(jìn)行對比(見圖2)，為此，取流體黏滯系數(shù)η=0，P波及SV波入射下，同樣水平位移(Ux)及豎向位移(Uy)分別采用kα1和kβ進(jìn)行無量綱化，其余參數(shù)見文獻(xiàn)[3].由圖2可知，P波及SV波入射下，本文水平及豎向位移計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]結(jié)果一致，由此說明本文計(jì)算結(jié)果的正確性.

圖2 本文結(jié)果與文獻(xiàn)[3]結(jié)果對比曲線Fig.2 Comparison of results obtained in this paper with those in Ref.[3]

5.2 算例分析

為充分分析P波及SV波作用下飽和地基地表動(dòng)力響應(yīng)情況，本文選取飽和土體計(jì)算參數(shù)，見表2所示.

表2 飽和土體物理力學(xué)參數(shù)Tab.2 Physical and mechanics parameters of saturated soil

圖3、4分別為P波及SV波作用下，地表位移及應(yīng)力隨非局部參數(shù)的變化曲線(入射角為30°).由圖可知，當(dāng)入射頻率f=10 Hz時(shí)， 地表位移及應(yīng)力隨非局部參數(shù)的增加幾乎沒有變化，而隨著入射波頻率的增加，非局部參數(shù)對地表位移及應(yīng)力具有顯著的影響.如當(dāng)入射波頻率達(dá)到 1 000 Hz，P波入射情況下，地表位移隨非局部參數(shù)出現(xiàn)增加而增大，應(yīng)力隨非局部參數(shù)增加而呈現(xiàn)出減小的趨勢.SV波入射情況下，地表水平位移及水平應(yīng)力均隨非局部參數(shù)的增加而減小，其豎向位移隨非局部參數(shù)的增加而增大.其原因是非局部參數(shù)的增加，意味著飽和土中孔隙尺寸的增大，入射頻率較低(如10 Hz)時(shí)，波長遠(yuǎn)大于孔隙尺寸，此時(shí)孔隙尺寸對波傳播的影響可以忽略，而隨著入射波頻率(如 1 000 Hz)的增加，飽和土中波長減小，此時(shí)隨著孔隙尺寸的增加，波長與孔隙尺寸更加接近，導(dǎo)致孔隙尺寸對波傳播特性產(chǎn)生較大的影響.此外，從圖3和4中還可以看出，隨著入射波頻率的增加，地表水平位移及豎向位移的起始值逐漸增大，這是由于入射波頻率增加引起地表位移增大，而入射波頻率對地表應(yīng)力起始值影響不大.

圖3 P波入射下地表位移及應(yīng)力隨非局部參數(shù)的變化Fig.3 Displacement and stress of ground surface versus nonlocal parameter subjected to P wave

圖4 SV波入射下地表位移及應(yīng)力隨非局部參數(shù)變化Fig.4 Displacement and stress of ground surface versus nonlocal parameter subjected to SV wave

圖5、6分別為不同非局部參數(shù)時(shí)，P波及SV波入射下，地表位移及應(yīng)力隨入射波頻率變化曲線，其中P波及SV波入射角均為30°.由圖可知，當(dāng)入射波頻率較低時(shí)，本文理論計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典Biot理論計(jì)算結(jié)果(τ=0.00 m)基本一致，而隨著入射波頻率的增加，本文理論計(jì)算結(jié)果與Biot理論計(jì)算結(jié)果逐漸顯現(xiàn)出差異.由此說明，高頻下孔隙尺寸對波傳播特性的影響不可忽略.倘若以與經(jīng)典Biot理論偏差達(dá)5%為分界點(diǎn)，由圖可以看出，頻率分界點(diǎn)(與Biot理論偏差達(dá)到5%的頻率點(diǎn))隨非局部參數(shù)的增大而減小.如SV波入射下，地表水平位移在非局部參數(shù)為0.06、0.08及0.10 m時(shí)，所對應(yīng)的臨界頻率分別為892、672及538 Hz，其原因是非局部參數(shù)越大，其對應(yīng)的飽和土孔隙越大，從而導(dǎo)致其對波傳播特性的影響越大.

圖5 P波入射下地表位移及應(yīng)力隨入射頻率變化Fig.5 Displacement and stress of ground surface versus input frequency subjected to P wave

圖6 SV波入射下地表位移及應(yīng)力隨入射頻率變化Fig.6 Displacement and stress of ground surface versus input frequency subjected to SV wave

圖7、8分別為P波及SV波作用下，地表應(yīng)力及位移隨入射波入射角度的變化曲線，入射頻率為1 000 Hz.由圖可知，P波入射下，地表水平及豎向位移隨非局部參數(shù)的增加而增大，而應(yīng)力隨非局部參數(shù)的增大而減小.SV波入射時(shí)，地表水平位移及應(yīng)力在入射角為45° 時(shí)減小為0，這是由于SV波在45° 入射時(shí)， 在地表發(fā)生全反射，此結(jié)論與經(jīng)典彈性解相同[19].在45° 之前水平位移隨非局部參數(shù)增加呈現(xiàn)出增加的趨勢，在此之后隨非局部參數(shù)的增加而呈現(xiàn)出減小趨勢.地表豎向位移隨非局部參數(shù)增加而增大.此外，圖中虛線內(nèi)出現(xiàn)的拐點(diǎn)隨非局部參數(shù)增大而向左移動(dòng)，這是由于非局部參數(shù)增加使得臨界角度減小所致.對比圖7、8可知，對于相同幅值的P波、SV波作用下，SV波所引起的地表響應(yīng)大于P波.

為了研究生物炭添加量對土壤水分保水性能的影響，采用每天稱重的方法測得土壤每天的水分蒸發(fā)量，計(jì)算土壤水分總蒸發(fā)量，同時(shí)還對陳化2天后及自然狀態(tài)下蒸發(fā)12天的土壤含水量進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖6可以看出，土壤水分日蒸發(fā)量出現(xiàn)上下波動(dòng)現(xiàn)象，整體服從相似的規(guī)律。由圖7可以看出，樣品陳化2天后的含水量隨生物炭添加量的增加而增大，水分總蒸發(fā)量亦表現(xiàn)出相似的趨勢，但每個(gè)樣品蒸發(fā)總量相差不大，土壤最終含水量隨生物炭含量的增加而增大，即生物炭添加量越大，雖然蒸發(fā)量大，但由于土樣吸水量大，因此最終含水量還是最高。

圖7 P波入射下地表位移及應(yīng)力隨入射角變化曲線Fig.7 Displacement and stress of ground surface versus incident angle subjected to P wave

圖8 SV波入射下地表位移及應(yīng)力隨入射角變化Fig.8 Displacement and stress of ground surface versus incident angle subjected to SV wave

6 結(jié)論

基于非局部-Biot理論，利用波函數(shù)展開法，求解了P波和SV波作用下，飽和土地基地表響應(yīng)問題的解析解.將本文解退化為經(jīng)典Biot理論下無黏性解，并與文獻(xiàn)[3]對比，結(jié)果一致.通過算例分析研究了非局部參數(shù)、入射波頻率及入射角對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響，得出如下結(jié)論：

(1) 非局部參數(shù)對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響與入射波頻率有關(guān)，入射波頻率較低(10 Hz)時(shí)，本文解與經(jīng)典Biot理論解基本一致，隨入射波頻率增加(如 1 000 Hz)，非局部參數(shù)對地表影響的影響較為顯著.其原因是頻率越高，波長越小，孔隙尺寸對波傳播特性的影響越大.

(2) 入射波頻率對地表響應(yīng)的影響與非局部參數(shù)有關(guān)，倘若以與經(jīng)典Biot偏差5%為分界點(diǎn)，可知非局部參數(shù)越大，頻率分界點(diǎn)越小.

(3) P波入射時(shí)，地表位移隨非局部參數(shù)的增大而增大，應(yīng)力隨非局部參數(shù)的增大而減小.SV波入射時(shí)，地表水平位移及應(yīng)力在入射角為45° 時(shí)，其值為0，這是由于SV波在45° 時(shí)發(fā)生全反射所致.此外，非局部參數(shù)通過減小SV波入射的臨界角，而使地表響應(yīng)的拐點(diǎn)向左移動(dòng).相同幅值的P波和SV波作用下，SV波所引起的地表響應(yīng)大于P波.

本文理論及研究成果可為半空間飽和土中波動(dòng)問題的研究提供借鑒.