“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”進(jìn)階教學(xué)

【摘 要】“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”常在高考試題中出現(xiàn)，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化與化歸”思想。為此，可以基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論設(shè)計(jì)合理“階梯”，幫助學(xué)生遷移學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)進(jìn)階;轉(zhuǎn)化與化歸;專(zhuān)題復(fù)習(xí)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）37-0044-04

【作者簡(jiǎn)介】周軍，江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué)（江蘇宜興，214221）教師，高級(jí)教師。

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在各地高考卷中都有精彩亮相，其中“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”因其獨(dú)特的設(shè)問(wèn)方式、推理邏輯、思維視角，成為命題人偏愛(ài)考查的內(nèi)容。然而，學(xué)生處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往顯得捉襟見(jiàn)肘，其癥結(jié)在于學(xué)生不善于將“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“方程解的存在性問(wèn)題”，更進(jìn)一步，即使對(duì)于已轉(zhuǎn)化得到的不定方程也缺乏有效的求解策略。這說(shuō)明學(xué)生不善于利用“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想，因而有必要對(duì)此做教學(xué)上的探討。

應(yīng)用“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)，能促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)的整合和聯(lián)系，有利于學(xué)生建立系統(tǒng)化、層次化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，形成高階思維。筆者依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，探討“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”的教學(xué)。

一、學(xué)習(xí)進(jìn)階的內(nèi)涵和意義

學(xué)習(xí)進(jìn)階是“對(duì)學(xué)習(xí)者在一個(gè)較大時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題時(shí)，所遵循的連貫的、逐漸深入的思維路徑的描述”[1]。學(xué)生對(duì)核心概念的學(xué)習(xí)并非一蹴而就，需要經(jīng)過(guò)多個(gè)不同的中間水平才能到達(dá)終點(diǎn)。這些中間水平稱(chēng)為 “階”，是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的 “腳踏點(diǎn)”。一個(gè)個(gè)“階”將學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和終點(diǎn)連接起來(lái)，形成一條逐步精致、持續(xù)深化的思維通路。

學(xué)習(xí)是一個(gè)基于原有經(jīng)驗(yàn)螺旋演進(jìn)式的動(dòng)態(tài)過(guò)程，進(jìn)階是聚焦認(rèn)知發(fā)展的一個(gè)研究視角。對(duì)于課程與教學(xué)論而言，學(xué)習(xí)進(jìn)階的意義在于延續(xù)了“應(yīng)為學(xué)生設(shè)定怎樣的學(xué)習(xí)路徑”這一核心問(wèn)題的探索。[2]

二、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)

“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”常常融合數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，著力考查學(xué)生的分析、轉(zhuǎn)化、綜合的能力。此類(lèi)問(wèn)題宜在高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)以微專(zhuān)題的形式呈現(xiàn)，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展提供有效路徑，并在思維躍遷的關(guān)鍵處搭建可靠的“腳手架”[3]，以便進(jìn)行學(xué)習(xí)進(jìn)階式教學(xué)。

1.進(jìn)階起點(diǎn)的分析。

從初中到高中，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累了一些與本專(zhuān)題相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)：二元一次方程、三元一次方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，可以用列舉法表示元素有限的集合，借助分離變量、換元等方法求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域，數(shù)列是定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)等。學(xué)生必然對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸有所耳聞。但學(xué)生也常有犯迷糊的時(shí)候，比如，不定方程的解是不能確定的，依據(jù)集合條件列舉元素時(shí)必須逐一嘗試，對(duì)于轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想缺乏自覺(jué)意識(shí)，等等。這些構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)。

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)的預(yù)設(shè)。

“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”大致可以轉(zhuǎn)化為兩種類(lèi)型的解方程：一是方程的個(gè)數(shù)等于或大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種類(lèi)型比較容易解決，可以直接解出未知量并驗(yàn)證其合理性;二是方程的個(gè)數(shù)等于或小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，即不定方程，這種類(lèi)型往往解的個(gè)數(shù)不確定。對(duì)于數(shù)列背景下的不定方程，學(xué)生可能會(huì)面臨一些典型的思維障礙：數(shù)列中的存在性問(wèn)題是怎樣轉(zhuǎn)化的，為什么不定方程的正整數(shù)解可以確定，求不定方程的正整數(shù)解有哪些思路和方法。

據(jù)此，筆者對(duì)每一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)預(yù)設(shè)如下：①認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化與化歸”的本質(zhì)特征;②理解問(wèn)題的數(shù)列屬性，探求列舉不定方程正整數(shù)解的合理方式;③形成轉(zhuǎn)化與化歸的思維自覺(jué);④深刻理解數(shù)列定義域的特殊性;⑤提煉“存在”和“不存在”分別對(duì)應(yīng)的解題方法;⑥歸納、內(nèi)化“條件轉(zhuǎn)化—等式化簡(jiǎn)—合理判斷”的解題思路。

3.進(jìn)階層級(jí)的劃分。

在階段性學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定后還要依據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)進(jìn)階的具體層級(jí)。教師劃分進(jìn)階層級(jí)的方式大致分為三步：一是通過(guò)問(wèn)卷、學(xué)習(xí)單、作業(yè)、考試等方式調(diào)查和收集學(xué)生的“迷思概念”;二是分析學(xué)生的學(xué)習(xí)疑問(wèn)和困惑，以專(zhuān)題形式整合零散的疑問(wèn);三是依據(jù)知識(shí)點(diǎn)、迷思點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、疑惑點(diǎn)等梳理邏輯序列，劃分進(jìn)階層級(jí)。筆者通過(guò)收集學(xué)生在學(xué)習(xí)單和作業(yè)中呈現(xiàn)的處理“數(shù)列中的存在性問(wèn)題”的錯(cuò)題，整理后發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤關(guān)鍵在于缺乏將數(shù)列存在性問(wèn)題向不定方程正整數(shù)解問(wèn)題轉(zhuǎn)化的意識(shí)以及求解不定方程的方法。筆者的層級(jí)劃分和教學(xué)過(guò)程如下。

（1）模式識(shí)別，深化理解

習(xí)題1：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn = [anan+m]（m∈N*）。是否存在m，使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt滿(mǎn)足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)指出符合題意的m的個(gè)數(shù);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

師：你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)題目的問(wèn)題模式嗎？

生1：我覺(jué)得這是一個(gè)探索性問(wèn)題。

師：為什么呢？請(qǐng)具體說(shuō)明。

生1：題目中出現(xiàn)了“是否存在”，意味著解題時(shí)應(yīng)考慮存在和不存在兩種方向，有一定開(kāi)放性吧。

師：考慮很全面。進(jìn)一步該如何處理呢？

生2：先根據(jù)Sn=n2，求得an=2n-1;再假設(shè)存在m，使得b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差數(shù)列，即2b4=b1+bt，則2 × [77+m] = [11+m] + [2t-12t-1+m] 。下面，解方程有些困難，感覺(jué)需要通分、交叉相乘“硬解”。

生3：這個(gè)不定方程比較復(fù)雜，需要先化簡(jiǎn)，可以將方程變形為2 × [77+m] - [11+m] = [2t-12t-1+m] ，先左邊通分得 [13m+7（7+m）（1+m）] = [2t-12t-1+m]，兩邊取倒數(shù)得[（7+m）（1+m）13m+7] = [2t-1+m2t-1]，分離常數(shù)得[（7+m）（1+m）13m+7] = 1+[m2t-1]，移項(xiàng)通分得[m2-5m13m+7] = [m2t-1]，兩邊約去m得[m-513m+7] = [12t-1]，兩邊取倒數(shù)得t = [7m+1m-5]，分離常數(shù)得t = 7 +? [36m-5]。依據(jù)整除性，當(dāng)m - 5 = 1，2，3，4，6，9，12，18，36時(shí)，分別存在t = 43，25，19，16，13，11，10，9，8適合題意。因此，符合題意的m共有9個(gè)。

師：生3分析得有理。求不定方程的正整數(shù)解時(shí)，要有明確的目標(biāo)意識(shí)，可以進(jìn)行未知量的分離。這一過(guò)程的實(shí)現(xiàn)必須關(guān)注等式的結(jié)構(gòu)特征，利用取倒數(shù)、分離常數(shù)等方法優(yōu)化運(yùn)算，化繁為簡(jiǎn)，最后利用約數(shù)枚舉不定方程的正整數(shù)解。請(qǐng)同學(xué)們反思一下研究過(guò)程，能否提煉出解決此類(lèi)問(wèn)題的一般路徑。

生4：我認(rèn)為這個(gè)數(shù)列中的存在性問(wèn)題應(yīng)轉(zhuǎn)化為不定方程存在正整數(shù)解的情形來(lái)研究，大體可以按照以下流程進(jìn)行：轉(zhuǎn)化條件→化簡(jiǎn)方程→合理判斷→存在→準(zhǔn)確列舉（利用約數(shù)縮小方程解的范圍）。

師：非常好！提煉研究問(wèn)題的一般套路其實(shí)就是習(xí)得一種可遷移的一般觀念，那么在遷移過(guò)程中可能會(huì)遇到哪些問(wèn)題呢？請(qǐng)大家討論并發(fā)表看法。

（學(xué)生分組討論，合作探究）

此題為學(xué)生提供思維程序化和抽象化的有效支架，讓學(xué)生體驗(yàn)深度理解“轉(zhuǎn)化與化歸”這一數(shù)學(xué)思想的進(jìn)階學(xué)習(xí)過(guò)程，同時(shí)通過(guò)開(kāi)放性話(huà)題的研討，營(yíng)造“憤悱”之境，為后續(xù)認(rèn)知同化或順應(yīng)引發(fā)心理暗示。

（2）思維迭代，精準(zhǔn)遷移

習(xí)題2：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=[n2n+1]，是否存在正整數(shù)m，n（1

師：這道題從形式上看，跟前面研究的問(wèn)題類(lèi)似，處理方式會(huì)有變化嗎？

生1：不太確定，不過(guò)前面我們歸納了數(shù)列中的存在性問(wèn)題的解決路徑，可以先嘗試一下。根據(jù)條件得到方程（[m2m+1]）2 = [13] （ [n2n+1]），即[m24m2+4m+1] = [n6n+3]。借助前面的化簡(jiǎn)經(jīng)驗(yàn)，兩邊取倒數(shù)，分離常數(shù)可得[-2m2+4m+1m2] = [3n]，但接下去好像無(wú)法轉(zhuǎn)化為利用整除性篩選方程解的結(jié)構(gòu)。

師：能自覺(jué)遷移已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這是思維進(jìn)階的重要表現(xiàn)。遇到障礙，要學(xué)會(huì)理性思辨，要善于回溯本質(zhì)。利用約數(shù)，篩選不定方程的可能解，本質(zhì)上是在等量關(guān)系的范疇縮小變量的范圍，方便有限列舉。那么，表征變量范圍最直接的數(shù)量關(guān)系是什么呢？

生2：應(yīng)該是不等關(guān)系。我明白了，可以利用等式中一個(gè)變量的范圍控制另一個(gè)變量的范圍，如果能夠?qū)⑵渲心骋粋€(gè)變量制約在一個(gè)收斂的區(qū)間內(nèi)，結(jié)合正整數(shù)的條件，自然可以得出有限個(gè)解。譬如，因?yàn)閙∈N*，n∈N*，所以[3n] >0，因此-2m2+4m+1>0，從而1 - [62] 1，所以m = 2，此時(shí)n = 12。故當(dāng)且僅當(dāng)m = 2，n = 12時(shí)，a1，am，an成等比數(shù)列。

生3：由生2的做法產(chǎn)生聯(lián)想，根據(jù)方程[m24m2+4m+1] = [n6n+3]的右邊，直接變形得[n6n+3] = [16+3n] < [16]，所以[m24m2+4m+1] < [16]，即2m2-4m-1<0，從而1 - [62]

師：有理有據(jù)。求不定方程的正整數(shù)解著力點(diǎn)在于約束變量的范圍，使得枚舉檢驗(yàn)成為可能。除了利用整除性，還可以利用不等關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。

本題為學(xué)生有效遷移解決問(wèn)題的一般觀念提供思維載體，引導(dǎo)學(xué)生明晰此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)在于通過(guò)控制變量范圍達(dá)成有限列舉，進(jìn)一步形成規(guī)范化和系統(tǒng)化的思維方式。

（3）高階躍遷，適度創(chuàng)新

解決數(shù)列存在性問(wèn)題的一般步驟為：轉(zhuǎn)化條件→化簡(jiǎn)方程→合理判斷。其中最關(guān)鍵的一步是合理判斷，如果存在，可求出解，如果不存在，需要推出矛盾。顯然，相比“存真”，探究“證偽”更易引發(fā)挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展。教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展，適度啟發(fā)，適時(shí)調(diào)控，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)新、能力提升。

習(xí)題3：已知an= 3·2n-1-2，試問(wèn)：數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)ap，aq，ar（p

師：與前面的題相比，你能說(shuō)說(shuō)這道題最突出的不同之處嗎？

生1：涉及的未知變量由兩個(gè)變成三個(gè)，感覺(jué)不定方程變復(fù)雜了。

師：為了讓我們的解題思路更明確，不妨先猜一猜存在還是不存在。

生2：我覺(jué)得不存在。從函數(shù)的角度看，數(shù)列{an}是一個(gè)單調(diào)遞增的指數(shù)型數(shù)列，而指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象是單調(diào)遞增的，為凹函數(shù)，等差數(shù)列的通項(xiàng)是一次函數(shù)，圖象為直線(xiàn)，而直線(xiàn)與指數(shù)函數(shù)圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，因此不可能出現(xiàn)三項(xiàng)成等差數(shù)列。

師：精彩！運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列問(wèn)題，先直觀判斷，后代數(shù)求證，合情合理。下面請(qǐng)大家嚴(yán)格求證一下不存在的理由。

生3：假設(shè)存在正整數(shù)p，q，r（p

生4：對(duì)于方程2q = 2p-1+2r-1，兩邊同除以2q ，得1 = 2p-q-1 +2r-q-1 = [12q-p+1] +2r-q-1 ，所以1 - 2r-q-1= [12q-p+1]。因?yàn)閜，q，r為正整數(shù)，且p

生5：按照生4的思路，我發(fā)現(xiàn)另一種推出矛盾的方法。對(duì)于方程1- 2r-q-1 = [12q-p+1]，因?yàn)閜，q，r為正整數(shù)，且p 1，從而1- 2r-q-1 ≤ 0， [12q-p+1]>0，顯然1- 2r-q-1 = [12q-p+1]不可能成立，故不存在正整數(shù)p，q，r（p

師：非常好，殊途同歸！從本質(zhì)而言，矛盾的焦點(diǎn)集中在等式兩邊“范圍”的不和諧，可以通過(guò)對(duì)奇數(shù)與偶數(shù)、整數(shù)與分?jǐn)?shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)等的判斷來(lái)揭示矛盾。

此題營(yíng)造了理性思辨、多維創(chuàng)新的思維場(chǎng)域，學(xué)生體驗(yàn)了從幾何直觀到代數(shù)推理的思維躍遷，形成了大膽猜想、小心求證的科學(xué)探索精神，創(chuàng)新了轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用視角。

【參考文獻(xiàn)】

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