何忠燕

(江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 江蘇 蘇州 215600)

兩個(gè)或以上的物體通過(guò)輕繩連接，各自經(jīng)歷相同或不同的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如圖1和圖2所示；這是中學(xué)階段比較常見(jiàn)的繩系連接體情景；于學(xué)生而言，繩系連接的物體之間力學(xué)聯(lián)系較為簡(jiǎn)單，但物體之間的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系特別是速度大小關(guān)系，以及輕繩對(duì)每個(gè)物體做功的問(wèn)題頗為困擾學(xué)生.

圖1 速度大小相等的連接體

圖2 速度大小不等的連接體

本文從繩系連接體的基本特點(diǎn)入手，一是幫助學(xué)生快速判斷連接體間的速度關(guān)系；二是通過(guò)證明導(dǎo)出輕繩對(duì)兩個(gè)物體做功的特征，尋求找到解決繩系連接體中能量關(guān)系的方法.

1 繩系連接體的動(dòng)力學(xué)特征

輕繩是一種理想模型，它的質(zhì)量和形變均可以忽略，因此繩系連接體中繩子的總長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化；因此輕繩一端伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度必然與另一端收縮的長(zhǎng)度相同，輕繩一端伸長(zhǎng)的速度也必然與另一端收縮的速度相同，即v伸=v收.在輕繩與接觸的介質(zhì)之間摩擦可以忽略的情況下，輕繩對(duì)和它連接的兩個(gè)物體施加的彈力大小相等，且彈力與連接的輕繩在同一直線上.

2 繩系連接的物體間的速度聯(lián)系

學(xué)習(xí)過(guò)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，經(jīng)常需要討論繩系連接體之間的速度關(guān)系；對(duì)于初學(xué)者而言，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)分解解決具體問(wèn)題一般會(huì)有以下幾個(gè)困惑：

問(wèn)題1:連接體中物體的速度要不要分解？

問(wèn)題2:若要分解，將什么速度分解？

問(wèn)題3:分解速度時(shí)沿哪兩個(gè)方向？

解決以上3個(gè)問(wèn)題，首先要明確探討的目標(biāo)——尋找連接物體之間速度的大小關(guān)系.

對(duì)于問(wèn)題1，只要判斷兩個(gè)物體的速度大小不相等，就需要將連接體中某個(gè)(或兩個(gè))物體的速度分解，至于如何判斷兩個(gè)物體的速度大小相等，高中階段通常的做法，取一段極短的時(shí)間Δt，在情境圖中找出該時(shí)間內(nèi)兩個(gè)物體各自的起始位置，比較它們的路程Δs是否相等，若路程相同，根據(jù)瞬時(shí)速度的定義，兩物體的速率必定相等.

圖1中A上升的路程等于B下落的路程，所以vA=vB.圖2中，取連接體運(yùn)動(dòng)的一段很短時(shí)間內(nèi)，當(dāng)兩物體各自到達(dá)虛線位置如圖3所示，物體B的路程為圖中的ΔsB，過(guò)程中連接物體B的輕繩由L1變成L2；物體A的路程等于定滑輪左邊輕繩伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，也等于定滑輪右側(cè)輕繩縮短的長(zhǎng)度.在連接B的輕繩L1上取一段長(zhǎng)度等于L2，L1上余下的那部分長(zhǎng)度就是定滑輪右側(cè)輕繩收縮的長(zhǎng)度，即為物體A的路程，由三角形知識(shí)(大邊對(duì)大角)可知，ΔsB大于ΔsA；所以vA的大小不等于vB.

圖3 相等時(shí)間內(nèi)兩物經(jīng)過(guò)的路程比較

對(duì)于問(wèn)題2，只有當(dāng)被連接的兩個(gè)物體速度大小不相等，才需要考慮將連接體中物體的速度分解.由于連接的介質(zhì)輕繩(或輕桿)也在運(yùn)動(dòng)，剛接觸運(yùn)動(dòng)分解的高中學(xué)生容易混淆合運(yùn)動(dòng)是指物體的運(yùn)動(dòng)還是連接介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，教師只需強(qiáng)調(diào)合運(yùn)動(dòng)的概念——物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)(不是連接介質(zhì)的運(yùn)動(dòng))，所以物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度才是合速度，才是需要分解的對(duì)象.

在具體的問(wèn)題中，繩系連接體的兩個(gè)物體的速度是不是都要分解，要看物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)連接它的輕繩產(chǎn)生了幾個(gè)效果，如果效果單一，則該物體的速度不需要分解.圖2中，物體A的運(yùn)動(dòng)僅僅使連接它的輕繩伸長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的效果唯一，因此物體A的速度不需要分解；而物體B的運(yùn)動(dòng)不僅使連接它的輕繩收縮(由長(zhǎng)度L1變?yōu)長(zhǎng)2)，同時(shí)還使輕繩與豎直方向的夾角減小(輕繩繞與定滑輪的接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))，因此物體B的速度需要分解.

對(duì)于問(wèn)題3，繩系連接體中速度分解是按照物體使輕繩產(chǎn)生的實(shí)際效果進(jìn)行的，即將物體的速度沿輕繩方向(使輕繩伸長(zhǎng)或收縮的速度)和垂直于輕繩方向(使輕繩轉(zhuǎn)動(dòng))兩個(gè)方向分解，根據(jù)繩系連接體的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征v伸=v收，就能建立繩系連接體中兩物體之間的速度大小關(guān)系.

圖2中，物體B運(yùn)動(dòng)使連接它的輕繩變短，其速度分解如圖4所示，可得

圖4 速度按實(shí)際效果分解

v收=vBcosα

物體A運(yùn)動(dòng)僅僅使連接它的輕繩伸長(zhǎng)，v伸=vA，故

vA=vBcosα

以上是運(yùn)動(dòng)合成與分解在教學(xué)中的一種常規(guī)思路.對(duì)初學(xué)者而言，立足于輕繩的動(dòng)力學(xué)特征，剖析繩系連接體之間的速度關(guān)系有利于學(xué)生掌握運(yùn)動(dòng)合成與分解的基本原理，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的物理科學(xué)思維，在新授課階段無(wú)疑對(duì)學(xué)生大有裨益；但若在找尋繩系連接體的速度關(guān)系習(xí)題中都采用這種分析方法，那過(guò)程就顯得有些繁瑣，因此有必要提煉出相對(duì)高效的規(guī)律.

因?yàn)槔K系連接體間v伸=v收，若兩物體的速度不相等，我們只需找到兩個(gè)速度沿輕繩方向分量.只有一種情況“與輕繩垂直的速度分量”為零——即物體的速度方向和連接物體輕繩平行，此時(shí)沿輕繩方向的速度分量就等于物體的速度(v伸=v物或v收=v物).因此找尋繩系連接體的物體速度關(guān)系，我們可以兩個(gè)簡(jiǎn)單步驟：

(1)觀察物體的速度與連接物體的輕繩是否平行；若都平行，則兩物體的速度大小相等，都等于輕繩的伸長(zhǎng)或收縮速度，若其中有物體的速度和輕繩不平行，則將該物體的速度分解.

(2)繩系連接體速度按照規(guī)定的范式分解：沿輕繩方向和垂直于輕繩方向；建立v伸=v收的關(guān)系即可.

下面我們就按照上面的方法分析兩個(gè)案例.

圖5中，物體A的速度和連接A的輕繩平行，物體B的速度和連接B的輕繩平行，只要輕繩不松弛，A和B的速度大小就始終相等.

圖5 兩物速度等大，拉力做功大小相等說(shuō)明圖

圖6中，物體A的速度和連接A的輕繩不平行，物體B的速度和連接B的輕繩也不平行，因此A和B的速度均需分解，按照規(guī)定的范式，必然有

圖6 兩物體速度大小不等，拉力做功大小相等說(shuō)明圖

vAcosβ=vBcosα

圖7中，物體A的速度和連接A的輕繩平行，繩子收縮速度v收=vA；物體B的速度和連接B的輕繩不平行，只需將B的速度分解

圖7 系統(tǒng)機(jī)械能守恒說(shuō)明圖

v伸=vBcosα

所以

vA=vBcosα

3 繩系連接體中輕繩對(duì)兩個(gè)物體做功的特征

在繩系連接體中，輕繩對(duì)兩個(gè)物體的彈力可以是恒力，如圖5輕繩對(duì)A和B的拉力；也可以是變力，如圖6輕繩對(duì)兩個(gè)物體的拉力.在這些情境中，輕繩對(duì)兩個(gè)物體做的功大小有什么關(guān)系呢？

盡管在機(jī)械能守恒定律中強(qiáng)調(diào)，系統(tǒng)內(nèi)如果只有重力和彈力(非突變彈力)做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；但教材中并未做詳細(xì)的闡述，學(xué)生在涉及彈力做功的系統(tǒng)中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)總是帶著困惑.在這里我們先應(yīng)用“瞬時(shí)功率法”證明系統(tǒng)內(nèi)的非突變彈力(是系統(tǒng)的內(nèi)力)對(duì)物體做功的特征.

忽略與輕繩接觸的物體間的摩擦；根據(jù)輕繩的動(dòng)力學(xué)特征，輕繩對(duì)和它連接的兩個(gè)物體彈力大小相等.設(shè)輕繩任意時(shí)刻的彈力大小為F，物體的速度為v，彈力F與速度v之間的夾角為θ，彈力F的瞬時(shí)功率P=Fvcosθ.

圖5中，輕繩的彈力與兩物體的速度均平行，彈力F對(duì)物體A做功的瞬時(shí)功率PA=-Fv(夾角為π)，“-”表示彈力F是物體A運(yùn)動(dòng)的阻力，對(duì)物體A做負(fù)功；彈力F對(duì)物體B做功的瞬時(shí)功率PB=Fv(夾角為零)；輕繩的彈力對(duì)兩個(gè)物體做功的快慢始終相同，在同一時(shí)間內(nèi)，輕繩對(duì)兩個(gè)物體的功WA和WB的大小必然相等，但對(duì)A做負(fù)功，因此WA+WB=0.

圖6中，輕繩的彈力與兩物體的速度都不平行，彈力F對(duì)物體A做功的瞬時(shí)功率PA=-FvAcosβ，“-”表示彈力F是物體A運(yùn)動(dòng)的阻力，對(duì)物體A做負(fù)功；彈力F對(duì)物體B做功的瞬時(shí)功率PB=FvB·cosα；由前面的分析有vAcosβ=vBcosα；因?yàn)檩p繩的彈力對(duì)兩個(gè)物體做功的快慢也始終相同，故輕繩對(duì)兩個(gè)物體的功WA和WB的大小必然相等，只不過(guò)對(duì)A做負(fù)功，同樣WA+WB=0.

綜上所述，繩系連接體中無(wú)論輕繩的彈力是恒力還是變力(繩子不能突然繃緊)，輕繩對(duì)兩個(gè)物體做功的代數(shù)和均為零.

在忽略一切摩擦的情況下，如果討論類(lèi)似圖7的情境時(shí)，若將物體A和B視為系統(tǒng)，在A，B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，根據(jù)功能關(guān)系——除重力外其他力的功等于物體機(jī)械能的改變量，可知彈力對(duì)物體A的功為WA=ΔEA，彈力對(duì)物體B的功為WB=ΔEB，將兩式相加

WA+WB=ΔEA+ΔEB=0

即物體A和B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.這就對(duì)高中物理必修教材上機(jī)械能守恒定律的論述做了一個(gè)很好的輔證.

下面再用一個(gè)案例來(lái)討論繩系連接體的功能關(guān)系.

【例題】套在光滑豎直細(xì)桿上的小球B用細(xì)線繞過(guò)定滑輪與放在斜面上的物體A連接，如圖8所示，已知斜面傾角為37°，A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，定滑輪與細(xì)桿間的距離為L(zhǎng)；開(kāi)始時(shí)施加外力使B球靜止，此時(shí)連接B的輕繩水平，撤去外力后B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)輕繩與桿的夾角為37°，求物體A與小球B的質(zhì)量之比.

圖8 案例題圖

對(duì)物體A應(yīng)用動(dòng)能定理

雖然輕繩的拉力為變力，但它對(duì)兩物體的功之和為零，將兩式相加，即可解得

“多物體”組成的問(wèn)題情境一直是高中階段探究的熱點(diǎn)，于學(xué)生而言，厘清繩系連接體的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系以及功能關(guān)系不僅僅有利于學(xué)生掌握此類(lèi)題型的分類(lèi)方法，更能培養(yǎng)學(xué)生物理科學(xué)思維、物理建模以及求真的精神.此外，文中對(duì)繩系連接體的兩個(gè)困擾的解釋也可以遷移到活桿組成的連接體上.