黃宇達， 王迤冉， 牛四杰

(1.周口職業(yè)技術學院 信息工程學院，河南 周口 466000；2.周口師范學院 網(wǎng)絡工程學院，河南 周口 466000；3.濟南大學 信息科學與工程學院，山東 濟南 250000)

0 引言

超分辨率重構(gòu)技術[1]能夠把低分辨率的圖像重構(gòu)出與真實圖像相近的超分辨率圖像，這樣可從軟件角度解決成像的硬件設備問題。超分辨率重構(gòu)技術作為目前計算機視覺領域的主要研究熱點之一，在遙感成像[2]、醫(yī)學影像分析[3]、工業(yè)成像等領域具有廣泛的應用前景。目前，超分辨率重構(gòu)技術主要分為3類：插值、重構(gòu)和學習的超分辨率重構(gòu)算法。

基于插值算法[4-5]就是利用低分辨率圖像中已知像素點對未知像素點進行估計，雖然其計算復雜度較低，但易放大邊緣，造成細節(jié)模糊和鋸齒邊界。基于重構(gòu)的超分辨率算法是利用數(shù)字圖像處理技術求解成像模型的逆過程，從而進一步實現(xiàn)超分辨重構(gòu)，常用的模型有全變分正則化模型[6-7]、梯度輪廓先驗[8]等。其盡管引入了先驗知識，但對具有較為豐富結(jié)構(gòu)信息類型的圖像來說，該方法仍難以獲得邊界清晰的視覺效果。

Freeman等[9-10]首先提出了基于學習思想的圖像超分辨重構(gòu)，主要分為2個階段：訓練階段和重構(gòu)階段。該方法訓練所需樣本數(shù)量大，重構(gòu)速度慢。隨后，Sun等[11]在文獻[9-10]的算法基礎上提出了樣本學習法，因為從原始圖像空間中學習到維度較小的圖像基元空間，所以可以用少數(shù)基元表示原始圖像，從而改善高低分辨率之間的映射關系，提高重構(gòu)精度。

Chang等[12]借鑒流形學習的思想，引入局部線性嵌入，提出了基于鄰域嵌入方法的圖像超分辨率復原算法。Yang等[13-14]提出了基于稀疏表示(sparse coding super resolution，SCSR)的圖像超分辨率重構(gòu)算法，該方法通過訓練學習高、低分辨率圖像的映射關系，用優(yōu)化方法求得低分辨圖像的稀疏系數(shù)矩陣，最后通過稀疏系數(shù)矩陣重構(gòu)高分辨率圖像。Zeyde等[15]對文獻[13-14]的方法進行了改進，并采用K-奇異值分解(K-singular value decomposition，K-SVD)算法[16]和最優(yōu)方向法(method of optimal direction，MOD)[17]分別學習高、低分辨率的字典，大大提升了學習效率。以上各方法雖然可小幅提升超分辨率重構(gòu)質(zhì)量，但高、低分辨率字典稀疏系數(shù)矩陣不具有不變性的缺陷，制約了重構(gòu)圖像質(zhì)量的提升。王杰等[18]采用自適應交替方向乘子方法對圖像進行去模糊，在保證計算速度的同時自適應地復原出最佳圖像。針對上述不足，Wang等[19]提出半耦合字典學習(semi-coupled dictionary learning，SCDL)算法，該方法從樣本圖像中學習到的高、低分辨率字典稀疏系數(shù)矩陣具有不變性，提高了算法的重構(gòu)效果。楊愛萍等[20]利用分類稀疏編碼、非局部相似性改進SCDL算法，進一步提高了重構(gòu)精度。盡管SCDL框架和改進的方法增強了學習高、低分辨率圖像塊之間映射關系的能力，提升了重構(gòu)精度，但由于忽略了較為重要的細節(jié)信息，比如邊界，而這些細節(jié)信息對于重構(gòu)后的圖像影響較大，從而限制了算法的重構(gòu)精度。

筆者針對半耦合字典學習算法的不足，提出了基于細節(jié)約束因子和半耦合字典學習的圖像超分辨重構(gòu)方法：以半耦合字典學習算法為框架，引入雙向梯度的邊界差異，構(gòu)建邊界保持約束項，重構(gòu)出接近真實而豐富邊界；引入邊界保持約束項，考慮邊界差異的拉普拉斯分布，提出了自適應邊界約束系數(shù)求解方法，使其能夠在半耦合字典學習算法整體框架下實現(xiàn)超分辨率重構(gòu)，進一步提升超分辨率重構(gòu)質(zhì)量。

1 相關工作

低分辨率圖像的獲取過程被認為是高質(zhì)量圖像退化過程，假設給定低分辨率圖像y，則圖像的獲取過程可描述為

y=BHx+n。

(1)

式中：x為高質(zhì)量圖像；B為采樣因子;H為模糊操作;n為噪聲。

通過上述過程可以看出，超分辨率重構(gòu)過程實際上是圖像退化過程的逆向?qū)崿F(xiàn)過程。然而從低分辨率圖像中重構(gòu)出高分辨率圖像y，是一種病態(tài)問題。為了解決這個問題，稀疏表示[9-13]被提出來實現(xiàn)超分辨重構(gòu)。將稀疏表示的相關理論引入到圖像超分辨過程，主要包括2個階段：字典訓練階段和重構(gòu)階段。

假定來自低分辨率圖像y的塊yi可用字典Dy來表示，即yi=Dyαi。可通過優(yōu)化如下目標函數(shù)來求得稀疏系數(shù)αi：

(2)

2 重構(gòu)模型的實現(xiàn)

2.1 半耦合字典學習訓練階段

假設給定高、低分辨率圖像塊數(shù)據(jù)X=[x1,x2,…,xn]和Y=[y1,y2,…,yn]，其中{xi,yi}是相應的高、低分辨率對應的圖像塊，Dx、Dy分別表示高、低分辨率對應字典，αx、αy分別表示高、低分辨率圖像塊對應的稀疏表示系數(shù)。半耦合字典學習的基本思想是首先建立對應的高低分辨率圖像塊，然后假設圖像塊在相應字典下的稀疏表示系數(shù)不再是相同的，而是通過一個稀疏域的映射矩陣相關聯(lián)。SCDL 算法框架放寬了約束條件，加強了高、低分辨率圖像塊之間映射關系的學習能力，提高了重構(gòu)質(zhì)量，其在訓練階段可一并得到半耦合的高、低分辨率字典以及稀疏域映射矩陣W：

αx=Wαy。

(3)

SCDL算法基于l1范數(shù)正則化的稀疏表示模型，引入了映射誤差懲罰項，改進高、低分辨率稀疏表示問題，從而獲得半耦合字典學習模型，即

(4)

在SCDL算法中，半耦合字典學習最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為3個子問題交替求解，采用以LARS算法為基礎的SPARS工具箱解決l1范數(shù)正則化的稀疏表示子問題。筆者這里采用交替啟發(fā)式學習框架進行稀疏求解。首先初始化映射矩陣W和字典對Dx和Dy，稀疏系數(shù)可通過下面子問題進行求解：

(5)

(6)

式(5)、(6)是一個多任務LASSO問題，筆者采用LARS進行求解。然后，根據(jù)已求的αx和αy，同樣采用交替迭代學習策略求解Dx和Dy：

(7)

固定Dx、Dy、αx和αy，求解映射矩陣W：

(8)

訓練階段的偽代碼描述如下。

輸入:低分辨率圖像X，高分辨率圖像Y,Dx、 隨機初始化字典矩陣Dy,初始化映射矩陣W,參數(shù)λx、λy、λW、γ。

for每次迭代until收斂

for每個聚類中心

Step1根據(jù)式(5)和(6)計算稀疏系數(shù)αx和αy；

Step2根據(jù)式(7)更新字典Dx、Dy；

Step3根據(jù)式(8)更新映射函數(shù)W

輸出:Dx、Dy、Wx、Wy。

2.2 超分辨率重構(gòu)階段

筆者所提出的算法框架的訓練過程如圖1所示。

圖1 所提算法的流程圖Figure 1 Flow chart of the proposed algorithm

2.2.1 細節(jié)約束因子

細節(jié)信息的重構(gòu)對于后續(xù)圖像分析非常有價值。然而，在超分辨率圖像重構(gòu)過程中，往往會丟失重要的細節(jié)信息。因此，筆者試圖利用一維圖像處理，充分考慮各個方向上的紋理梯度信息。對于圖像x而言，紋理梯度信息定義為

(9)

(10)

實際上，真實超分辨率圖像x是未知變量。為了衡量紋理差異，將其轉(zhuǎn)化為低分辨率圖像y與超分辨率重構(gòu)圖像的退化圖像的紋理差異：

(11)

利用稀疏表示，式(11)重新寫為

GD=G(y)-G(BHDα)。

(12)

2.2.2 測試階段

通過半耦合字典學習交替進行的學習策略，能夠?qū)W到對應的稀疏系數(shù)和字典矩陣。為了保證重構(gòu)圖像的細節(jié)，在測試階段引入細節(jié)保持因子。給定低分辨率圖像x，字典矩陣Dx和Dy，通過構(gòu)造以下目標函數(shù)重構(gòu)高分辨率圖像y：

(13)

式中：xi和yi分別表示低分辨率和重構(gòu)圖像的圖像塊。筆者采用one-by-one求解策略來更新稀疏系數(shù)。固定稀疏系數(shù)αyi，稀疏系數(shù)αxi可以通過下面表達式進行優(yōu)化：

(14)

然后通過式(15)求解稀疏系數(shù)αyi：

(15)

其中，μ為正則項參數(shù)，用來約束紋理細節(jié)項的貢獻。為了更好描述約束項的貢獻，筆者采用一種權(quán)重自適應優(yōu)化方法：

(16)

式中：σn為噪聲標準差；σi為第i塊的差異標準差。

通過式(17)可求得高分辨率圖像的稀疏系數(shù)αyi，根據(jù)稀疏字典表示方法重構(gòu)高分辨率圖像：

yi=Dyαyi。

(17)

3 實驗及結(jié)果分析

(18)

(19)

為了評價筆者所提算法性能，將其與現(xiàn)有的單幅圖像超分辨率重構(gòu)算法進行對比分析，選取近年來相對較為先進的超分辨率重構(gòu)算法，主要包括Bicubic插值、SRCNN算法[22]、SCDL算法[19]。為了使對比更為客觀，采用相同的訓練集和測試集。

筆者采用的實驗方案如下：①受篇幅限制，對超分辨率圖像只進行2倍下采樣獲得低分辨率圖像，評價算法的重構(gòu)性能；②對超分辨圖像進行加噪聲，然后進行2倍下采樣獲得含有噪聲的低分辨率圖像，評價算法的重構(gòu)性能。

實驗1：未加噪聲實驗分析。以butterfly為例，評價圖像在2倍下采樣各算法的超分辨率重構(gòu)結(jié)果如圖2所示。由實驗看出，利用Bicubic插值算法重構(gòu)的圖像存在鋸齒邊界，而且邊界模糊。而采用深度學習方法SRCNN效果好于Bicubic插值算法，消除了鋸齒狀邊界，但大邊界仍存在模糊現(xiàn)象。SCDL算法重構(gòu)的圖像雖具有更強的邊界表達能力，然而在局部區(qū)域會出現(xiàn)一定的噪聲和邊界模糊。筆者提出的算法在重構(gòu)紋理細節(jié)、消除噪聲及重構(gòu)細節(jié)結(jié)構(gòu)方面具有很好的效果，重構(gòu)圖像更能接近原始高分辨率圖像，表1給出了上述各超分辨率算法重構(gòu)圖像的PSNR值和SSIM值。

圖2 在2倍下采樣各算法超分辨率重構(gòu)結(jié)果Figure 2 Super resolution reconstruction results of each algorithm for 2 times down sampling

實驗2：加噪聲實驗分析。以Parthenon為例，在無噪聲圖像上加噪聲水平nsignal=10的噪聲，評價圖像在2倍下采樣各算法的超分辨率重構(gòu)結(jié)果如圖3所示。對于有噪聲圖像而言，Bicubic插值對噪聲敏感，放大了噪聲水平。SRCNN算法對噪聲具有一定的克服能力，但在邊界上仍有噪聲存在，從而導致重構(gòu)圖像的邊界細節(jié)重構(gòu)能力明顯不足。SCDL算法雖然有一定的克服能力，但在重構(gòu)過程中，邊界細節(jié)重構(gòu)方面的能力仍然不足。筆者提出的算法對噪聲具有一定的魯棒性，在有效去除噪聲的同時能夠很好地重構(gòu)出細節(jié)信息。表1給出了在噪聲條件下，各算法的重構(gòu)圖像的PSNR值和SSIM值。

表1 不同策略下重構(gòu)圖像的PSNR值和SSIM值Table 1 PSNR values and SSIM values of reconstructed images under different strategies

圖3 在2倍下采樣各算法超分辨率重構(gòu)結(jié)果(nsignal=10)Figure 3 Super resolution reconstruction results of each algorithm for 2 times down sampling(nsignal=10)

4 結(jié)論

針對單幅圖像的超分辨率細節(jié)弱重構(gòu)的問題，筆者采用將細節(jié)約束因子引入到半耦合字典學習框架中的方法，捕獲圖像的結(jié)構(gòu)信息，重構(gòu)出更多的圖像細節(jié)信息；根據(jù)邊界差異的分布實現(xiàn)參數(shù)自適應選擇。另外，筆者又采用了利用交替學習策略進行模型的優(yōu)化。實驗結(jié)果表明，筆者提出的引入細節(jié)約束因子的半耦合字典學習超分辨重構(gòu)算法構(gòu)造的模型能夠較好地重構(gòu)出圖像細節(jié)結(jié)構(gòu)。