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      關于三次多項式數(shù)列的連續(xù)多項式分解

      2021-07-10 09:05:00楊永剛
      四川職業(yè)技術學院學報 2021年3期
      關鍵詞:充分性三階倒數(shù)

      楊永剛

      (南充市高坪中學,四川 南充 637100)

      如果數(shù)列通項an是關于自然數(shù)n的多項式,則稱數(shù)列an是多項式數(shù)列.多項式數(shù)列連續(xù)分解的概念由文[1]首先提出,并指出了這種分解的重要意義,而文[1]提出這一概念是基于文[2]中一習道及其解答[3].由于一般情況的復雜性,文[1]只對二次多項式數(shù)列和兩類特殊的四次多項式數(shù)列作了具體研究,并得出了相應結果,而對于三次多項式數(shù)列的連續(xù)分解僅提到,并未作具體研究.本文采用文[1]的方法,對三次多項式數(shù)列的連續(xù)分解進行研究,并對三類特殊的三次多項式數(shù)列給出具體的連續(xù)分解性,最后再指出其在求倒數(shù)和與一類特殊求商問題中的應用.

      定義1[1]對于數(shù)列an,若存在數(shù)列bn,使an=bnbn+1…bn+k-1(k≥2),則稱bnbn+1…bn+k-1是數(shù)列an的一個k階連續(xù)分解.

      定義2對于多項式數(shù)列an,若存在多項式數(shù)列bn,使an=bnbn+1…bn+k-1(k≥2),則稱bnbn+1…bn+k-1是多項式數(shù)列an的一個k階連續(xù)多項式分解,此時也稱多項式數(shù)列an可做k階連續(xù)多項式分解.

      顯然,多項式數(shù)列an的一個k階連續(xù)多項式分解也是數(shù)列an的一個k階連續(xù)分解.

      定理1若三次多項式數(shù)列an能作k階連續(xù)多項式分解:an=bnbn+1…bn+k-1(k≥2),則k=3,且bn是一次多項式.

      證明:設an=an3+bn2+cn+d(a≠0),則bn不是常數(shù).因為如果bn=h為常數(shù),則bn=bn+1=…=bn+k-1=h,從而an=bnbn+1…bn+k-1=hk為常數(shù),這與an是三次多項式數(shù)列相矛盾.設bn=f(n)是關于n的m(≥1)次多項式:

      即bn+1,…,bn+k-1也都是關于n的m次多項式,an=bnbn+1…bn+k-1的右邊是關于關于n的km次多項式,而左邊是關于n的3次多項式,故3=km,由k≥2,且3是素數(shù),故k=3,m=1,即bn是一次多項式.

      定理2三次多項式數(shù)列an=(an+b)3+c(a≠0)不能作三階連續(xù)多項式分解.

      證明:假設an能作三階連續(xù)多項式分解,則由定理1可設

      將(1)兩邊展開并整理為關于n的降冪形式得

      比較(2)式兩邊的對應系數(shù)得

      由(3)得d=a,代入(4)解得f=b-a;將d,f代入(5)并化簡變形得a=0,這與a≠0相矛盾,故an不能作三階連續(xù)多項式分解.

      定理3形如an=an3+bn+c(a≠0)的三次多項式數(shù)列能作三階連續(xù)多項式分解的充要條件是:a+b=0且c=0.

      證明:(必要性)設an=bnbn+1bn+2,其中bn=dn+e,則

      比較系數(shù)得:

      (充分性)由a+b=0且c=0,則

      定理4形如an=an3+bn2+c(a≠0)的三次多項式數(shù)列能作三階連續(xù)多項式分解的充要條件是:b2=3a2且

      證明:(必要性)設an=bnbn+1bn+2,其中bn=dn+e,則

      比較系數(shù)得:

      (充分性)由a、b、c滿足則容易驗證(11)~(14)都成立,故有下式成立:

      由定理4的充分性的證明立即得下面的定理5.

      定理5若三次多項式數(shù)列an=an3+bn2+c(a≠0)滿足:b2=3a2且,則an=bnbn+1bn+2,其中

      最后,如果三次多項式數(shù)列an(≠0,?n∈N*)能作三階連續(xù)多項式分解an=bnbn+1bn+2,其中bn=dn+e是公差為d的等差數(shù)列,顯然d≠0,bn≠0(?n∈N*),從而可以求如下倒數(shù)和與商:

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