欒功

[摘? ?要]整合教材，優(yōu)化課程，讓“四基”融入教學(xué)，提升學(xué)生素養(yǎng)，是教師的基本功.

[關(guān)鍵詞]整合;教材;導(dǎo)學(xué);素養(yǎng)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0006-04

一、 了解學(xué)生

學(xué)生是教學(xué)行為中關(guān)鍵的一個要素.為了更有效教學(xué)，教師就很有必要先了解學(xué)生，了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗.《基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與運算法則》這節(jié)課，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義，用導(dǎo)數(shù)的定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后的一節(jié)新授課.通過前面課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解了導(dǎo)數(shù)的概念，掌握了通過導(dǎo)數(shù)的定義求解一些簡單冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，積累了一定的求導(dǎo)問題的基本活動經(jīng)驗，掌握了求導(dǎo)運算的一些基本技能，體會到了用導(dǎo)數(shù)刻畫解釋現(xiàn)實生活中一些變化率的問題，感受到了導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題與實際問題中的作用，具備了繼續(xù)學(xué)習(xí)初等函數(shù)求導(dǎo)公式的基礎(chǔ)知識.

二、 理解教材

思考1： 教材內(nèi)容與課時內(nèi)容如何合理分割？

《基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與運算法則》包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三部分內(nèi)容.這些內(nèi)容是要分割為兩課時講，還是用一課時講完？這是筆者思考的第一個問題.一方面從理解教材地位來講，這節(jié)課的學(xué)習(xí)是整章內(nèi)容的運算基礎(chǔ)，求導(dǎo)的準(zhǔn)確性與熟練程度影響用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、微積分等知識進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，可以說這節(jié)看似枯燥無味的公式法則課，卻是牽一發(fā)而動全身般的重要.另一方面，筆者請教了本冊教科書的編者郭慧清教授，郭教授在電話中講“能利用求導(dǎo)公式與法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是這節(jié)課的主旨”.鑒于此，筆者綜合教材地位與編者建議，將教材內(nèi)容分割為兩個教學(xué)課時，第1課時為《基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則》，第2課時為《復(fù)合函數(shù)及求導(dǎo)法則》.

思考2：如何整合不同版本的教材，如何選擇例題？

對教材內(nèi)容做了合理分割后，教學(xué)課時內(nèi)容明確，目標(biāo)清晰.為了使學(xué)生能用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，人教A版教科書在直接給出公式和法則后，通過例題和習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生模仿、操作，以熟悉和掌握導(dǎo)數(shù)的概念和基本運算.為了貫徹教材思想和編者意圖，筆者再三琢磨課本例題，例1和例3都為實際問題，例2為一個三次函數(shù)求導(dǎo)問題.筆者認(rèn)為這樣的例題安排過于強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用，忽視了對求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的練習(xí)，達(dá)不到學(xué)生對求導(dǎo)公式和運算法則熟悉和掌握的要求，必然導(dǎo)致運算基礎(chǔ)不牢固，也不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，繼而在后續(xù)學(xué)習(xí)中總是出現(xiàn)求導(dǎo)錯誤的問題.出于對教學(xué)活動中“四基”的理解和落實、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)逐層培養(yǎng)的考慮，筆者比較研究了人教A版、北師大版、蘇教版、湘教版四個版本教材的內(nèi)容和課時安排（如表1）.

綜合比較四個版本教材的內(nèi)容和課時設(shè)計，再次印證了筆者對課時分割的合理性，將基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與函數(shù)和、差、積、商的運算法則設(shè)計為第1課時，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則為第2課時.第1課時教學(xué)中適量的練習(xí)對于熟悉公式和法則是非常必要的.因此筆者整合了四個版本教材的例題、習(xí)題，優(yōu)化了課程內(nèi)容，對第1課時教學(xué)內(nèi)容的例題、習(xí)題做了優(yōu)化（見表2）.

三、 理解教法

思考3：? 如何提升學(xué)生素養(yǎng)？

該怎樣組織教學(xué)，怎樣在課堂中落實“四基”，提升學(xué)生核心素養(yǎng)？面對新的挑戰(zhàn)和困惑，筆者請教了南寧三中黃河清校長，黃校長講道：不論怎樣的課型，問題都是數(shù)學(xué)的心臟，以問題為引領(lǐng)，盡可能挖掘知識的內(nèi)涵和外延，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，在潛移默化中落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，提升素養(yǎng).黃校長的指導(dǎo)讓筆者豁然開朗，“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法結(jié)構(gòu)完整，尤其是“概念形成” “概念深化” “應(yīng)用探索”三個環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，育人于潛移默化中，真是 “眾里尋他千百度，驀然回首，教法卻在燈火闌珊處”.

四、教學(xué)過程

（一）新課引入

課件展示前幾節(jié)課主題內(nèi)容，教師講述：通過前面課程的學(xué)習(xí)，同學(xué)們經(jīng)歷了由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解了導(dǎo)數(shù)的概念，感受到了導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用，同時還學(xué)習(xí)了通過導(dǎo)數(shù)的定義求解一些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如求解[y=x]，[y=x2]等簡單的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

問題1：一般的冪函數(shù)[y=xα]的導(dǎo)數(shù)如何計算呢？

問題2：我們學(xué)過的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)又如何計算呢？

設(shè)計意圖：采用復(fù)習(xí)引入新課，是基于“四基”之間的聯(lián)系而設(shè)計，旨在讓學(xué)生重溫其親身經(jīng)歷的一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的思考、探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基本活動經(jīng)驗，并在此基礎(chǔ)上繼續(xù)提出新的問題，在解決新問題的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進(jìn)而孕育素養(yǎng)，進(jìn)行創(chuàng)新學(xué)習(xí).

（二）概念形成

教師講述：數(shù)學(xué)家早已解決了這些函數(shù)的求導(dǎo)問題，將來同學(xué)們學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識，也會掌握這些函數(shù)求導(dǎo)的過程.現(xiàn)在，我把這些函數(shù)的求導(dǎo)公式列表如下（見表3），便于應(yīng)用.

設(shè)計意圖：? 人教A版選修2-2教師用書中編寫意圖和教學(xué)建議中明確指出：教科書直接給出了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，并沒有對這些公式和法則進(jìn)行推導(dǎo)，在教學(xué)中，也應(yīng)如此，不要做過多要求.

（三）概念深化

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（1）若[ fx=c]（[c]為常數(shù)），則[ fx=0].

例如：[ fx=-2]，則[fx=0].反之，若[fx=0]，則[ fx]是一個常數(shù)函數(shù)，可以是任意的常數(shù)，函數(shù)不唯一，這在后續(xù)學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)、求解積分等問題時尤為重要.

（2）若[ fx=xα]（[α∈Q?]），則[ fx=α?xα-1].

首先我們需要注意冪指數(shù)[α]的取值范圍：[α∈Q?];其次要注意冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)[ fx=α?xα-1].當(dāng)冪指數(shù)為分?jǐn)?shù)或者負(fù)數(shù)時初學(xué)者容易計算錯誤.

我們?nèi)α]的一些值來具體看一下求導(dǎo)結(jié)果.

當(dāng)[α=2]時，[fx=x2]，[fx=2x2-1=2x];當(dāng)[α=12]時，[ fx=x12]，[fx=12x1-12=12x].

再來看上節(jié)課用導(dǎo)數(shù)的定義求解[fx=x]導(dǎo)數(shù)的過程.

[ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx=x+Δx-xΔx=x+Δx-xx+Δx+xΔxx+Δx+x=1x+Δx+x].

所以，[y=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01x+Δx+x=12x].

通過比較用定義求導(dǎo)的過程，讓學(xué)生感受到用公式求導(dǎo)的快捷和便利.

當(dāng)[α=-1]時，[ fx=x-1]，[ fx=-x-2=-1x2].

設(shè)計意圖：冪函數(shù)求導(dǎo)公式的教學(xué)不能只是給出公式，計算一個例題.公式?jīng)]有推導(dǎo)證明的要求和步驟.學(xué)生第一次接觸公式，還是有些突然，教師要帶著學(xué)生一步一步地挖掘公式的內(nèi)涵和外延，冪指數(shù)從正整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)逐一分析講解，并和前面所學(xué)用定義求導(dǎo)過程比較，進(jìn)一步讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)求導(dǎo)公式的必要性，牢固冪函數(shù)求導(dǎo)公式，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

（3）若[fx=sin x]，則[fx=cos x];若[fx=cos x]，則[fx=-sin x].

需要注意的是余弦函數(shù)[y=cos x]，其中[y=-sin x≠sin x].

（4）若[fx=ax]，則[fx=axln x].

需要記準(zhǔn)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果，容易與接下來學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果混淆.特別地，當(dāng)[a=e]時，[y=ex]，[y=ex].

（5）若[fx=logax]，則[fx=1xln a].

需要和指數(shù)函數(shù)比較記憶.特殊地，當(dāng)[a=e]時，[y=ln x]，[y=1x].

設(shè)計意圖：這三組求導(dǎo)公式更為抽象，在今后的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易記錯，需要從公式的結(jié)構(gòu)形式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)記憶.

[例1]假設(shè)某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價[p]（單位：元）與時間[t]（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系[pt=p01+0.05t]，其中[p0]為[t=0]時的物價，假定某種商品的[p0=1]，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？（精確到0.01）

解：根據(jù)求導(dǎo)公式，有[pt=1.05tln1.05]，所以[p10=1.0510ln1.05≈0.08]（元/年）.

因此，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.

設(shè)計意圖：這是一個指數(shù)型函數(shù)的實際問題.教科書通過這個例題展示了導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用.

問題3：如果上式中某種商品的[p0=5]，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？

設(shè)計意圖：“問題3”說明了為什么要引入導(dǎo)數(shù)運算法則，運用導(dǎo)數(shù)公式.已經(jīng)會求[ft=5]和[gt=1.05t]的導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在要求[pt=5×1.05t]的導(dǎo)數(shù)，而[pt]的導(dǎo)數(shù)正是[ft]和[gt]乘積的導(dǎo)數(shù).引進(jìn)四則運算的求導(dǎo)法則，就能得到兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)與原來兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.應(yīng)用這些法則就可以將比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)問題，化為會求的或者易求的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題.

2.導(dǎo)數(shù)運算法則

法則1：? [fx±gx′=fx±gx].（兩個函數(shù)和或差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和或差）

問題4：請同學(xué)們想一想，三個或更多和（差）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算，類似的法則又該如何表示呢？

[f1x±f2x±…±fnx′=f′1x±f′2x±…±f′nx].

法則2：[fxgx′=fxgx+fxgx].

請同學(xué)們注意，兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)并不等于導(dǎo)數(shù)的積，[fxgx′≠fxgx]，要與兩個函數(shù)和、差的導(dǎo)數(shù)公式比較記憶.

問題5：如何用法則2求[y=c?fx]的導(dǎo)數(shù)？

[cfx′=cfx+cfx=cfx]，即[cfx′=cfx].例如[2x3′=2x3′=6x2].

法則3：[fxgx′=fxgx-fxgxgx2]（[gx≠0]）.

問題6：如何用法則3求[y=1fx]的導(dǎo)數(shù)？

[1fx′=1×fx-1×fxfx2=- fxfx2].例如[1x′=-1x2]，與前面公式法求導(dǎo)結(jié)果一致.

設(shè)計意圖：導(dǎo)數(shù)的運算法則的教學(xué)，從公式結(jié)構(gòu)特點入手挖掘公式的內(nèi)涵，要求會用兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系求解兩個函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)公式兩端能相互轉(zhuǎn)化，活學(xué)活用.

（四）應(yīng)用探索

[例2]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）[y=x2ex];（2）[y=sin xx].

設(shè)計意圖：兩函數(shù)和、差的導(dǎo)數(shù)運算法則易于掌握，兩函數(shù)積、商的求導(dǎo)法則易錯，需要在新課學(xué)習(xí)中重點練習(xí).我們可以改變?nèi)魏我粋€函數(shù)組成新的乘積函數(shù)，還可以組合出類似[y=x2ex+sin xx]這樣更復(fù)雜的函數(shù)，在聯(lián)系與變化中鞏固求導(dǎo)的運算法則，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[例3]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）[fx=x2ln x+sin x];（2）[y=cos x-xx2].

設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，熟悉導(dǎo)數(shù)的運算法則.

練習(xí)1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）[fx=tan x];（2）[y=12x+2sin x].

練習(xí)2：求函數(shù)[fx]的導(dǎo)數(shù)，已知[fx=1-x1+x+2xln x].

設(shè)計意圖：練習(xí)1面向所有學(xué)生，拒絕了簡單的重復(fù)，考查正切函數(shù)[y=tan x]的導(dǎo)數(shù).練習(xí)2是本課內(nèi)容的綜合應(yīng)用，既能給學(xué)生帶來挑戰(zhàn)，也能提醒學(xué)生，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)遠(yuǎn)不止于記住公式法則那么簡單.

（五）總結(jié)歸納

設(shè)計意圖：“總結(jié)歸納”是一節(jié)課的升華，設(shè)計的主旨在于幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓知識之間形成網(wǎng)絡(luò)，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、概括能力.

在教學(xué)中，如何擺脫刷題應(yīng)試教育，真正在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實“立德樹人”目標(biāo)，實現(xiàn)學(xué)科育人、教學(xué)育人？如何在課堂教學(xué)中落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，提升素養(yǎng)，筆者試圖從教材整合與教法應(yīng)用中探尋答案.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 黃河清.高中數(shù)學(xué)“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

[3]? 顏士健.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[4]? 單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

[5]? 張景中.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2[M].長沙：湖南教育出版社，2005.

[6]? 劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）