張璐丹， 張永勝

(洛陽(yáng)理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理教學(xué)部， 河南 洛陽(yáng) 471023)

本文針對(duì)帶有自由邊界及變系數(shù)和Bedding-DeAngelis響應(yīng)函數(shù)的捕食模型(1)進(jìn)行研究。

(1)

在本文中，假設(shè)存在正常數(shù)κ1≤κ2使得

0<κ1≤m1(r),m2(r),c(r)≤κ2,kκ1≥λ>0。

(2)

初值函數(shù)u0(r),v0(r)滿足

u0(h0)=v0(h0)=0,u0,v0>0,r∈[0,h0)。

(3)

1 解的局部存在唯一性

定理1 對(duì)任意給定的滿足條件(3)的初值函數(shù)u0(r),v0(r)以及任意常數(shù)γ∈(0,1)，都存在T>0使得問(wèn)題(1)有唯一解

(u,v,h)∈[C(1+γ)/2,1+γ(DT)]2×C1+γ/2([0,T]);

其中：DT={(t,r)∈R2:t∈[0,T],r∈[0,h(t)]}。T只依賴h0,γ,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])。

證明：類似于文獻(xiàn)[1]，首先引入變量變換將問(wèn)題(1)化為固定邊界條件的初邊值問(wèn)題。令ξ(s)∈C3[0,∞)并且滿足

考慮變換

(t,y)→(t,x),x=y+ξ(|y|)(h(t)-h0)y/|y|,y∈Rn。

從而有變換

(t,s)→(t,r),r=s+ξ(s)(h(t)-h0),0≤s<∞。

對(duì)于任意t≥0，如果

那么變換x→y是從Rn到Rn上的一個(gè)微分同胚映射，從而變換s→r也是一個(gè)從[0,∞)到[0,∞)上的一個(gè)微分同胚映射。另外，上述變換將自由邊界r=h(t)變成固定邊界s=h0。

直接計(jì)算得

記

u(t,r)=u(t,s+ξ(s)(h(t)-h0)):=U(t,s),

v(t,r)=v(t,s+ξ(s)(h(t)-h0)):=V(t,s),

則自由邊界問(wèn)題(1)化為關(guān)于U(t,s)以及V(t,s)的非線性拋物型方程組的初邊值問(wèn)題

(4)

X1T={U∈C([0,T]×[0,h0]):U(0,s)=u0(s),‖U-u0‖C(ΔT)≤1},

X2T={V∈C([0,T]×[0,h0]):V(0,s)=v0(s),‖V-v0‖C(ΔT)≤1},

記XT:=X1T×X2T×X3T，則XT是一個(gè)完備的度量空間，其度量為

注意到對(duì)于任意h1,h2∈X3T，因?yàn)閔1(0)=h2(0)=h0，從而有

下面利用壓縮映像原理證明問(wèn)題(1)解的局部存在性和唯一性。對(duì)任意(U,V,h)∈XT，考慮線性拋物型方程的初邊值問(wèn)題

(5)

又u0(s)∈C2([0,h0])，由Lp理論以及Sobolev嵌入定理知，問(wèn)題(5)存在唯一解

(6)

而且

(7)

其中：K1是一個(gè)依賴于h0,γ,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])的正常數(shù)。同樣地，對(duì)任意(U,V,h)∈XT,線性拋物型方程

(8)

存在唯一解

(9)

而且

(10)

其中：K2是一個(gè)依賴于h0,γ,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])的正常數(shù)。

定義

(11)

定義如下一個(gè)映射F:XT→[C(ΔT)]2×C1([0,T])使得

而且

其中：

由LP理論以及Sobolev嵌入定理知

其中：K4僅與h0,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])有關(guān)。同理可得

其中K5，K6僅與h0,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])有關(guān)，又因?yàn)?/p>

從而當(dāng)T≤1時(shí)有

由壓縮映像原理知，在XT中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)(U(t,s),V(t,s),h(t))，即(U(t,s),V(t,s),h(t))是問(wèn)題(4)的唯一解，從而(u(t,r),v(t,r),h(t))是問(wèn)題(1)的唯一解。

2 結(jié) 語(yǔ)

帶有Bedding-DeAngelis響應(yīng)函數(shù)的捕食模型很好地反映了捕食者之間的相互影響。它不僅包含捕食者尋找和處理獵物的時(shí)間分配，而且也反映了捕食者之間相互影響的程度。本文利用線性方程理論和壓縮映像原理對(duì)解的局部存在唯一性進(jìn)行了精細(xì)的分析，這對(duì)捕食者與被捕食者的生存與蔓延的研究具有重要的理論意義。