平面桿件體系幾何組成分析的運動學方法1)

舒開鷗 郭子濤 陳 彬 張 雷 樊耀星

(九江學院建筑工程與規(guī)劃學院，江西九江332005)

平面體系的幾何組成分析又叫機動性分析，結構力學教材中只介紹了兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則和零載法等基本方法[1]，這些方法雖然通俗易懂、方便應用，但只能分析一些桿件不多、構造簡單的體系。近年來，有關學者、教師提出了一些新的分析平面體系幾何組成的方法[2-5]，這些方法中，有些方法仍然只能分析簡單體系，有些方法則太過深奧、繁瑣，不適合本科和?？茖W生學習和應用。本文嘗試運用理論力學[6]中運動學的知識分析平面體系的幾何組成，試圖找到一種既能分析復雜體系又易學習掌握的方法。

1 虛鉸和無窮遠虛鉸的運動學特征定理

1.1 定理一:兩剛片(或其擴展部分)在虛鉸處速度相等

如圖1，剛片I和剛片II由兩根鏈桿AC和BD連接，由于兩鏈桿不平行，故可看成剛片I和剛片II由在兩鏈桿交點O點處的虛鉸連接。設剛片I和剛片II在O點(兩剛片上或剛片的擴展部分上與虛鉸位置重合的點)的速度矢量分別為v O1和v O2，則有v O1=v O2。該定理的證明過程見文獻[7]。

圖1 虛鉸的運動學特征

1.2 定理二:無窮遠虛鉸(兩根平行鏈桿)連接的兩剛片，角速度相等

如圖2，剛片I和剛片II由AC和BD兩根平行鏈桿(無窮遠虛鉸)連接，設剛片I和剛片II的角速度矢量分別為ω1和ω2，則有ω1=ω2。該定理的證明過程見文獻[7]。

圖2 無窮遠虛鉸的運動學特征

2 運動學方法分析平面桿件體系幾何組成的思路

桿件體系的幾何組成分析，又叫機動性分析，本質是考察體系中各剛片之間或者各結點之間有無相對運動的可能，因此可考慮利用運動學的相關理論以及虛鉸和無窮遠虛鉸的運動學特征定理，建立一種桿件體系幾何組成分析的新方法。

(1)假設體系可變，并按可能運動的方式，給定體系初始運動參數，如某一個或幾個結點(或具有不動點的剛片)的速度v(或角速度ω)。

(2)利用運動學理論(如基點法、速度瞬心法、速度投影定理等)及本文的兩個定理求出其余結點(或剛片)的速度v i(或角速度ωi)。

(3)分析v(或ω)是否有非零解，若有非零解則體系幾何可變，反之則體系幾何不變。

(4)若體系幾何不變，求出計算自由度W，即可確定體系多余約束的個數。

3 應用舉例

例1分析圖3體系的幾何組成。

圖3 例1的簡圖

解:(1)O和D點不動，在OCD上利用速度投影定理可知C點也不動，設剛片OAB繞O點轉動的角速度為ω，則A點及該剛片擴展部分上M點的速度均為ωa，見圖4。

圖4 運動學方法分析例1體系的幾何組成

(2)M點是連接剛片OAB與桿CF的虛鉸所在位置，由定理一可得桿CF擴展部分上與M點重合的點速度也為ωa，于是桿CF角速度為

由于平行鏈桿連接，由定理二可知桿AI，EI，CG與桿CF角速度相等，均為ω/4。同理，桿CE，FI，GH與剛片OAB角速度相等都為ω，可得E點速度為2ωa，于是剛片DEH的角速度為

(3)由A點速度可得桿AC角速度為w/2，由定理二可知桿AC，BF，GI與剛片DEH角速度相等，即

比較式(1)和式(2)，得ω=0，可知連接于O，C和D點(已知的不動點)的所有剛片和桿不能動，在此基礎上易知其余桿都不動，即體系為幾何不變體系。體系的計算自由度W=?1，有一個多余約束。

例2分析圖5體系的幾何組成。

圖5 例2的簡圖

解:(1)點A，B，C和D可分別沿垂直各點支座的方向運動，故剛片AEF，BFG，CHG和DEH的速度瞬心分別在直線AA′，BB′，CC′和DD′上，見圖6，設結點A速度為v，在AFG上利用速度投影定理，可得剛片BFG角速度。

圖6 運動學方法分析例2體系的幾何組成

(2)由定理二可知剛片BFG和DEH角速度相同，于是可得

根據式(4)及A點速度，可確定剛片AEF速度瞬心O的位置及其角速度，進而可求得點F、E、D沿豎向的速度

(3)同理可得

根據v B及v F y可確定剛片BFG速度瞬心K的位置及其角速度

比較式(3)和式(5)，得

當hl=4ab時，v可不為0，即各結點能動，體系幾何可變且絕對自由度S=1，體系計算自由度W=0，故有一個多余約束。當hl4ab時，v必為0，即各結點不動，體系幾何不變且無多余約束。

例3分析圖7體系的幾何組成。

圖7 例3的簡圖

解:(1)OA桿和EF桿分別可能繞點O和F轉動，可設結點A和E的速度分別為v和v′，并設EF桿角速度為ω，見圖8，由于D，E和F三點共線且F點固定，故D點速度v D只能垂直于DEF，在ED上以E點為基點，由基點法可得

圖8 運動學方法分析例3體系的幾何組成

(2)分別在AC和CD上利用速度投影定理，可得C點速度v C分別沿AC和CD方向的投影v CA和v CD

進而可得

(3)各結點速度均已求出，由于v，v′和ω均可取任意值，故體系為可變體系，且絕對自由度S=3，計算自由度W=3，因此無多余約束。

4 需要說明的問題

(1)對于可變體系，運動學方法不能進一步分析是幾何常變還是幾何瞬變，實際上大多數時候也不用分析，故統(tǒng)稱幾何可變[1]。

(2)對于可變體系，可根據其獨立運動參數的個數，確定其絕對自由度S，再結合計算自由度W，可進一步確定其多余約束的個數為:S?W。如例2中，當hl=4ab時，v可不為0，是可變體系，體系只有一個運動參數v，因此S=1，結合體系W=0，故多余約束有S?W=1個。又如例3中，因為有3個獨立運動參數v，v′和ω，故S=3，又因為W=3，所以多余約束有S?W=0個。

(3)對于不變體系，只需一個初始運動參數v或ω即可求出全部v i或ωi；但對于可變體系，往往則需多個初始運動參數才能求出全部v i或ωi。由于事先并不確定是哪種體系，因此應根據可能的運動方式，適當多設幾個初始運動參數。如例1中，可設結點A和E的速度分別為v和v′，見圖9，則有

圖9 多初始運動參數分析例1

由于平行鏈桿連接，由定理二

比較兩式，有:v=v′=0，即結點A和點E的速度均為0，不難得出其他結點速度也均為0。

5 結束語

理論力學是結構力學的先學課程，利用已掌握的理論力學中的運動學理論分析平面桿件體系的幾何組成，不僅能幫助學生更好理解這一內容，還能解決很多利用兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則等基本方法不能解決的問題，可作為今后結構力學教學及工程實踐的有益補充。