馮 侃

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

1 問題的提出

壓桿穩(wěn)定性實驗是材料力學(xué)中一個重要實驗內(nèi)容[1-2]。在兩端鉸支的壓桿穩(wěn)定性實驗(圖1(a))具體實施時，通常需在壓桿端部放置小圓柱或小滾珠以實現(xiàn)自由轉(zhuǎn)動的鉸支邊界條件[3]。然而，為了保證端部加載沿壓桿軸線方向，避免偏心，往往需要在桿件端頭附加夾持構(gòu)件，如圖1(b)～圖1(d)所示。這部分夾持件的剛度遠(yuǎn)高于壓桿失穩(wěn)屈曲的剛度，可近似看成剛性。因此，如何考慮該部分剛性段的影響，如何選取合適的剛性段長度，以減小實驗測試臨界失穩(wěn)載荷與穩(wěn)定性理論預(yù)估的誤差，都迫切需要進(jìn)行深入的理論分析。

圖1 壓桿穩(wěn)定性實驗裝置

2 復(fù)合壓桿臨界載荷的求解

考慮一根兩端鉸支的復(fù)合壓桿AD(不計自重)，兩端受軸向壓力F作用，如圖2所示。壓桿分為三段，其中AB和CD都為剛性桿，長度分別為a1和a3；BC為柔性桿，長度為a2，其截面彎曲剛度為EIz。

圖2 結(jié)構(gòu)模型圖

首先，按圖3建立坐標(biāo)系。假設(shè)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后的變形如圖3所示，圖中θ1和θ2為兩端剛性段的轉(zhuǎn)角。

圖3 壓桿失穩(wěn)變形后的示意圖

對于柔性段BC有撓曲線微分方程為

其中，v為撓度，k2=F/EIz。引入?yún)?shù)s=x?a1可得

其通解為

其中，A和B為待定系數(shù)。

將s=0和s=a2處的位移以及轉(zhuǎn)角邊界條件代入通解式(1)中，可得

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)時，撓曲線方程存在非零解，即A和B不能同時為零。因此，從邊界條件中約去待定系數(shù)A和B，可得

式(2)為一超越方程，需通過數(shù)值計算求解計算出k，并取最小值，進(jìn)而得出臨界失穩(wěn)載荷Fcr。

3 結(jié)果討論

(1)當(dāng)不包含剛性段時，即a1=a3=0

式(2)退化為tan(ka2)=0，也即sin(ka2)=0。其解就是兩端鉸支壓桿失穩(wěn)的臨界載荷。

(2)當(dāng)兩端剛性段相等，即a1=a3，設(shè)柔性段占比為a2/L=α，L為復(fù)合桿總長，代入式(2)有

在不同α情況下，通過數(shù)值求解式(3)，可得對應(yīng)的壓桿臨界載荷。若將其與原始長度為L的歐拉壓桿的臨界載荷進(jìn)行對比，可以得到剛性段帶來的相對誤差，即

圖4 含剛性段桿臨界載荷與柔性桿臨界載荷的相對誤差

從圖4中可知，包含剛性段的復(fù)合壓桿的臨界載荷要高于整體柔性桿，且隨著剛性段的減少而趨近兩端鉸支壓桿的臨界載荷。

為了進(jìn)一步驗證理論分析的結(jié)果，采用有限元數(shù)值計算的方法對該復(fù)合壓桿進(jìn)行分析。采用有限元商用軟件COMSOL，按實驗中壓桿的實際材料性質(zhì)和幾何構(gòu)型建模[3]。取材料的彈性模量E為206 GPa，泊松比為0.33，密度為2700 kg/m3。壓桿總長L為357 mm，是上滾珠到下滾軸的距離，桿件寬度和厚度分別為20 mm和1.8 mm。壓桿兩端分別為鉸支約束，并施加軸向單位載荷F，如圖5所示。若按整體柔性桿計算，通過歐拉臨界載荷公式可解得臨界載荷約為155 kN。為方便計算，兩側(cè)剛性段等長，中間柔性段取為αL。

圖5 數(shù)值模擬示意圖

通過采用參數(shù)掃描方式，將α取值范圍設(shè)定在0.4～0.9，間隔0.1，計算結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷，并將其與整體柔性桿的歐拉臨界載荷比較，結(jié)果如圖4中菱形點所示?？梢姅?shù)值模擬與之前理論分析的結(jié)果吻合較好。

由圖4可知，當(dāng)α>0.6時，即柔性段長度占比大于總長的60%時，臨界載荷結(jié)果的相對誤差可小于10%。這說明兩端剛性桿的影響并不大。這是因為彈性桿屈曲時桿件靠近端部那部分本來彎曲程度就不大，故換做剛性桿后誤差也較小。若實驗中柔性段對復(fù)合桿總長的占比大于90%，從圖4中可知，剛性段的影響完全可以忽略，其誤差接近于零。

4 總結(jié)

本文針對材料力學(xué)中壓桿穩(wěn)定性實驗中的實際問題，分析了兩端包含剛性段的復(fù)合壓桿的穩(wěn)定性。首先采用彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論中的歐拉方法，對該問題進(jìn)行理論分析，并通過數(shù)值求解，分析了剛性段不同占比情形下壓桿的臨界載荷。同時，采用有限元數(shù)值模擬方法驗證了理論分析的結(jié)果。根據(jù)所得結(jié)果，本文得出結(jié)論：在實驗中測試壓桿的臨界失穩(wěn)載荷時，當(dāng)柔性段對復(fù)合桿總長的占比大于90%時，可選取兩端鉸支點之間的距離作為桿長L進(jìn)行計算。