低維空間上分片線性函數(shù)的逼近因子與剖分?jǐn)?shù)

陶玉杰，由巧俐，李曉萍

(1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002； 2.遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 丹東 118003；3.天津師范大學(xué)管理學(xué)院，天津 300387)

2000年，文獻(xiàn)[1]通過(guò)剖分輸入空間首次提出分片線性函數(shù)的概念，并以此為工具討論T-S模糊系統(tǒng)對(duì)一類(lèi)可積函數(shù)的逼近性，繼而又探究了Mamdani模糊系統(tǒng)對(duì)p-可積函數(shù)的逼近性能[2-4].但遺憾的是這些結(jié)果只是把分片線性函數(shù)作為一個(gè)橋梁來(lái)完成理論證明，并沒(méi)有給出如何獲取這個(gè)分片線性函數(shù)的方法，這必然限制了分片線性函數(shù)的更廣泛應(yīng)用.2014年，文獻(xiàn)[5]通過(guò)引入誘導(dǎo)算子及其算術(shù)運(yùn)算給出了K-積分模概念，并研究了廣義Mamdani模糊系統(tǒng)的泛逼近性.文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[1，5]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出n元分片線性函數(shù)的構(gòu)造方法及其解析式，并通過(guò)矩陣行列式給出了對(duì)應(yīng)方程系數(shù)的求解公式.2015年，文獻(xiàn)[7]通過(guò)引入K-擬減運(yùn)算建立了Kp-積分模，并由此討論了分片線性函數(shù)逼近一類(lèi)可積函數(shù)問(wèn)題，繼而又以分片線性函數(shù)為橋梁研究了廣義Mamdani模糊系統(tǒng)對(duì)一類(lèi)Kp-可積函數(shù)的逼近性能[8].這些結(jié)果對(duì)進(jìn)一步拓寬研究模糊系統(tǒng)的逼近性能具有重要的理論意義.

2017年，文獻(xiàn)[9]利用對(duì)廣義正方體的網(wǎng)格剖分構(gòu)造了具體的分片線性函數(shù)，并證明該分片線性函數(shù)在最大范數(shù)和矩陣模意義下可以任意精度逼近連續(xù)函數(shù).然而，文獻(xiàn)[9]對(duì)其中逼近因子并沒(méi)有給出詳細(xì)說(shuō)明，只是粗略地把它作為一個(gè)常數(shù)來(lái)處理，這不得不說(shuō)是一個(gè)憾事.本文將針對(duì)這個(gè)缺陷首先在低維歐氏空間中證明逼近因子與剖分?jǐn)?shù)無(wú)關(guān).

1 預(yù)備知識(shí)

分片線性函數(shù)在研究模糊系統(tǒng)逼近性中起著舉足輕重的作用，它不僅是1元分段線性函數(shù)在多元情況下的推廣，而且也是溝通模糊系統(tǒng)和被逼近函數(shù)的一個(gè)重要橋梁.本文用Rn表示n維歐式空間，N表示自然數(shù)集.對(duì)給定實(shí)數(shù)a>0，令

Δ(a)={(x1，x2，…，xn)∈Rn|0≤xi≤a，i=1，2，…，n}，

并稱(chēng)Δ(a)為Rn中邊長(zhǎng)為a的廣義正方體，實(shí)際上Δ(a)=[0，a]×[0，a]×…×[0，a]=[0，a]n.

定義1.1[1]設(shè)n元連續(xù)函數(shù)S：Rn→R滿(mǎn)足如下條件：

(1) 存在a>0，使S在廣義正方體Δ(a)之外恒為零；

則稱(chēng)S為Rn上一個(gè)分片線性函數(shù)，其中βij和λj均為常數(shù)，i=1，2，…，n.

此時(shí)，?x=(x1，x2，…，xn)∈Δi1i2…in，ij=1，2，…，m，j=1，2，…，n，不妨設(shè)剖分后每個(gè)小多面體Δi1i2…in的n+1個(gè)頂點(diǎn)在Rn+1空間上所確定的超平面方程為

(1)

再將Δi1i2…in的n+1個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次代入(1)式，可在Rn+1上獲得1組抽象超平面線性方程為

(2)

(3)

定義1.2 設(shè)矩陣A為n階方陣，令‖A‖=|(|A|)|，則稱(chēng)‖A‖為A的矩陣模，亦即，矩陣?！珹‖即為A的行列式的絕對(duì)值.顯然，任何方陣A的矩陣?？倽M(mǎn)足‖A‖≥0.

引理1[9]設(shè)f在緊集Δ(a)?Rn上連續(xù)，(x；f(x))是給定數(shù)據(jù)對(duì)，但f的解析表達(dá)式未知，則?ε>0，存在剖分?jǐn)?shù)m∈N和形如(3)式的分片線性函數(shù)S，使其在無(wú)窮范數(shù)意義下滿(mǎn)足

2 主要結(jié)果

按照引理1，只有當(dāng)逼近因子是一個(gè)與剖分?jǐn)?shù)m無(wú)關(guān)的常數(shù)，分片線性函數(shù)S對(duì)所給f才具有逼近性，故這個(gè)逼近因子是否與m無(wú)關(guān)至關(guān)重要.然而，文獻(xiàn)[9]并沒(méi)有給出證明，只是粗略地把它視為常數(shù).下面，將針對(duì)低維空間(n≤3)證明這個(gè)逼近因子確實(shí)與剖分?jǐn)?shù)m無(wú)關(guān).

當(dāng)n=1時(shí)，將閉區(qū)間[0，a]分成m個(gè)小區(qū)間，使每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為a/m.若?x∈[0，a]，動(dòng)點(diǎn)x只能落在其中某個(gè)閉區(qū)間上，不妨設(shè)此閉區(qū)間為[x1，x2]=[(i-1)a/m，ia/m]，見(jiàn)圖1.

圖1 n=1時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度為a/m的等距剖分示意圖

由系數(shù)行列式得矩陣?！珼1‖=a/m.進(jìn)而獲得

圖2 n=2時(shí)邊長(zhǎng)為a/m的小正方形的剖分示意圖

按方程組(2)中系數(shù)行列式公式得

再由(2)—(3)式計(jì)算得：

證明當(dāng)n=3時(shí)，將正方體[0，a]×[0，a]×[0，a]等距剖分成邊長(zhǎng)為a/m的m3個(gè)小正方體，再對(duì)每個(gè)小正方體沿對(duì)角面等分成若干小四面體(不計(jì)個(gè)數(shù))，且直角邊長(zhǎng)仍為a/m.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只在xOy面上給出小正方體Δ(a/m)的等距剖分示意圖，參見(jiàn)圖3.

圖3 n=3時(shí)邊長(zhǎng)為a/m的小正方體Δ(a/m)剖分示意圖

從而矩陣模‖D3‖=(a/m)3.此外，由(2)—(3)式容易獲得：

再依據(jù)矩陣模定義立刻獲得

綜上所述，對(duì)n=1，2，3低維空間來(lái)說(shuō)，逼近因子中所含剖分?jǐn)?shù)m恰好被抵消掉，亦即，逼近因子與剖分?jǐn)?shù)m無(wú)關(guān).然而，這到底是偶然還是必然僅憑目前情況尚不能確定.為此，它促使人們猜想在一般情況下逼近因子與剖分?jǐn)?shù)m的取值是否也無(wú)關(guān)? 對(duì)此問(wèn)題本文暫不予討論.