崔博文，田 維

基于復數(shù)無跡卡爾曼濾波的電力系統(tǒng)頻率和諧波估計

崔博文，田 維

(集美大學輪機工程學院，福建廈門 361021)

針對噪聲干擾條件下傳統(tǒng)的擴展卡爾曼濾波方法在電力系統(tǒng)頻率和諧波估計精度問題，本文提出了基于復數(shù)無跡卡爾曼濾波的頻率和諧波估計方法。利用歐拉公式，對電力系統(tǒng)信號進行適當變換，獲得電力系統(tǒng)信號復數(shù)狀態(tài)空間模型，實現(xiàn)了系統(tǒng)信號頻率和諧波估計。為了驗證噪聲干擾條件下本文方法參數(shù)估計有效性，通過在系統(tǒng)信號中增加不同信噪比噪聲干擾，分別利用本文方法和通用擴展卡爾曼濾波方法對參數(shù)進行估計。結果表明，在噪聲干擾條件下，本文方法的估計精度優(yōu)于通用擴展卡爾曼濾波方法，這表明本文方法更適于強噪聲干擾條件下的系統(tǒng)信號頻率和諧波估計。

頻率估計 諧波估計 卡爾曼濾波 復數(shù)無跡卡爾曼濾波 復數(shù)狀態(tài)變量

0 引言

隨著大量非線性負載及電力電子變換器的廣泛應用，電網(wǎng)電壓或電流的不平衡狀態(tài)也愈加嚴重，隨之也引起了愈來愈嚴重的諧波污染和波形畸變[1～5]。由于諧波污染，會使電網(wǎng)電能質量變差、電機過熱、繼電器和斷路器誤動作[6]。諧波分量及負載的動態(tài)變化會使得電網(wǎng)電壓或電流的幅值和相位發(fā)生變化，進而引起電網(wǎng)電能質量變差。頻率是表征電力系統(tǒng)運行狀態(tài)和電網(wǎng)電能質量的最重要參數(shù)之一，也是唯一允許在標稱值附近按規(guī)定范圍波動的參數(shù)，常用于電力系統(tǒng)監(jiān)控、保護和控制應用中[7]。因此，為確保電網(wǎng)穩(wěn)定工作及電氣負載正常運行，同時也為了評估電能質量、實現(xiàn)電力系統(tǒng)控制和監(jiān)控，準確檢測頻率及諧波就顯得十分必要[8]。

基于快速傅立葉變換（FFT）的方法是最早用于諧波估計的方法[9～10]。但在使用FFT對信號進行處理時需要同步采樣以獲得整周期的信號，否則會引起譜泄漏造成諧波估計精度變差[11]。然而，由于基頻波動和諧波干擾，同步采樣也很難實現(xiàn)。為解決因不同步采樣引起的譜泄漏問題，出現(xiàn)了各種加窗FFT方法[12～16]。盡管加窗FFT在一定程度上可以抑制譜泄漏，但是，當某些諧波幅值較小時，難以實現(xiàn)準確的譜估計[8]。針對難以同步采樣及譜泄露問題，很多研究者利用卡爾曼濾波估計電網(wǎng)頻率及其諧波。Girgis[17]在信號頻率確定條件下，建立了系統(tǒng)信號狀態(tài)方程，利用卡爾曼濾波實現(xiàn)了諧波估計。Nie[18]建立了信號DTM模型，給出了狀態(tài)噪聲干擾信號的協(xié)方差矩陣表達式，利用線性卡爾曼濾波方法估計了信號基波和諧波。然而，在頻率變化或未知時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程或觀測方程表現(xiàn)為非線性特性，現(xiàn)有的線性卡爾曼濾波方法則會失效。文獻[19～21]針對非線性狀態(tài)觀測方程條件，利用擴展卡爾曼濾波方法對多諧波信號進行譜估計。但是，擴展卡爾曼濾波在計算雅可比矩陣時花費過多時間，且在初始條件選擇不當時，這種非線性特性可能會導致估計結果變差[22]。

無跡卡爾曼濾波（UKF)由于不需要對非線性狀態(tài)方程和觀測方程在估計點處進行線性化逼近，也無需費時的微分運算，可以獲得更準確的增益和協(xié)方差矩陣，因此估計精度也更高[19]。本文在現(xiàn)有研究基礎上，通過適當變換，建立了電網(wǎng)信號復數(shù)狀態(tài)空間模型，利用復數(shù)UKF在復數(shù)域實現(xiàn)了頻率和諧波的估計。

1 系統(tǒng)信號模型

在三相電力系統(tǒng)中，任一相電流或電壓在時間t可表示為：

展開式(2)，則有，

由此可見，電流或電壓信號是由多組同頻率共軛復數(shù)組成。在實際應用中，為了提高計算效率并節(jié)省存儲空間，可針對性的選取某些感興趣的部分諧波進行估計，而不需要估計的其它次數(shù)的諧波可作為噪聲處理。因而式(3)可進一步表示為：

式中：為電流信號需要估計的最高諧波次數(shù)；（k）為待估計基波、諧波外的其它階次諧波和噪聲干擾，可表示為，

定義狀態(tài)變量，

因此，定義狀態(tài)變量，

則有如下狀態(tài)方程，

根據(jù)式(4)，可得系統(tǒng)觀測方程為：

式中：

2 復數(shù)無跡卡爾曼濾波器

2.1 無跡變換

無跡變換是一種對狀態(tài)變量進行近似高斯分布的非線性變換。其核心思想是根據(jù)需要預測的狀態(tài)變量的統(tǒng)計學特性，先計算得到一組采樣點（也稱sigma點），然后對該組點集進行非線性變換，通過計算這些非線性變換后采樣點的統(tǒng)計特性，獲得變換后點的均值和協(xié)方差估計[20]。這種方式避免了對非線性模型的直接線性化，且保留了高斯分布的高階項信息，從而提高了模型高斯分布的傳遞精度。

該新點集的均值和協(xié)方差矩陣由下式求得：

2.2 狀態(tài)預測

利用式(10)構造Sigma點集后，通過式（11）對其進行非線性變換，得到新采樣點集

利用下式計算對狀態(tài)變量均值及協(xié)方差進行預測，

2.3 狀態(tài)更新

利用式（17）對采樣點進行非線性變換，得到觀測值更新，進一步利用式（18）獲得觀測值平均值。

自協(xié)方差和互協(xié)方差矩陣分別為，

濾波更新步驟包括更新卡爾曼增益、狀態(tài)變量估計值和狀態(tài)變量協(xié)方差估計值，分別如下：

3 仿真分析

為驗證復數(shù)無跡卡爾曼濾波器算法的有效性，本文以如下包含基波、四次、九次諧波的非線性信號為例，

圖1、2分別為利用本文方法對頻率、基波和諧波電流有效值的估計。圖3、4分別為利用復數(shù)EKF方法對頻率、基波和諧波電流有效值的估計。表1為本文方法與復數(shù)EKF估計結果對比，表2為本文方法與復數(shù)EKF估計均方誤差（MSE）對比。從仿真結果來看，本文方法在收斂真值方面要快于復數(shù)EKF方法，估計精度也明顯優(yōu)于復數(shù)EKF估計結果。為了進一步研究本文估計方法在噪聲干擾條件下估計結果的有效性，在信號中分別添加信噪比為30 dB、10 db噪聲信號干擾，圖5、6分別為兩種噪聲干擾情況下，利用本文方法和復數(shù)EKF方法的四次諧波估計結果。從估計結果來看，隨著信噪比的降低，相對于復數(shù)擴展卡爾曼濾波方法，本文方法估計更穩(wěn)定，精度更高，收斂也更快。因此，在信號存在噪聲干擾的情況下，本文方法的參數(shù)估計性能更優(yōu)。

圖1 復數(shù)UKF頻率估計值

圖2 復數(shù)UKF基波及諧波估計

圖3 復數(shù)EKF頻率估計值

圖4 復數(shù)EKF基波及諧波估計值

圖5 SNR30db下的四次諧波估計

圖6 SNR10db下的四次諧波估計

表1 估計結果

表2 估計均方誤差

4 結論

針對擴展卡爾曼濾波在電力系統(tǒng)頻率及諧波估計中存在的不足，本文提出了基于復數(shù)無跡卡爾曼濾波的電力系統(tǒng)信號諧波和頻率估計方法。利用歐拉公式，對電力系統(tǒng)信號進行變換，獲得了系統(tǒng)復數(shù)信號狀態(tài)空間模型，利用本文所提研究方法實現(xiàn)了頻率和諧波估計。仿真算例證明了本文方法的有效性。為了驗證本文方法在噪聲干擾條件下參數(shù)估計的有效性，通過在系統(tǒng)信號中增加不同信噪比噪聲干擾，利用本文方法和復數(shù)EKF進行頻率和諧波估計，本文方法在噪聲干擾影響下的估計精度優(yōu)于復數(shù)EKF方法，這表明本文方法更適于在強噪聲干擾環(huán)境下的系統(tǒng)參數(shù)估計。

[1] Hu B, Gharavi H, A fast recursive algorithm for spectrum tracking in power grid systems[J]. IEEE Trans. Smart Grid, 2019,10(3): 2882-2891.

[2] Lamich M, Balcells J, Corbaln M, et al., Nonlinear loads model for harmonics flow prediction, using multivariate regression[J]. IEEE Trans. Ind. Electron., 2017, 64, (6): 4820-4827.

[3] Mayordomo J G, Beites LF, Carbonero A, et al., An analytical procedure for calculating harmonics of three-phase uncontrolled rectifiers under non ideal conditions[J]. IEEE Trans. Power Del., 2015, 30(1): 144–152.

[4] Askarian I, Eren S, Pahlevani M., et al., Digital real-time harmonic estimator for power converters in future micro-grids, IEEE Trans. Smart Grid, 2018, 9 (6): 6398–6407.

[5] He J, Li Y W, Wang R., et al., A measurement method to solve a problem of using DG interfacing converters for selective load harmonic filtering[J]. IEEE Trans. Power Elect, 2016, 31 (3): 1852–1856.

[6] Kuljevic MD, Simultaneous frequency and harmonic magnitude estimation using decoupled modules and multirate sampling [J]. IEEE Trans. Instrum. and Meas., 2010, 61(4): 954-962.

[7] Sachdev M S，Giray M M, A least error squares technique for determining power system frequency[J]. IEEE Trans. Power App. Syst, 1985, 104(2): 437–444.

[8] Khodaparast J, Khederzadeh M, Least square and Kalman based methods for dynamic phasor estimation: A review [J]. Protection and Control of Modern Power Systems, 2017, 2(1): 1-18.

[9] Wen H, Teng Z, Wang Y, et al. Spectral correction approach based on desirable sidelobe window for harmonic analysis of industrial power system[J]. IEEE Trans. Ind. Electron., 2013, 60(3): 1001–1010.

[10] Ferrero A, Ottoboni R, High-accuracy Fourier analysis based on synchronous sampling techniques [J]. IEEE Trans. Instrum. Meas, 1992, 41(6): 780–785.

[11] Wen H, Zhang J, Yao W, FFT-Based amplitude estimation of power distribution systems signal distorted by harmonics and noise[J]. IEEE Trans. Ind. Inform., 2018, 14(4): 1447-1455.

[12] Zhang F, Geng Zh, Yuan W, The algorithm of interpolating windowed FFT for harmonic analysis of electric power system [J]. IEEE Trans. Power Del., 2001, 16(2): 160–164.

[13] Belega D, Dallet D, Petri D, Accuracy of sine wave frequency estimation by multipoint interpolated DFT approach [J]. IEEE Trans. Instrum. Meas, 2010, 59(11): 2808–2815.

[14] Wen H, Guo S, Teng Zh, et al, Frequency estimation of distorted and noisy signals in power systems by FFT-Based approach [J]. IEEE Trans. Power Syst, 2014, 25(2): 765-774.

[15] 華敏，陳劍云，一種高精度六譜線插值 FFT 諧波與間諧波分析方法[J]. 電力系統(tǒng)保護與控制，2019, 47(11): 9-15.

[16] 張強, 王海云, 王維慶一種新型組合優(yōu)化諧波分析方法研究[J]. 電力系統(tǒng)保護與控制, 2020, 48(10): 156-163.

[17] Girgis A, Chang WB, Makram EB, A digital recursive measurement scheme for on-line tracking of power system harmonics [J]. IEEE Trans. Power Del., 1991, 6(3): 1153–1160

[18] Nie X., Detection of grid voltage fundamental and harmonic components using Kalman filter based on dynamic tracking model [J]. IEEE Trans. Ind. Electron., 2020, 67(2): 1191–1200.

[19] Hilands T W,S. Thomopoulous CA, Nonlinear filtering methods for harmonic retrieval and model order selection in Gaussian and non-Gaussian noise [J]. IEEE Trans. Signal Process., 2004, 45(4): 163–195.

[20] Routray A, Pradhan A. K, Rao K. P, A novel Kalman filter for frequency estimation of distorted signals in power systems [J]. IEEE Trans. Instrum. Meas., 2002, 51(3): 469–479.

[21] Macias J R, A. Exposito G, Self-tuning Kalman filters for harmonic computation [J]. IEEE Trans. Power Del., 2006, 21(1): 501–503.

[22] Reddy JB. V, Dash PK, Samantaray R, et al, Fast tracking of power quality disturbance signals using an optimized unscented filter [J]. IEEE Trans. Instrum. Meas., 2009, 58(12): 1–10.

Complex Unscented Kalman Filter based Frequency and Harmonic Estimation for Power System

Cui Bowen, Tian Wei

(School of Marine Engineering, Jimei University, Xiamen 361021, Fujian, China)

TM935.2

A

1003-4862（2021）07-0005-06

2021-03-03

國家自然科學基金項目資助(51779102)

崔博文(1966-)，博士，教授。研究方向：電力系統(tǒng)諧波估計與狀態(tài)監(jiān)控。E-mail: bwcui@jmu.edu.cn