周曉軍 肖麗 吳云順

【摘要】本文針對數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用到運籌學(xué)課程的教學(xué)中進(jìn)行了探究.主要從運籌學(xué)課程實驗內(nèi)容和教學(xué)方法方面，具體提出了一些數(shù)學(xué)軟件有效融入教學(xué)過程中的策略和措施.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)軟件;運籌學(xué)課程;數(shù)學(xué)建模能力

【基金項目】貴州師范大學(xué)2018年度教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革項目——應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力（[2018] 第18號;2018XJJG18）

一、引 言

教育部關(guān)于一流本科課程建設(shè)文件（教高[2019]8號）指出：課程是人才培養(yǎng)的核心要素，課程質(zhì)量直接決定人才培養(yǎng)質(zhì)量.其中，對數(shù)學(xué)專業(yè)運籌學(xué)課程的教學(xué)改革和建設(shè)，能夠有效地培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和運用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件解決運籌學(xué)問題的能力.胡曉東等在文中提到：運籌學(xué)課程是一門用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)最優(yōu)化問題、為決策者提供科學(xué)決策的依據(jù)的學(xué)科.因為運籌學(xué)在實際問題中的應(yīng)用價值，全球各類高校依據(jù)有關(guān)專業(yè)的需求，都開設(shè)了這門課程.為了提高學(xué)生的動手操作能力，數(shù)學(xué)建模能力，以及知識的應(yīng)用能力，把數(shù)學(xué)軟件（Excel、Lingo、Matlab等）滲透到運籌學(xué)課堂教學(xué)中，來加強學(xué)生對數(shù)學(xué)理論知識的理解顯得非常必要.

以國家教育方針為引領(lǐng)，習(xí)近平總書記的重要教育論述為指導(dǎo)，落實立德樹人的根本任務(wù).改革運籌學(xué)課程教學(xué)方法，爭取做到：讓課堂活起來，讓學(xué)生忙起來，我們圍繞這兩個目標(biāo)展開論述.

二、多樣化使用數(shù)學(xué)軟件，增強學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力

對于運籌學(xué)課程而言，使用計算機軟件來分析和解決運籌學(xué)問題是提高大學(xué)生實踐能力的關(guān)鍵.目前，運籌學(xué)實驗教學(xué)最常用的數(shù)學(xué)軟件有Excel、Lingo、Matlab等.鑒于學(xué)生不同水平的計算機編程基礎(chǔ)和能力，為了更好地完成實驗教學(xué)任務(wù)，教師要根據(jù)學(xué)生的實際情況來選取合適的數(shù)學(xué)軟件.對于Excel、Lingo、Matlab幾種數(shù)學(xué)軟件，它們的功能各有特色.

Excel自帶的規(guī)劃求解功能可以輕松求解數(shù)學(xué)規(guī)劃、運輸與網(wǎng)絡(luò)問題等.這一款軟件能夠容易的完成模型的求解，并且進(jìn)行靈敏度分析，它的操作使用簡單易學(xué)，并且對編程基礎(chǔ)要求也不高.使用Excel命令與功能對實際問題的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬優(yōu)化和分析，可以讓學(xué)生在實驗的過程中動手體驗，獲得成就感，從而學(xué)習(xí)熱情高漲.

Lingo也能夠用于求解線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和非線性規(guī)劃問題，使用者可以直接調(diào)用許多常用的數(shù)學(xué)函數(shù)來建立優(yōu)化模型.與Excel軟件不同的是，Lingo軟件能夠使用其他數(shù)據(jù)文件的接口，方便輸入、求解和分析大規(guī)模最優(yōu)化問題.

Matlab包含了專門用于優(yōu)化計算的工具箱，使用時能夠調(diào)用工具箱中的函數(shù)求解一般的優(yōu)化問題，它擁有強大的計算功能和數(shù)據(jù)可視化功能.此外，在這個強大的科學(xué)計算平臺上，學(xué)生可以對運籌學(xué)課程中的算法進(jìn)行編程實現(xiàn)，加強對理論知識的理解，從而更好地鍛煉學(xué)生的動手能力.

從上面的介紹可知，這幾款軟件各有特色，教師在教學(xué)時可以讓學(xué)生自己選擇合適的平臺進(jìn)行實驗?zāi)M.在運籌學(xué)課程的理論和實踐教學(xué)中，讓學(xué)生自主選擇數(shù)學(xué)軟件來完成習(xí)題，使學(xué)生的大腦和雙手都動起來.

三、合理布置實驗內(nèi)容，提高學(xué)生動手能力

正如文中所談到的，運籌學(xué)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的必修課，我們在教學(xué)中既要重視運籌學(xué)的基本理論和基本方法，又要培養(yǎng)學(xué)生解決具體優(yōu)化問題的實踐能力.因此，運籌學(xué)的學(xué)習(xí)，不但要求學(xué)生掌握運籌學(xué)的基本理論和方法，還要訓(xùn)練學(xué)生運用已有知識解決實際問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

目前，國內(nèi)運籌學(xué)教材有幾十種，而且還在不斷推陳出新.從所包含的知識內(nèi)容上來看差異不大.其內(nèi)容涵蓋：數(shù)學(xué)規(guī)劃、組合優(yōu)化和隨機優(yōu)化.受教學(xué)時數(shù)所限，教學(xué)內(nèi)容可以根據(jù)學(xué)校自身培養(yǎng)目標(biāo)要求進(jìn)行側(cè)重選擇，在教學(xué)內(nèi)容的時間分配上也要結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點進(jìn)行合理安排.

這些教材內(nèi)容中理論偏多，實踐性的教學(xué)內(nèi)容偏少.根據(jù)運籌學(xué)課程內(nèi)容的理論教學(xué)內(nèi)容，可以合理安排有層次差異的實驗題目，例如將基礎(chǔ)性實驗和綜合性實驗進(jìn)行搭配.基礎(chǔ)性實驗只需要學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件調(diào)用或按照軟件的規(guī)定格式輸入命令即可完成，它能加深學(xué)生對知識點的鞏固，同時熟練數(shù)學(xué)軟件的操作和相關(guān)命令的用法.當(dāng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)軟件操作理解和掌握了這些基本知識以后，布置一定難度的綜合應(yīng)用實驗題目，有利于進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力.當(dāng)學(xué)生的大腦動起來了，雙手忙起來了，對于學(xué)生能力的提高是非常有益的.

綜合性實驗項目可以是運籌學(xué)課程中的經(jīng)典案例，亦可選取歷年數(shù)學(xué)建模大賽（例如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽和美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）的賽題作為問題，這些問題通常原理復(fù)雜、數(shù)據(jù)多，解決辦法無限制，且無標(biāo)準(zhǔn)答案.在實驗指導(dǎo)老師的組織下，大家分組互相討論、認(rèn)真分析、參閱資料、找出關(guān)鍵，結(jié)合自身所學(xué)，抽象出數(shù)學(xué)模型，最后通過數(shù)學(xué)軟件編程求解模擬.

四、運籌學(xué)相關(guān)課程有效融入數(shù)學(xué)軟件

運籌學(xué)課程的先修課程有《數(shù)學(xué)分析》《高等代數(shù)》《概率論》《數(shù)理統(tǒng)計》《數(shù)值分析》《數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗》等.

本課程的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生了解運籌學(xué)的發(fā)展歷史、基本思想、基本知識、基本理論和基本方法.運籌學(xué)是一門應(yīng)用科學(xué)，它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選擇最優(yōu)決策提供定量依據(jù).運籌學(xué)具有多學(xué)科交叉性和邊緣性，它綜合運用經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、管理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)中的一些思想和方法來解決實際問題.本課程的目的與任務(wù)在于培養(yǎng)學(xué)生樹立起優(yōu)化的思想，掌握必要的實際問題模型化的方法，以及求解問題的基本計算方法，初步具有對實際問題進(jìn)行優(yōu)化的基本能力.

正如前面所述，運籌學(xué)課程主要講授數(shù)學(xué)規(guī)劃、組合優(yōu)化、隨機優(yōu)化三大板塊內(nèi)容.其中數(shù)學(xué)規(guī)劃包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃，組合優(yōu)化包括網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、排序問題、統(tǒng)籌圖，隨機優(yōu)化包括對策論、排隊論、決策分析.這些內(nèi)容的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都需要在前期的先修課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)先修課程時，教師可以在課程講授的過程中，在合適的環(huán)節(jié)有意識加入運籌學(xué)的簡單例子，并借助數(shù)學(xué)軟件加以求解，這樣不但加強了學(xué)生對知識的應(yīng)用，同時拓寬了學(xué)生的視野，增強了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

譬如：在高等代數(shù)課程的講授和學(xué)習(xí)過程中，教師可以展開討論矩陣?yán)碚撛诰€性規(guī)劃單純性算法中的應(yīng)用，直接講解一個簡單的線性規(guī)劃問題的單純性算法求解.這樣，學(xué)生可以更好地掌握矩陣的相關(guān)知識，同時還能加以應(yīng)用.為了驗證計算結(jié)果，利用Excel、Lingo、Matlab的命令輸入?yún)?shù)進(jìn)行計算分析，這些學(xué)習(xí)和實踐，使得學(xué)生既動腦又動手，綜合鍛煉了學(xué)生，從而提高了學(xué)生的整體素質(zhì).

在數(shù)學(xué)分析課程的講授和學(xué)習(xí)過程中，針對最值問題的求解，可以延伸談?wù)勛顑?yōu)化問題，例如最短路徑、貨郎擔(dān)問題等等.當(dāng)然，不必花太多的時間進(jìn)行講授，只要給一個簡單的運籌學(xué)問題與學(xué)生一起分析，并借助數(shù)學(xué)軟件求解，讓學(xué)生有這個認(rèn)識即可.對于部分學(xué)有余力的學(xué)生，可以在課后查閱資料拓展學(xué)習(xí).

在概率論課程的講授和學(xué)習(xí)過程中，教師可以列舉排隊論中的簡單例子，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.Matlab軟件中包含了許多概率統(tǒng)計的函數(shù)，只需輸入?yún)?shù)調(diào)用即可.通過演示概率論在運籌學(xué)中的簡單應(yīng)用，學(xué)生能夠把知識串接起來，形成一個系統(tǒng)，知識得以鞏固和應(yīng)用.數(shù)理統(tǒng)計課程中也有許多在運籌學(xué)中的應(yīng)用例子，教師可以根據(jù)教學(xué)進(jìn)度和學(xué)生實際情況，給出幾個簡單的應(yīng)用例子，利用軟件進(jìn)行求解演示，開闊學(xué)生的眼界，拓寬學(xué)生的思維.

另外，在數(shù)值分析和數(shù)學(xué)實驗課程中，講授了許多數(shù)值分析算法及其Matlab軟件實現(xiàn).如：插值、擬合、方程求根、數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解等，這些算法在運籌學(xué)中是可以用到的.要充分發(fā)揮Matlab軟件強大的計算、豐富的工具箱、便利的可視化功能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性調(diào)動起來.

通過先修課程中運籌學(xué)思想和方法的有效融入，以及數(shù)學(xué)軟件的使用，把整個知識體系搭建了起來，學(xué)生既可以把運籌學(xué)的數(shù)學(xué)理論知識掌握好，還能夠借助數(shù)學(xué)軟件來解決實際問題，尤其是學(xué)好運籌學(xué)這門應(yīng)用課程.在融入數(shù)學(xué)軟件的過程中，給學(xué)生一杯水，需要教師有一桶水，所以教師也要不斷地學(xué)習(xí)升華，才能達(dá)到應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件提高學(xué)生課程學(xué)習(xí)效率的作用.

五、讓課堂活起來，讓學(xué)生忙起來

運籌學(xué)是應(yīng)用性非常廣泛的一門學(xué)科，本課程的學(xué)習(xí)，可以使數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生充分領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，從而更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的興趣，培養(yǎng)學(xué)生熟練運用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件解決運籌學(xué)相關(guān)問題的能力.掌握利用數(shù)學(xué)軟件實現(xiàn)常用數(shù)值算法，教師通過數(shù)值實驗，培養(yǎng)學(xué)生的算法設(shè)計和程序?qū)崿F(xiàn)能力，提高應(yīng)用運籌學(xué)知識分析和解決實際問題的意識和水平，使學(xué)生初步具備一定的科學(xué)研究認(rèn)識.

教師要改進(jìn)教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生積極參與.圍繞“讓課堂活起來，讓學(xué)生忙起來”，我們應(yīng)該改變課堂以教師為中心，學(xué)生被動聽講的封閉教學(xué)模式.讓學(xué)生課前先準(zhǔn)備后上課，課堂上提出問題，老師與同學(xué)們一起討論解決，課后進(jìn)行練習(xí)鞏固.運籌學(xué)是一門與實際密切相關(guān)的課程，我們以問題為驅(qū)動，以數(shù)學(xué)知識方法和數(shù)學(xué)軟件為工具，由教師來主導(dǎo)課堂教學(xué)，與學(xué)生一起研究問題的解決方案，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件來求解抽象出來的數(shù)學(xué)模型，教學(xué)過程中貫穿數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生自己體驗實際問題解決的過程.

打造高效課堂建設(shè)，其中一個重要方面就是關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，興趣是學(xué)生自身學(xué)習(xí)的動力，也是助推高效課堂建設(shè)的動力.學(xué)生只要有了學(xué)習(xí)興趣，課堂上就會真正動起來，那么，課堂也就活了起來，教學(xué)效率也就高了起來.我們通過布置一些有趣的、難度適中的運籌學(xué)實驗題目給學(xué)生，讓他們用數(shù)學(xué)軟件來獨立完成作業(yè).也可以幾個人一組共同完成，這樣既可以激發(fā)學(xué)生的興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊協(xié)作能力，學(xué)生通過團(tuán)隊合作討論、資料查閱完成以后，增強了成就感和獲得感，對于學(xué)生的成長和發(fā)展是特別有益處的，同時還樹立了學(xué)生進(jìn)行科學(xué)研究的意識.

六、結(jié)束語

為了達(dá)到教育部關(guān)于一流本科課程建設(shè)的一系列目標(biāo)要求，雖然各類學(xué)校開設(shè)有運籌學(xué)實驗課程，但是將數(shù)學(xué)軟件有效融入運籌學(xué)課程這一方面仍然不夠，需要在加強和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件鞏固運籌學(xué)基本理論和方法的同時，還會借助數(shù)學(xué)軟件分析和解決實際問題.這給教師和學(xué)生都提出了更高的要求，教師需要改革教學(xué)方法和內(nèi)容，學(xué)生則需要轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式和方法來提高自身素質(zhì)，以適應(yīng)未來國家對人才的需要.

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