駱書院 李 力 王 偉
(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)
“擺球推斜面”模型如下:如圖1所示,在光滑水平面上有一質(zhì)量為M,傾角為θ0的斜面,長為L的細線懸掛質(zhì)量為m的光滑小球,細線與斜面平行.推力作用在斜面上使整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).撤去推力后,小球推動斜面向左運動,問小球和斜面在什么位置脫離?
圖1 擺球推斜面
教學(xué)中通常的看法是:小球在豎直面內(nèi)做圓周運動的同時推動斜面向左運動,當(dāng)小球擺到最低點時擺球與斜面脫離.
文獻[1]對澄清教學(xué)中相關(guān)錯誤認識極有教益,但有以下幾點不足:第一,未能作徹底的數(shù)理解析,雖用兩種方法推導(dǎo),但并未得到最終一致的理論公式,僅從5組賦值計算便草率判斷兩種方法的結(jié)果一致.第二,沒有探討結(jié)果與小球初始位置θ0(即斜面的傾角)的關(guān)系.第三,在斜面傾角為30°的情況下,僅以5組數(shù)據(jù)賦值計算形成表格,沒有用連續(xù)圖線完整直觀地表示變化趨勢[1,2].
方法一:如圖2所示,設(shè)小球與斜面脫離時速度分別為v1和v2,此時二者間彈力恰為零,小球只受細線拉力T和重力mg,對小球沿細線方向用牛頓定律有
圖2 小球受力及運動分析
(1)
因為小球與斜面在垂直斜面方向上加速度相等,脫離瞬間斜面加速度為零,故斜面垂直于斜面方向的加速度也為零,從而小球沿垂直于斜面方向的加速度為零,在此方向上對小球用牛頓定律
mgcosθ0=Tsin(θ-θ0)
(2)
又脫離時二者沿垂直斜面方向的分速度相等
v1cos(θ-θ0)=v2sinθ0
(3)
從初始位置到二者脫離的過程,由系統(tǒng)能量守恒
(4)
由式(1)~(4),可得斜面與小球的質(zhì)量比為
(5)
方法二:脫離前斜面在小球的壓力下向左加速,脫離瞬間斜面速度v2達到最大,由式(3)、(4)消去v1可得
(6)
即
cosθsin2θ0cos-2(θ-θ0)+kcosθ-2sin2θ0sin(θ-θ0)cos-3(θ-θ0)(sinθ-sinθ0)=0
移項整理得到
(7)
式(5)和式(7)的差異僅在右端第一項分母上,由三角公式cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny得到
cosθ0=cos[θ-(θ-θ0)]=
cosθcos(θ-θ0)+sinθsin(θ-θ0)
移項得
cosθ0-sinθsin(θ-θ0)=cosθcos(θ-θ0)
代入式(5)即得式(7).由此可知兩種方法得到的函數(shù)關(guān)系式k=k(θ,θ0)完全一致.
由式(5)或式(7)可以看出,小球與斜面的脫離位置θ與質(zhì)量比k、初始參數(shù)θ0都有關(guān)系.對于給定的初始角θ0,從式(5)出發(fā)考查函數(shù)k(θ)的單調(diào)性,將式(5)右端通分可得
(8)
(9)
圖3 k-θ曲線