基于滑模PI控制的卡爾曼濾波在空間轉(zhuǎn)臺(tái)的應(yīng)用

葉 青 李 雪 馮 宇 李 宇 方智毅

上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109

0 引言

永磁同步電機(jī)(permanent magnetic synchronous motor, 簡(jiǎn)稱(chēng)PMSM)因其功率密度高、體積小、功率因數(shù)高和優(yōu)越的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度[1-2]，近年來(lái)被越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于空間二維轉(zhuǎn)臺(tái)負(fù)載的驅(qū)動(dòng)控制。由PMSM驅(qū)動(dòng)的空間二維轉(zhuǎn)臺(tái)的超低速控制是一個(gè)新的研究領(lǐng)域。目前，空間二維轉(zhuǎn)臺(tái)負(fù)載對(duì)PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)速要求可能達(dá)到0.05(°)/s左右，對(duì)控制精度的要求也相應(yīng)地越來(lái)越高。超低速PMSM系統(tǒng)是強(qiáng)耦合、非線性的，如果將傳統(tǒng)的PI控制+T法測(cè)速方法直接用于二維轉(zhuǎn)臺(tái)的超低速控制，則可能出現(xiàn)如下3個(gè)問(wèn)題：1) T法測(cè)速的估計(jì)誤差較大導(dǎo)致速度跟蹤誤差較大，達(dá)不到要求的精度；2) 超低速工況下的摩擦力矩呈非線性，電纜力矩與角度成正比，傳統(tǒng)的PI控制難以消除這兩個(gè)干擾力矩的影響；3) 負(fù)載和電機(jī)的物理系數(shù)(主要是力矩系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)的時(shí)變性導(dǎo)致：根據(jù)某一組系數(shù)確定的比例、積分系數(shù)不適用于所有的工況，傳統(tǒng)的PI控制缺乏自適應(yīng)性。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在解決PMSM低速高精度控制問(wèn)題上做了很多研究[3-5]，在觀測(cè)器設(shè)計(jì)和滑?？刂扑惴ǖ膽?yīng)用方面有以下研究成果。文獻(xiàn)[6]采用插值的方法增加觀測(cè)器采樣周期之間的采樣點(diǎn)，提高了觀測(cè)精度。文獻(xiàn)[7]采用了卡爾曼濾波的方法獲取更優(yōu)的低速工況的轉(zhuǎn)速。文獻(xiàn)[8]采用了高頻注入法，在低速控制時(shí)代替機(jī)械式位置傳感器來(lái)獲取速度角度信息。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)模糊PI 滑模觀測(cè)器提高系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10]通過(guò)擴(kuò)展卡爾曼濾波(簡(jiǎn)稱(chēng)EKF)實(shí)現(xiàn)磁鏈、轉(zhuǎn)子位置和速度的精確估計(jì)，提高了直接轉(zhuǎn)矩控制的性能。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)的EKF觀測(cè)器，把光電碼盤(pán)信號(hào)的量化誤差考慮為測(cè)量噪聲，提升了轉(zhuǎn)子位置、速度的觀測(cè)精度。文獻(xiàn)[12]利用EKF對(duì)電機(jī)的電阻、電感參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，有效地改善了PMSM控制性能。文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模變結(jié)構(gòu)控制器，來(lái)提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性。文獻(xiàn)[14]采用模糊PID技術(shù)與滑模觀測(cè)器的新型混合估計(jì)策略，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)轉(zhuǎn)子位置和電機(jī)轉(zhuǎn)速的觀測(cè)精度。文獻(xiàn)[15]在直接轉(zhuǎn)矩控制中運(yùn)用變指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制策略，有效地抑制了滑模變結(jié)構(gòu)的抖振，并且改善了轉(zhuǎn)矩和磁鏈的脈動(dòng)過(guò)大的問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了一種積分型滑模變結(jié)構(gòu)控制器，通過(guò)觀測(cè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩并反饋到滑?？刂破髦校瓜到y(tǒng)具有響應(yīng)快速、無(wú)超調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，且對(duì)負(fù)載的力矩?cái)_動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[17]提出了一種上下界滑模變結(jié)構(gòu)速度控制器，將速度誤差與系統(tǒng)狀態(tài)量的變化相關(guān)聯(lián)，通過(guò)預(yù)設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的上下界值，實(shí)時(shí)改進(jìn)滑?？刂坡?，有效地提高系統(tǒng)的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)特性與魯棒性。

由于卡爾曼濾波算法和滑模控制算法在工程上都有較強(qiáng)的實(shí)用性，因此可以考慮將二者結(jié)合起來(lái)，應(yīng)用于空間二維轉(zhuǎn)臺(tái)的超低速控制。本文主要針對(duì)空間二維轉(zhuǎn)臺(tái)PMSM的速度環(huán)設(shè)計(jì)展開(kāi)研究。針對(duì)二維轉(zhuǎn)臺(tái)超低速控制的應(yīng)用場(chǎng)景，提出了一種基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法來(lái)改進(jìn)傳統(tǒng)的PI控制+T法測(cè)速方法。這一算法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在如下3個(gè)方面：1) 卡爾曼濾波算法將滑模PI控制的抖振看作是白噪聲，再根據(jù)測(cè)量噪聲的隨機(jī)分布特性，提取出更準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)速信息，提高控制精度；2) 將摩擦力矩和電纜力矩看作是低頻干擾，消耗一定的控制力矩來(lái)消除低頻干擾對(duì)轉(zhuǎn)速控制性能的影響；3) 考慮了實(shí)際應(yīng)用中力矩系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的時(shí)變性，用Lyapunov方法確定滑模PI控制律中的控制參數(shù)，使得閉環(huán)系統(tǒng)必然穩(wěn)定。為驗(yàn)證基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法的可行性，本文設(shè)計(jì)了仿真試驗(yàn)，將該算法與傳統(tǒng)的PI控制+T法測(cè)速方法進(jìn)行了對(duì)比。

1 滑模PI控制算法理論分析

本節(jié)假定系統(tǒng)狀態(tài)可以準(zhǔn)確測(cè)量，只討論滑模PI控制律的設(shè)計(jì)方法，狀態(tài)估計(jì)方法的討論在下一節(jié)中展開(kāi)。本文中，電流環(huán)采用SVPWM算法[18]。在本節(jié)假定q軸電流[18]實(shí)際值與指令值總是相等的。

考慮某型二維空間轉(zhuǎn)臺(tái)PMSM速度環(huán)的被控系統(tǒng)模型

(1)

其中，t表示時(shí)間，J表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω表示機(jī)械角速度，b表示力矩系數(shù)，iq表示q軸電流，df表示摩擦力矩的大小，dθ>0表示電纜力矩系數(shù)，θ表示機(jī)械角。假設(shè)時(shí)變參數(shù)滿足：Jmin≤J(t)≤Jmax，bmin≤b(t)≤bmax，0≤df(t)≤dfmax。Jmax,bmin,dfmax,dθ>0已知，Jmin,bmax>0未知，這種參數(shù)給定在型號(hào)研制中常見(jiàn)。

根據(jù)式(1)，關(guān)于z1,z2的系統(tǒng)模型方程可寫(xiě)成

(2)

設(shè)控制律

iq=u0+v

其中PI控制律u0為

u0=-Kiz1-Kpz2

其中，Ki>0為積分系數(shù)，Kp>0為比例系數(shù)，現(xiàn)需要確定滑?？刂坡蓈。

設(shè)

(3)

其中滑模變量

s:=z1+cz2+cωc,c=Kp/Ki

開(kāi)關(guān)變量

σ1=1,當(dāng)sω<0時(shí),σ1=0,其他

σ2=1,當(dāng)sθ<0時(shí),σ2=0,其他

常增益ks>0為任意小的正常數(shù)。下面給出定理1。

證明：設(shè)第一個(gè)Lyapunov函數(shù)為

則對(duì)V1求導(dǎo)，再代入控制律(3)，得到

所以當(dāng)s≠0時(shí)，s在有限時(shí)間內(nèi)收斂為0。當(dāng)s=0時(shí)，再設(shè)第2個(gè)Lyapunov函數(shù)

所以如果在時(shí)刻t0時(shí)s(t0)=0，則在任意時(shí)刻t>t0，當(dāng)t→∞時(shí)，

s(t)≡0?V2(t)→0?z1(t)→-cωc?z2(t)→0

所以閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，證畢。

從式(3)中可見(jiàn)，滑模PI控制律需要已知的變量包括：θ,ω,Jmax,bmin,dfmax,dθ,dmax。其中：θ,ω需要用卡爾曼濾波算法進(jìn)行估計(jì)；Jmax,bmin,dfmax,dθ是負(fù)載的固有物理量，可以經(jīng)過(guò)事先實(shí)驗(yàn)測(cè)得；dmax取決于位置環(huán)的控制律，是已知的。

可以看出滑模PI算法有以下3個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1) 需要在線估計(jì)的物理量較少，有可操作性；2) 只需已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上界和力矩系數(shù)下界，所以這一算法是通過(guò)施加強(qiáng)控制力來(lái)使系統(tǒng)穩(wěn)定：只要增加控制力，就能提高魯棒性；3) 傳統(tǒng)PI控制律需要同時(shí)控制2個(gè)變量：跟蹤誤差和其積分，而滑模PI控制律只需控制一個(gè)變量s，這對(duì)于超低速工況是實(shí)用的。

2 卡爾曼濾波算法

本文提出的卡爾曼濾波算法參考了文獻(xiàn)[19]的設(shè)計(jì)，但是在處理干擾力矩方面有所不同。

伺服系統(tǒng)的勻速運(yùn)動(dòng)離散化方程為

(4)

式中，下標(biāo)k表示該變量為第k個(gè)采樣周期的變量?；?4)的卡爾曼濾波的過(guò)程及測(cè)量方程如下：

其中，X=[θ,ω]T為狀態(tài)變量，a表示角加速度，z為角度測(cè)量值，w,v分別為過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲，A,B,C定義為：

卡爾曼濾波算法如下：

(5)

在算法(5)的實(shí)施中需要已知角加速度ak，電機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)ak約等于0，但是在仿真試驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn)如果令ak恒等于0，則濾波性能較差。根據(jù)式(1)可知，ak的準(zhǔn)確值應(yīng)為

其中，iqk為第k個(gè)周期的q軸電流值，可以在線測(cè)量，但是在實(shí)際工程中b(t),J(t),df(t)未必已知，且θk和ωk尚需要進(jìn)行估計(jì)。因此本文中提出ak的估計(jì)方法為

這一估計(jì)方法與文獻(xiàn)[19]不同，優(yōu)點(diǎn)是：避免了控制與狀態(tài)觀測(cè)的耦合，信號(hào)的因果關(guān)系明確，易于工程實(shí)現(xiàn)。

3 基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法在空間轉(zhuǎn)臺(tái)超低速控制中的應(yīng)用

在空間軌道運(yùn)行的某型號(hào)高精度轉(zhuǎn)臺(tái)上的負(fù)載由PMSM拖動(dòng)。PMSM的控制通常由外到內(nèi)分為三環(huán)：位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)。一個(gè)典型的三環(huán)控制框圖如圖1所示。

圖1 PMSM的三環(huán)控制結(jié)構(gòu)

圖1中APR，ASR和ACR分別表示位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)控制律，本文提出的算法可以被用來(lái)改進(jìn)綠色虛線框中的環(huán)節(jié)。在空間高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)的一些應(yīng)用場(chǎng)景中，要求負(fù)載繞方位軸和俯仰軸緩慢地勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)一定范圍的空間區(qū)域進(jìn)行掃描。這一具體要求體現(xiàn)在PMSM系統(tǒng)中，可以抽象為：位置環(huán)輸出恒定非零的速度環(huán)指令，要求PMSM轉(zhuǎn)速以足夠高的精度穩(wěn)態(tài)精度可能要求達(dá)到0.01(°)/s跟蹤恒定的速度環(huán)指令。當(dāng)速度環(huán)指令很小(可能達(dá)到0.05(°)/s)時(shí)，會(huì)帶來(lái)難以解決的控制問(wèn)題，主要體現(xiàn)在如下3個(gè)方面：

1)電機(jī)轉(zhuǎn)速過(guò)低時(shí)，無(wú)法用傳感器直接測(cè)量速度，需要從角度信息中提取出速度信息；

2)摩擦力矩和電纜力矩在系統(tǒng)模型中呈現(xiàn)非線性，低速運(yùn)行時(shí)，靜摩擦力的影響不可忽視；

3)由于二維轉(zhuǎn)臺(tái)兩軸間的耦合性，繞方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)有很大幅度的變化，可能影響控制性能。

本文提出了基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法來(lái)解決這3個(gè)問(wèn)題。綜合考慮第1節(jié)和第2節(jié)的算法，進(jìn)行控制和狀態(tài)估計(jì)一體化設(shè)計(jì)：在每時(shí)每刻利用前一采樣時(shí)刻的估計(jì)值，用第2節(jié)的卡爾曼濾波算法求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值，然后將這一估計(jì)值代入到第1節(jié)的滑模PI控制律中求解電流環(huán)指令。這樣得到的基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法如下：

2)根據(jù)算法(5)計(jì)算出Xk,Pk，令θk=Xk(1),ωk=Xk(2)；

3)計(jì)算z2:=ωk-ωc，z1:=z1+Tz2；

4)計(jì)算PI控制輸入和滑?？刂戚斎耄?/p>

u0k=-Kiz1-Kpz2

(6)

其中

σ1k=1,當(dāng)sωk<0時(shí)，σ1k=0,其他

σ2k=1,當(dāng)sθk<0時(shí)，σ2k=0,其他

5)輸出電流環(huán)指令iqck=u0k+vk。

由于這一算法常用于轉(zhuǎn)臺(tái)的恒定轉(zhuǎn)速控制，因此可以取定dmax=0。

基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法的控制框圖如圖2所示。

圖2 控制框圖

針對(duì)二維轉(zhuǎn)臺(tái)超低速控制面臨的3個(gè)控制問(wèn)題，基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法在以下3個(gè)方面予以解決：

1)卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)考慮了滑?？刂乒逃械亩墩瘳F(xiàn)象，可以根據(jù)電流環(huán)輸出和位置環(huán)輸出估計(jì)出較為準(zhǔn)確的角速度，根據(jù)文獻(xiàn)[20]的定理2.10可知，卡爾曼濾波器能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)偏估計(jì)。

2)由定理1的證明可知，滑模控制算法以盡可能大的控制力使滑模變量收斂為0，使得摩擦力矩和電纜力矩對(duì)滑模變量的收斂速度沒(méi)有影響，進(jìn)而對(duì)速度跟蹤誤差的收斂性沒(méi)有影響。

3)由式(3)可見(jiàn)，滑模PI控制律不需要已知當(dāng)前的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小，只需已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的最大值，再由定理1的證明可知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性沒(méi)有影響，對(duì)滑模變量的收斂速度也沒(méi)有影響。

4 仿真校驗(yàn)

根據(jù)某型二維轉(zhuǎn)臺(tái)負(fù)載和電機(jī)型號(hào)確定模型參數(shù)，其中J≤12kg·m2，b≥7N·m/A，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)變，按照?qǐng)D1搭建Simulink仿真模型，用基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法改進(jìn)速度環(huán)?，F(xiàn)給定角度測(cè)量干擾的標(biāo)準(zhǔn)差為0.001°，要求速度跟蹤的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差在0.01(°)/s以下。

首先給出超低速工況(速度跟蹤指令為0.05(°)/s)下的仿真結(jié)果，與傳統(tǒng)的PI控制+T法測(cè)速方法進(jìn)行了對(duì)比，如圖3所示。

圖3 超低速工況下的仿真曲線

由圖3可見(jiàn)，卡爾曼濾波算法保證在超低速工況下速度估計(jì)誤差始終在0.006(°)/s以下，如圖3(c)所示。同時(shí)從圖3(c)中可見(jiàn)T法測(cè)速的估計(jì)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于卡爾曼濾波的估計(jì)誤差，這會(huì)引起控制性能的下降。滑模PI控制算法保證了速度跟蹤性能良好，如圖3(a)所示。由圖3(d)可見(jiàn)q軸電流始終在0.2A內(nèi)變化。由圖3(b)可見(jiàn)，基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法保證速度跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差在0.005(°)/s以下，滿足控制精度要求，而傳統(tǒng)方法不能滿足設(shè)計(jì)要求。

由圖3(b)可見(jiàn)本文提出的算法并不能保證跟蹤誤差在0(°)/s左右變動(dòng)，這是因?yàn)榭柭鼮V波器對(duì)速度估計(jì)始終有一個(gè)正的偏差，如圖3(c)所示。這可能是卡爾曼濾波算法中對(duì)干擾的估計(jì)不精確引起的。更多的仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，隨著速度指令的提高，速度估計(jì)的偏差逐漸減小，直到不明顯。而速度跟蹤精度與速度指令基本無(wú)關(guān)，始終能夠保持跟蹤精度小于0.01(°)/s。在不同速度指令下，本文提出的算法與PI控制+T法測(cè)速方法的控制精度對(duì)比如圖4所示。

圖4 不同速度指令下跟蹤精度對(duì)比

從圖4可見(jiàn)，本文提出的算法在速度指令提高時(shí)精度更高，而傳統(tǒng)方法正好相反。這是因?yàn)門(mén)法測(cè)速在速度指令提高時(shí)，差分運(yùn)算時(shí)會(huì)引入更大的噪聲。

下面給出速度指令階躍變化工況下的速度響應(yīng)，速度指令為0.05(°)/s→0.25(°)/s→0.15(°)/s。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 階梯速度指令下的仿真曲線

仿真結(jié)果表明卡爾曼濾波的速度估計(jì)誤差始終在0.004(°)/s以下，如圖5(c)所示。同時(shí)滑?？刂扑惴ūＷC了速度跟蹤性能良好，速度動(dòng)態(tài)接近一階慣性環(huán)節(jié)，如圖5(a)所示。由圖5(b)可見(jiàn)，速度跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差在0.004(°)/s以下，滿足控制精度要求。

5 結(jié)論

提出了一種基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法，用于空間高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)上PMSM的低速控制。這種算法改進(jìn)了傳統(tǒng)的PI控制+T法測(cè)速方法，有以下3個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1)卡爾曼濾波算法能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)較低的轉(zhuǎn)速，提高控制精度；2) 能夠克服非線性干擾力矩引起的低頻干擾；3) 對(duì)模型不確定性具有足夠強(qiáng)的魯棒性。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)PMSM運(yùn)行于低速區(qū)域時(shí)，本文提出的算法對(duì)環(huán)境噪聲有足夠強(qiáng)的魯棒性，能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的速度跟蹤性能良好；在超低速工況下，本文算法保證速度跟蹤精度較PI控制+T法測(cè)速更優(yōu)，且速度估計(jì)誤差遠(yuǎn)低于PI控制+T法測(cè)速。