Loewy矩陣與幾乎Koszul代數(shù)

羅 德 仁，呂 天 星，劉 靚

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 岳陽 414006 )

0 引 言

作為Koszul代數(shù)的推廣，Brenner等在文獻(xiàn)[1]中引入了幾乎Koszul代數(shù)，特別地，他們利用幾乎Koszul代數(shù)研究了Dynkin型遺傳代數(shù)的預(yù)投射代數(shù)和雙邊Dynkin型遺傳代數(shù)的平凡擴(kuò)張代數(shù)以及它們的Koszul對(duì)偶周期性．近來，郭晉云利用幾乎Koszul代數(shù)將平移箭圖及平移代數(shù)與n-幾乎可裂序列結(jié)合起來，引入了n-平移箭圖及n-平移代數(shù)，并推廣了經(jīng)典的穩(wěn)定平移箭圖ZQ的構(gòu)造到高維情形．Loewy矩陣及Loewy維數(shù)向量是20世紀(jì)末被提出的一個(gè)重要概念，文獻(xiàn)[2-3]利用Loewy矩陣及Loewy維數(shù)向量初步給出了線性模的必要條件，并在此基礎(chǔ)上給出了Koszul代數(shù)的判別方法和Koszul自入射代數(shù)具有有限復(fù)雜度的判定條件．文獻(xiàn)[4]利用Loewy矩陣及Loewy維數(shù)向量討論了n-平移代數(shù)的性質(zhì)和判定方法，利用Loewy矩陣給出一個(gè)分次代數(shù)Λ的扭平凡擴(kuò)張成為n-平移代數(shù)的條件．

本文將繼續(xù)優(yōu)化前人的工作，利用Loewy矩陣及Loewy維數(shù)向量討論一般的有限維分次代數(shù)成為幾乎Koszul代數(shù)的充分必要條件．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)k是一個(gè)域．域k上的有限維代數(shù)Λ稱為正分次代數(shù)，如果滿足下面3個(gè)條件：

(1)作為向量空間，有直和分解Λ=Λ0+Λ1+…+Λn；

(2)Λ由Λ1和Λ0生成，即Λi+j=ΛiΛj；

2 Loewy矩陣與線性模

文獻(xiàn)[2]利用Loewy矩陣和模的Loewy維數(shù)向量給出了d-線性模的一個(gè)必要條件，文獻(xiàn)[4]給出了當(dāng)JnM=0時(shí)，M為d-線性模的充分必要條件．本章利用Loewy矩陣和模的Loewy維數(shù)向量給出d-線性模在一般情況下的充分必要條件，從而推廣文獻(xiàn)[2，4]關(guān)于線性模的結(jié)論．

其中E為r×r單位矩陣．同時(shí)定義Λ的增廣Loewy矩陣

Mt=Jt-sM/Jt-s+1M=0

…→Pk+1→Pk→…→P1→P0→M→0

使得當(dāng)t≤d時(shí)，Pt由t+s次生成(此時(shí)ΩtM由t+s+1次生成，t=0，1，…，d)．

引理1設(shè)M是不含投射直和項(xiàng)的由s次生成的有限維分次Λ-模，則JnΩM=0，Jn+1M=0．

如果M是由s次生成的有限維分次Λ-模，定義M的Loewy維數(shù)向量

JnM=0

首先用Loewy矩陣和Loewy維數(shù)向量刻畫d-線性模，這是對(duì)文獻(xiàn)[4]中定理3.1的修正和補(bǔ)充．

定理1設(shè)M是s次生成的有限維分次Λ-模，則M為d-線性模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)0≤t≤d，都有

(1)當(dāng)JnM=0時(shí)，ldimΩtM=LtldimM；

證明不失一般性，假設(shè)s=0．

必要性當(dāng)JnM≠0時(shí)，P(M)為M的投射蓋，此時(shí)有0次同態(tài)正合列0→ΩM→P(M)→M→0．從而有正合列

0→(ΩM)t→P(M)t→Mt→0；0≤t≤n

充分性反之，設(shè)M不為d-線性模，設(shè)1≤l

但是M不為l-線性模，從而Pl不是l次生成的，因此半單模Pl/JPl?ΩlM/JΩlM不集中在l次，因此存在半單模N=Ns1⊕Ns2⊕…⊕Nsm使得

Pl/JPl?ΩlM/JΩlM=(ΩlM)l+N

當(dāng)l>1時(shí)，上式最后一行為L的第s1-l

ldimΩl+1M≠LldimΩlM=LlldimΩM

同理，當(dāng)JnM=0時(shí)，ldimΩl+1M≠LldimΩlM=LlldimΩM．

□

令

與定理1的證明類似，可以得到

推論若M和ΩM分別為t次和t+s次生成有限維分次Λ-模，則

3 Loewy矩陣與幾乎Koszul代數(shù)

文獻(xiàn)[2]利用Loewy矩陣和模的Loewy維數(shù)向量給出了分次代數(shù)成為Koszul代數(shù)的充分必要條件，本章利用Loewy矩陣和模的Loewy維數(shù)向量給出分次代數(shù)成為幾乎Koszul代數(shù)的充分必要條件．

一個(gè)有限維分次代數(shù)Λ=Λ0+Λ1+…+Λn稱為(n，q)型幾乎Koszul代數(shù)(簡稱為(n，q)-Koszul 代數(shù))，如果Λn≠0，且當(dāng)t>n時(shí)Λt=0；任意0次生成單模S(i)都存在分次極小投射分解

Pq(i)→…→P1(i)→P0(i)→S(i)→0

使得Pt(i)是t次生成的分次投射Λ-模(或者說，任意0次生成單模都是q-線性的)且Ωq+1S(i)=Λn?Pq(i)q是集中于n+q次分支的半單模．由(n，q)-Koszul代數(shù)的定義可知，當(dāng)0≤t≤q時(shí)，ΩtS(i)和Pt(i)都由t次生成，作為分次左Λ-模，有系列同構(gòu)

Pq(i)n+q=JnPq(i)=Λn?Pq(i)q?Ωq+1S(i)

r維向量v稱為正向量，如果v≠0且分量非負(fù)，此時(shí)記為v?0．

命題1設(shè)Λ是一個(gè)(n，q)-Koszul代數(shù)，則

(1)對(duì)于非投射單模S(i)，有如下結(jié)論：

ldimΩtS(i)=LtldimS(i)；0≤t≤q

263 多配體聚糖結(jié)合蛋白 1 過表達(dá)增加低密度丙型肝炎病毒顆粒的產(chǎn)生 鄧力賓，郭巾旭，馬鵬娟，王 剛，龍 鋼

ldimΩq+1S(i)=Tn-1LldimΩqS(i)=

Tn-1Lq+1ldimS(i)

ldimΩ(q+1)mS(i)=(Tn-1Lq+1)mldimS(i)；m≥0

ldimΩ(q+1)m+tS(i)=Lt(Tn-1Lq+1)mldimS(i)；

0≤t≤q，m>0

更進(jìn)一步，若Λ是自入射代數(shù)，則上述向量均為正向量．

(2)存在i∈{1，2，…，r}使得對(duì)任意的0≤t≤q，LtldimS(i)?0，Tn-1Lq+1ldimS(i)?0．而若Λ是自入射代數(shù)，則對(duì)任意的i∈{1，2，…，r}，0≤t≤q+1，m>0，都有

Lt(Tn-1Lq+1)mldimS(i)?0

(3)對(duì)0≤t≤q，有

Pt(i)?(P1…Pr0…0)LtldimS(i)[t]，

Pq+1(i)?(P1…Pr0…0)Tn-1Lq+1×ldimS(i)[n+q]

其中，對(duì)于非負(fù)整數(shù)m，mPj表示m個(gè)Pj的直和．

證明(1)第一個(gè)結(jié)論直接由定理1可得．對(duì)于第二個(gè)結(jié)論

而

故

ldimΩq+1S(i)=

Tn-1LldimΩqS(i)

重復(fù)上面的過程，可以得到后兩個(gè)結(jié)論．

(2)由(n，q)-Koszul代數(shù)的定義和上面的討論直接可得．

(3)由(1)的前兩個(gè)結(jié)論及Loewy維數(shù)向量的定義直接可得．值得注意的是，如果Λ是自入射代數(shù)，則唯一的有限投射維數(shù)模為投射模，因此(1)、(2)中所述向量均為正向量．

□

定理2設(shè)Λ=Λ0+Λ1+…+Λn(Λn≠0)是一個(gè)有限維正分次代數(shù)，L=LΛ為其Loewy矩陣，則Λ是一個(gè)(n，q)-Koszul代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：

(1)對(duì)任意的0≤t≤q和1≤i≤r，都有Pt(i)?(P1…Pr0 … 0)LtldimS(i)[t]；

(2)TTLq+1ldimS(i)=0，1≤i≤r．

證明 必要性(1)由定理1和S(i)為q-線性模直接可得．由于Λ是(n，q)-Koszul代數(shù)，則對(duì)任意的1≤i≤r有短正合列

0→Λn?Pq(i)q→Pq(i)→ΩqS(i)→0

并且有同構(gòu)

Λn?Pq(i)q?JnPq(i)?Pq(i)q+n

注意到，ldimPq(i)、ldimΩqS(i)分別為(n+1)r、nr維列向量，從而

從另外一個(gè)方面，

則

則

充分性由(1)可知，當(dāng)t=0，1時(shí)，P0(i)是由0次生成且有

P1(i)=(P1…Pr0 … 0)LldimS(i)[1]

可知，ΩM由1次生成并且ldimΩS(i)=LldimS(i)．歸納地可以證明Pt(i)是t次生成的，0≤t≤q．而由引理1可知JnΩqM=0，因此

JnPq(i)/Jn+1Pq(i)=JnPq(i)=

Λn?Pq(i)q∈Ωq+1S(i)

□

例1設(shè)Λ為由如下箭圖給出的界定路代數(shù)，關(guān)系為〈αγβα，βαγβ，γβαγ〉，單模的分次投射分解為

0→S(2)[4]→P(2)[1]→P(1)→S(1)→0

0→S(3)[4]→P(3)[1]→P(2)→S(2)→0

0→S(1)[4]→P(1)[1]→P(3)→S(3)→0

LΛldimS(1)=(0 1 0 0 0 1 1 0 0)T

LΛldimS(2)=(0 0 1 1 0 0 0 1 0)T

LΛldimS(3)=(1 0 0 0 1 0 0 0 1)T

而

P2(1)=P(2)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(0 1 0 0 0 1 1 0 0)T[1]

P2(2)=P(3)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(0 0 1 1 0 0 0 1 0)T[1]

P2(3)=P(1)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(1 0 0 0 1 0 0 0 1)T[1]

4 結(jié) 語

幾乎Koszul代數(shù)和d-線性模的判別與計(jì)算是一個(gè)比較復(fù)雜的工作，本文給出的Loewy矩陣和增廣Loewy矩陣能有效地計(jì)算幾乎Koszul代數(shù)．幾乎Koszul代數(shù)在代數(shù)的周期性和分次自入射代數(shù)的分類工作中都起到了重要的作用，期望在后續(xù)的工作中，能結(jié)合Loewy矩陣和相關(guān)代數(shù)類計(jì)算軟件GAP給出一些周期代數(shù)的刻畫．