探尋數(shù)學(xué)文化試題的命題角度

蘇祥永 陳國林

(1.河南省鄭州市第十九高級(jí)中學(xué) 450000；2.江西省南昌市東華理工大學(xué) 330013)

數(shù)學(xué)文化的融入給高考試題的命題增加了新鮮的血夜，五育與數(shù)學(xué)的融合，能夠更好的促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，縱觀2020年高考真題，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查比例依舊很高.下面我們選取個(gè)別真題和模擬試題一起分析文化試題的命題角度.

一、命題角度分析

角度1：“美”學(xué)中的數(shù)學(xué)

胡夫金子塔是古埃及最大的一座金子塔，它是由一個(gè)個(gè)大石塊堆砌而成，據(jù)說供動(dòng)用了10萬工匠，用時(shí)20年，建成后塔高146.59米，在埃菲爾鐵塔修建前，胡夫金字塔的高度是一直保持著建筑物中的第一名.

例1(2020全國Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

圖1

評(píng)注以“美”為命題的文化試題，是高考試題中的?？?，除以建筑為背景的數(shù)學(xué)試題外，還有黃金分割身材的“斷臂維納斯”，美輪美奐的天壇，琴音中的音樂，美麗的風(fēng)雨橋等等，

角度2：“運(yùn)動(dòng)”中的數(shù)學(xué)

體育運(yùn)動(dòng)，可以增強(qiáng)體魄，只有有一個(gè)強(qiáng)健的體魄，才能更好的學(xué)習(xí)和工作，隨著體質(zhì)的增強(qiáng)，我們的生活方式和生活質(zhì)量也會(huì)不斷提升.體育事業(yè)的不斷發(fā)展，已經(jīng)成為一個(gè)國家發(fā)展進(jìn)步的重要衡量標(biāo)準(zhǔn).

評(píng)注有關(guān)體育相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，多于賽制有關(guān)，因此要掌握求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法：

①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.運(yùn)用公式P(AB)=P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立的條件,只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí),公式才成立.

②正面計(jì)算較繁瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.

角度3：“著作”中的數(shù)學(xué)

中華文化源遠(yuǎn)流長，數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)真理的探索是不斷前行的，我們的祖先曾創(chuàng)造了無數(shù)的輝煌，對(duì)人類的進(jìn)步做出了偉大的貢獻(xiàn)，因此對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)是非常有必要的.

例3 (2020貴陽適應(yīng)性考試)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個(gè)問題中，丙所得為( ).

解析因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，則a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5，解得a=1，即丙所得為1錢，故選D.

評(píng)注我國古代的數(shù)學(xué)著作記錄了大量的數(shù)學(xué)問題，其中最具代表性的就是《九章算術(shù)》，因此我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多文化試題都摘錄此書，除此之外，其實(shí)還有大量的數(shù)學(xué)著作，這些都可能成為高考數(shù)學(xué)文化試題的命題選擇.

角度4：“模型”中的數(shù)學(xué)

隨著近年來對(duì)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用的呼聲越來越高，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用試題已經(jīng)成為高考試題中不可或缺的一類考題.此類試題的命制注重實(shí)際背景，整體呈現(xiàn)結(jié)合應(yīng)用，注重建模的特點(diǎn).

例4 (2020安徽淮北二模)1943年，我國病毒學(xué)家黃禎祥在美國發(fā)表了對(duì)病毒學(xué)研究有重大影響的論文“西方馬腦炎病毒在組織培養(yǎng)上滴定和中和作用的進(jìn)一步研究”，這一研究成果，使病毒在試管內(nèi)繁殖成為現(xiàn)實(shí)，從此擺脫了人工繁殖病毒靠動(dòng)物、雞胚培養(yǎng)的原始落后的方法.若試管內(nèi)某種病毒細(xì)胞的總數(shù)y和天數(shù)t的函數(shù)關(guān)系為：y=2t-1，且該種病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)超過108時(shí)會(huì)發(fā)生變異，則該種病毒細(xì)胞實(shí)驗(yàn)最多進(jìn)行的天數(shù)為( )天(lg2≈0.3010.)

A.25 B.26 C.27 D.28

評(píng)注利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的，因此在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要注重模型思想的構(gòu)建，掌握好數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而求解.

二、數(shù)學(xué)文化的命題趨勢(shì)

隨著五育并舉的提出，數(shù)學(xué)文化試題在高考中的滲透被更加的重視起來，這類試題已經(jīng)成為考試中不可缺少的數(shù)學(xué)試題.從近年來的數(shù)學(xué)試題命制角度和命題方向也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化還是有一定的變化的，在2015年湖北卷中以《九章算術(shù)》中陽馬和鱉臑為背景，考查了線面垂直的證明和體積的計(jì)算后，此類試題就很快得到了命題人的青睞.

2016年在全國Ⅱ卷中以中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法為背景考查了流程圖，2017年全國Ⅱ卷以《算法統(tǒng)宗》中的燈塔問題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，2018年全國Ⅱ卷以我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中取得的成果為背景考查了古典概型；但在2017年全國Ⅰ卷中并沒有按照以往的以古代著作為背景進(jìn)行命題，而是以中國古代的太極圖為背景考查了幾何概率，這類考題出現(xiàn)，隨后就出現(xiàn)了大量的以圖形為背景的數(shù)學(xué)文化試題，2018年全國Ⅰ卷以希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形為背景考查了幾何概率，2018年全國Ⅲ卷以中國古建筑借助榫卯為背景考查了三視圖，此后以建筑，雕塑為背景的考題又接踵而至，2019年全國Ⅰ卷以“斷臂維納斯”為背景考查了黃金分割比，2019年全國Ⅱ卷以中國悠久的金石文化——印信為背景考查球內(nèi)接多面體，2020年全國Ⅱ卷以天壇為背景考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，2020年全國Ⅰ卷以埃及金字塔為背景考查了棱錐的幾何性質(zhì)；除此之外，數(shù)學(xué)文化試題還有很多，例如：2019年全國Ⅱ卷以嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸為背景考查函數(shù)的性質(zhì)，2019年全國Ⅲ卷以四大名著為背景考查了估計(jì)值的求法，2020年全國Ⅱ卷以鋼琴為背景，通過音律美考查了數(shù)列的應(yīng)用，2020年全國Ⅲ卷以logistic模型為背景考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，這類試題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美和數(shù)學(xué)之用，因此預(yù)計(jì)2021年的高考數(shù)學(xué)文化試題將以實(shí)際應(yīng)用為背景，以數(shù)學(xué)模型為命題方向進(jìn)行展開命題，除此之外，2021年的數(shù)學(xué)文化試題以建筑為背景進(jìn)行命題的可能性依然很大.

三、跟蹤演練

1.在古代增刪算法統(tǒng)宗中曾有記載“公候伯子男，五四三二一，假有金五秤，依率要分訖.”意思為：“今有公、候、伯、子、男五等官員，欲按官位高低進(jìn)行分75斤金，依比率為5:4:3:2:1分完.”請(qǐng)你幫計(jì)算一下，如果為“公”官員，可分( )斤.

A.25 B.20 C.15 D.10

2.(2020陜西榆林模擬)陀螺是漢族民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫做“冰尜”或“打老?！?，陀螺的主體形狀一般是由上面部分的圓柱和下面部分的圓錐組成，從前的制作材料多為木頭，現(xiàn)代多為塑料或鐵制，玩耍時(shí)可用繩子纏繞用力抽繩，使其直立旋轉(zhuǎn)；或利用發(fā)條的彈力使其旋轉(zhuǎn)，如圖畫出的是某陀螺模型的三視圖，已知網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，則該陀螺模型的體積為( ).

圖2

3.(2020河南開封一模)中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》；現(xiàn)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)各選一本書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則5名同學(xué)所有可能的選擇有( ).

A.18種 B.24種 C.36種 D.54種

解析由已知代數(shù)式的求值方法：

5.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù).

圖3

則f(4)=____，f(n)=____.

解析因?yàn)閒(1)=1，f(2)=7=1+6，f(3)=19=1+6+12，所以f(4)=1+6+12+18=37，所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.