解析圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的幾種策略

李 蕊

(甘肅省青海油田第一中學(xué) 736202)

一、策略分析

基于圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的特點(diǎn)以及高中學(xué)生現(xiàn)有的圖形思維能力的分析，本文主要分析了以下幾種解題策略：

策略1方程聯(lián)消法，即聯(lián)立兩方程并加以相消的方法.首先將圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立，再借助一元二次方程的相關(guān)特性，將二者相消的方法.

策略2兩點(diǎn)作差法，即設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)為圓錐曲線與直線的交點(diǎn)，再將此二點(diǎn)代入圓錐曲線的方程式，加以作差，便可得出關(guān)于弦AB斜率及中點(diǎn)的方程式，用此種方法解題有助于提高解題效率.

二、應(yīng)用舉例

類型1 弦中心為固定一點(diǎn)時(shí)，求弦的直線方程.

解析令橢圓與直線交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2).

所以直線方程為x+2y-4=0.

類型2已知弦所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，以及平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，解中點(diǎn)的軌跡方程

由題可見(jiàn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)涉及在內(nèi)，而弦AB的斜率與MP的斜率相同，所以此題宜用兩點(diǎn)作差解題策略.

解析令A(yù)(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x,y),得

所以3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.

所以3x(x-1)+4y(y-1)=0.

又因?yàn)闄E圓與直線l一定交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P又位于橢圓中，所以3x(x-1)+4y(y-1)=0即為點(diǎn)M的軌跡方程.

類型3 圓錐曲線上存在兩點(diǎn)，并和其它直線對(duì)稱的相關(guān)問(wèn)題.

所以3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.

所以弦P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程即為y=3x,它滿足于直線y=4x+m必然相交于橢圓內(nèi)這一條件.

無(wú)一例外的是，在上述三種情況下，入住公辦的養(yǎng)護(hù)院是照料者的一致首選。尤其是對(duì)于照料者去世后的情形，高達(dá)四成多的照料者選擇入住公辦的養(yǎng)護(hù)院。在最理想的情境下，入住公辦的養(yǎng)護(hù)院也依然最受照料者的青睞。值得一提的是，在第三種情況下，照料者表露出對(duì)心智障礙成員社會(huì)融入的渴求——近三分之一的照料者希望這些成員能主要依靠助殘日托照料(綜合照料體系)來(lái)實(shí)現(xiàn)未來(lái)安置，而不是進(jìn)入公辦的養(yǎng)護(hù)院簡(jiǎn)單了事。在三種情形中，心智障礙成員由親朋負(fù)責(zé)照料是入住公辦的養(yǎng)護(hù)院與還沒(méi)有計(jì)劃后的主要選擇。

類型4 圓錐曲線中的相關(guān)定值問(wèn)題.

證明令A(yù)(x1y1),B(x2y2),且x1≠x2，得

類型5參數(shù)值的范圍問(wèn)題.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M(x1y1),N(x2y2)，H(x0，y0),直線l斜率為k(k≠0).

在有關(guān)圓錐曲線的點(diǎn)弦問(wèn)題的教學(xué)中，除了上述幾種解題策略外，還有許多可用的技巧.高中數(shù)學(xué)老師在加以運(yùn)用的過(guò)程中要善于對(duì)其巧妙加工、綜合運(yùn)用，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題的掌握程度.