行進(jìn)中發(fā)現(xiàn) 反思中優(yōu)化
——以四道解三角形試題為例

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學(xué) 230000)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，解題只是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效手段而不是最終目的.解題需要且行且思，但離不開(kāi)必要的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、解題經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)解題可以促進(jìn)學(xué)生的觀察能力、分析能力、表達(dá)能力的全面提高.解題的切入角度反映出學(xué)生思維的敏感性，預(yù)設(shè)方向取決于學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，遇到困難時(shí)的思維轉(zhuǎn)換體現(xiàn)出學(xué)生思維的深度，方法的選擇與優(yōu)化反映出學(xué)生思維的廣度、深度與高度.解題的效率是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的體現(xiàn).下面以四道解三角形試題為例，談?wù)劷忸}過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)，以期能對(duì)大家有所幫助.

一、分類(lèi)與整合中優(yōu)化

這四個(gè)結(jié)論中一定成立的個(gè)數(shù)是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

結(jié)合題意可知，②③④一定成立，答案為C.

二、不同視角中優(yōu)化

點(diǎn)評(píng)本題為2018年高考數(shù)學(xué)北京卷文科第14題，從以上解題過(guò)程可以看出，∠B的確定不受條件“∠C為鈍角”的約束.解法1以問(wèn)題為引領(lǐng)構(gòu)建目標(biāo)關(guān)于自變量∠C(題設(shè)隱性給出了∠C的范圍)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題；解法2采用迂回戰(zhàn)術(shù)構(gòu)建目標(biāo)關(guān)于自變量∠A(可間接求出∠A的范圍)的函數(shù)，使分式函數(shù)的分母更簡(jiǎn)潔；解法3(類(lèi)比：在△ABC中，已知邊b，c和角∠B，判定三角形的解的個(gè)數(shù))以靜制動(dòng)、數(shù)形結(jié)合，讓結(jié)論更加清楚直觀.

三、從邏輯關(guān)系中優(yōu)化

例3 在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若a+c=4，2sinB=sinA+sinC，則△ABC的面積的最大值為( ).

解法1 由2sinB=sinA+sinC，根據(jù)正弦定理，可得2b=a+c，所以b=2.

點(diǎn)評(píng)解法1先利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)確定角B的取值范圍，再構(gòu)建S△ABC關(guān)于角B的函數(shù)(求解取值范圍的通性通法)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題；解法2基于最值的概念與問(wèn)題的特殊性(正數(shù)構(gòu)成的積函數(shù)，當(dāng)各部分均取最大(小)值時(shí)，函數(shù)取得最大(小)值，反之未必成立).本題將ac與sinB作為S△ABC的兩個(gè)部分，它們同時(shí)取最大值的條件成立.

四、從問(wèn)題結(jié)構(gòu)中優(yōu)化

A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④

解析由題意，得2b2=a2+c2.

以上每道試題均涉及到問(wèn)題的多個(gè)方面，例題只提到反思優(yōu)化的幾個(gè)方面，權(quán)當(dāng)拋磚引玉，敬請(qǐng)批評(píng)指正.