火眼金睛辨真?zhèn)巍蔼?dú)立”
——由一道試題引發(fā)的“事件獨(dú)立性”的思考

金一鳴 常梨君

(江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) 213001)

概率與統(tǒng)計(jì)是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)中，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一，它貫穿于必修、選擇性必修和選修課程.事件的獨(dú)立性是概率中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它承前啟后，對(duì)掌握概率求解問題有著舉足輕重的地位.下面以一道有關(guān)“事件獨(dú)立性”的期中試題為例，通過多角度分析，談?wù)勅绾握J(rèn)清事件的獨(dú)立性.

一、提出問題

例1甲乙丙三名選手參加短跑、跳遠(yuǎn)兩項(xiàng)比賽.每項(xiàng)比賽以后，隨機(jī)抽取一名選手進(jìn)行興奮劑檢測(cè).若每次檢測(cè)每位選手被抽到的概率相同，且每位選手最多被抽檢一次(第一次被抽檢的選手第二次免檢)，則甲被抽檢的概率是( ).

上題是本校高二數(shù)學(xué)期中測(cè)試中的一道選擇題，考試結(jié)束后，兩名學(xué)生對(duì)上題爭(zhēng)論不休.

兩種解法看著都對(duì)，究竟哪一種解法才是正確的呢？

二、分析研究

學(xué)生甲是利用古典概型求解.古典概型也稱傳統(tǒng)概率，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)提出的.在這個(gè)模型下，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)果是有限的，并且每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的.古典概型是概率論中最直觀和最簡(jiǎn)單的模型，概率的許多運(yùn)算規(guī)則，也首先是在這種模型下得到的.利用古典概型求解概率問題，首先要判斷該試驗(yàn)是否滿足古典概型.對(duì)照古典概型的定義，顯然甲的解法是正確的.

學(xué)生乙是用事件的關(guān)系求解.高中階段事件的關(guān)系主要有兩類：互斥和獨(dú)立.相應(yīng)地有兩個(gè)概率公式：(1)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，特殊地，若事件A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)(*)；(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)，特殊地，若事件A,B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)·P(B)(#).如果厘清事件的關(guān)系，就可以把復(fù)雜事件拆分成簡(jiǎn)單事件，從而利用概率加法和乘法公式求概率.

細(xì)看乙的解法：第一步，事件“甲被抽檢”拆分成“甲第一次被抽檢”和“甲第一次未被抽檢且第二次被抽檢”這兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件是互斥的.

乙解法的錯(cuò)誤表明，事件獨(dú)立性的判定不能僅僅憑直覺，而應(yīng)該用公式進(jìn)行嚴(yán)格證明.

老蘇教版選修2—3在條件概率的基礎(chǔ)上對(duì)獨(dú)立性下定義：“一般地，若事件A,B滿足P(A|B)=P(A),則稱事件A,B獨(dú)立”，同時(shí)得到兩個(gè)事件A,B獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).新蘇教版第二冊(cè)中，獨(dú)立性的定義為“一般地，如果事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，那么A,B為相互獨(dú)立事件”，同時(shí)給出兩個(gè)事件A,B獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).

三、尋找對(duì)策

如何判斷事件的獨(dú)立性是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生解題中的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).筆者認(rèn)為教學(xué)中應(yīng)從以下幾個(gè)方面幫助學(xué)生提高“獨(dú)立性”的判斷能力.

1.利用數(shù)學(xué)情境加深獨(dú)立性概念的理解

在講解事件獨(dú)立性的定義時(shí)，可以利用復(fù)雜情境，讓獨(dú)立性的判斷不能僅僅停留在直覺判斷上，必須要落到公式驗(yàn)證上.

例2一個(gè)家庭中有若干小孩，假定生男生女是等可能的，設(shè)A表示事件“一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩”，B表示事件“一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩”，對(duì)下列兩種情形，討論A，B的獨(dú)立性：(1)家庭中有2個(gè)小孩；(2)家庭中有3個(gè)小孩.

先讓學(xué)生作一下直覺的判斷，然后再進(jìn)行下面的計(jì)算.

解析(1)有兩個(gè)小孩的家庭，樣本空間Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}，它有4個(gè)等可能基本事件，這時(shí)A={(男,女)，(女,男)}，B={(男,男)，(男,女)，(女,男)}，

因?yàn)镻(AB)≠P(A)·P(B)，事件A，B不相互獨(dú)立.

通過這個(gè)例子，使學(xué)生從中體會(huì)到對(duì)于獨(dú)立性的判斷不能停留在“直覺”上，有必要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象作理性的研究.

2.利用“二項(xiàng)分布”加強(qiáng)獨(dú)立性判斷的運(yùn)用

例3為了豐富學(xué)生的課余生活，促進(jìn)校園文化建設(shè)，某校高二年級(jí)通過預(yù)賽選出了6個(gè)班(含甲、乙)進(jìn)行經(jīng)典美文誦讀比賽決賽，決賽通過隨機(jī)抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序，求決賽中甲、乙兩班之間的班級(jí)數(shù)X的均值.

表1

3.利用“獨(dú)立性檢驗(yàn)”升華獨(dú)立性判斷

在現(xiàn)實(shí)生活中，很多事件的概率無(wú)法準(zhǔn)確給出，甚至?xí)S著具體條件的不同而發(fā)生變化，比如，吸煙與患肺癌是否有關(guān)，嬰兒的性別與出生時(shí)間是否有關(guān)，花的顏色與花粉形狀是否有關(guān)等問題，這時(shí)需要用到獨(dú)立性檢驗(yàn).其基本思想類似于反證法.要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量X,Y有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度：其步驟如下：

(1)提出零假設(shè)H0：“兩個(gè)分類變量X,Y沒有關(guān)系”；

(2)在該假設(shè)下構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量χ2；

(3)利用統(tǒng)計(jì)量χ2取值大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立.

判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)即基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X,Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)的概率不超過α；當(dāng)χ2

第一類：兩個(gè)事件獨(dú)立的判定.

例4調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表.試問能以多大把握認(rèn)為嬰兒的性別與出生時(shí)間有關(guān)系.

表2

分析利用表中的數(shù)據(jù)通過公式計(jì)算出χ2統(tǒng)計(jì)量,可以用它的取值大小來推斷獨(dú)立性是否成立.

解析零假設(shè)H0:嬰兒的性別與出生時(shí)間無(wú)關(guān).

故嬰兒的性別與出生時(shí)間是相互獨(dú)立的(也可以說沒有充分證據(jù)顯示嬰兒的性別與出生時(shí)間有關(guān)).

第二類：兩個(gè)事件不獨(dú)立的判定.

例5在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?

分析列出2×2列聯(lián)表,利用公式求出χ2與兩個(gè)臨界值3.841與6.635比較大小得適當(dāng)范圍.

解析根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到表3：

表3

零假設(shè)H0:禿頂與患心臟病無(wú)關(guān).

所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)來自住院的病人,因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體.

四、反思啟示

英國(guó)著名教育家貝恩布里奇說：“差錯(cuò)人皆有之，不利用是不能原諒的.”所以我們要充分利用好學(xué)生的“錯(cuò)誤”資源，從課堂、作業(yè)、草稿紙等對(duì)學(xué)生“錯(cuò)誤”資源進(jìn)行深挖，把學(xué)生的錯(cuò)誤作為其進(jìn)步的起點(diǎn)和最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生的錯(cuò)誤作為教學(xué)重難點(diǎn)的突破口，課堂上，讓學(xué)生互動(dòng)，找錯(cuò)誤原因，作為老師適時(shí)點(diǎn)撥，提綱挈領(lǐng)，串珠成線，從而讓學(xué)生“誤”中有“悟”，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).