減小解析幾何運(yùn)算量的一個(gè)重要策略
——恰當(dāng)選擇直線方程

李昌成 向 前

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2.新疆烏魯木齊市第64中學(xué) 830063)

高考試題中很多解析幾何綜合題目都是在直線與圓錐曲線相交的條件下命制出來的，這些題目經(jīng)常作為小題的把關(guān)題，大題的壓軸題，考查學(xué)生的綜合能力.學(xué)生普遍對(duì)此有幾分畏懼.究其原因，在解題入口處就埋下了隱患——直線方程形式選擇不一定恰當(dāng)，導(dǎo)致后續(xù)解答形式復(fù)雜，過程冗長(zhǎng)，函數(shù)關(guān)系不明晰，最終問題擱淺.高中階段課本共介紹了6種形式的直線方程，在解答圓錐曲線問題時(shí)，學(xué)生習(xí)慣使用斜截式y(tǒng)=kx+b和點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1).實(shí)際上，這是不合適的，應(yīng)該根據(jù)已知條件和所求問題選用不同的形式，達(dá)到優(yōu)化過程，減少運(yùn)算，提高準(zhǔn)確率的目的.下面以高考題為例，說明如何選擇直線方程，形成最佳解法，以饗讀者.

一、 典型案例

例1(2017年全國高考數(shù)學(xué)理科Ⅰ卷第10題) 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

評(píng)注本解法是學(xué)生最容易想到的，但實(shí)際上是最麻煩的.首先，要考慮直線斜率的存在性，若遺忘可能造成最值不存在(很多題的最值就出現(xiàn)在斜率不存在的特殊情形處).其次，這種直線方程對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)公式最復(fù)雜，給后續(xù)運(yùn)算帶來隱患，增加了答案的不確定性.再次，函數(shù)模型比較繁雜，往往需要多次構(gòu)造，等價(jià)轉(zhuǎn)化為利用均值不等式或?qū)春瘮?shù)求最值問題，學(xué)生一般掌握得不太好，堵住了出口，致使整個(gè)解答擱淺，前功盡棄！

評(píng)注直線的這種表示方式教材上并沒有給出，而是一線老師在教學(xué)實(shí)踐中實(shí)踐總結(jié)出來的.通過本例我們可以感受到用它解題相對(duì)于解法1要簡(jiǎn)單一些，無論是求弦長(zhǎng)，還是構(gòu)造函數(shù)，還是求函數(shù)的最值，它都顯得簡(jiǎn)潔明了.

由已知得，直線AB與直線DE垂直，則直線DE的傾斜角為90°+θ，則

(1)求橢圓C的方程；

分析2 本題的實(shí)質(zhì)是已知ΔMON面積的情況下，求直線方程.注意到線段OE是定值，我們可以將ΔMON分成ΔMOE和ΔNOE，兩個(gè)三角形的面積分別可以被點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)表示，因此可以設(shè)m:x=ty-2，避開討論作答.

評(píng)注對(duì)比以上兩種解法可以看出，解法1從點(diǎn)斜式直線入手，分類討論，思路簡(jiǎn)單，過程冗長(zhǎng)，計(jì)算繁雜；解法2從x=ty+a的直線形式入手，有效避開討論，充分利用常數(shù)，運(yùn)算簡(jiǎn)捷，答案形式也爽心悅目，解法不失一般性，明顯優(yōu)于解法1.

二、探究規(guī)律

在解直線和圓錐曲線的綜合題時(shí)，我們一定會(huì)面臨直線形式選擇問題.哪一種最好，要因題而異，不可一概而論.一般地，當(dāng)已知直線的斜率時(shí)，首選斜截式或參數(shù)方程；當(dāng)已知直線過定點(diǎn)時(shí)，有三種情形：定點(diǎn)為(0,b)(b為直線的縱截距)首選斜截式；定點(diǎn)為(a,0)(a為直線的橫截距)首選x=ty+a或參數(shù)方程；定點(diǎn)為(m,n)首選點(diǎn)斜式或參數(shù)方程；曲線類型也對(duì)直線選擇影響較大；問題等價(jià)轉(zhuǎn)化形式對(duì)直線選擇影響更大.因此，直線方程形式的選擇實(shí)際上是一個(gè)瞻前顧后的工作，是一個(gè)統(tǒng)領(lǐng)的工作，我們要在實(shí)踐中積累經(jīng)驗(yàn)，作為一種技能來掌握它，提高應(yīng)對(duì)解析幾何的綜合能力.

三、 應(yīng)用實(shí)踐

提示本題的關(guān)鍵是求弦長(zhǎng)，而兩弦共已知點(diǎn)且垂直，于是兩直線的傾斜角相差90°，因此最好選擇直線參數(shù)方程解題，將問題歸結(jié)為求三角函數(shù)的最值.

(1)求M的方程；

(2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

提示對(duì)于(2)，直線AB的斜率為-1，因?yàn)镃D⊥AB，所以直線CD的斜率也就是1，所以直線CD用斜截式y(tǒng)=x+t表示，易于用t表示|CD|.四邊形ACBD面積由|AB|，|CD|決定，|AB|是常數(shù)，所以四邊形ACBD面積S就被表示成關(guān)于t的函數(shù)，易求得其最大值.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓C右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△F1AB的內(nèi)切圓的半徑的最大值．

提示對(duì)于(2)，設(shè)A(x1，y2)，B(x2，y2)，設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的半徑為R，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得，△F1AB的周長(zhǎng)和R可以表示其面積.另外，注意到|F1F2|是定值，所以△F1AB面積又可以用|y1-y2|表達(dá)，所以設(shè)直線l的方程為x=ty+c(由第一問知c=1)，通過等面積法建立R與t的函數(shù)關(guān)系，求得內(nèi)切圓半徑的最大值．

通過前瞻性的選擇直線方程能夠從宏觀上把控解析幾何的解題思路.加強(qiáng)思考總結(jié)，有助于準(zhǔn)確把握問題的內(nèi)涵，找到突破途徑，克服畏懼心理，全面提高學(xué)生的解題能力.