解析幾何最值問(wèn)題求解的基本思路探究

李莉莉

(四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610000)

一、聯(lián)系平面幾何知識(shí)求解解析幾何的最值問(wèn)題

有一類(lèi)解析幾何問(wèn)題會(huì)與平面幾何的知識(shí)建立密切的聯(lián)系，同學(xué)們需要借助題目中的已知條件建立坐標(biāo)系，并尋找目標(biāo)函數(shù)，然后將平面圖形的解析式與解析幾何的解析式放在坐標(biāo)系中，尋找兩個(gè)圖象之間的關(guān)系，再利用求解函數(shù)最值問(wèn)題的方式尋找問(wèn)題的答案.

分析題目中給出了橢圓曲線(xiàn)的方程，同學(xué)們需要先找到橢圓的焦點(diǎn)，然后判斷橢圓與直線(xiàn)方程的位置關(guān)系，之后可將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可將題目中的“橢圓D的長(zhǎng)軸最短”這個(gè)已知條件通過(guò)分析轉(zhuǎn)化為求解在直線(xiàn)l上求點(diǎn)P并使得|PF1|+|PF2|最小，從而求解題目要求.

解由題目已知條件可知橢圓D的焦點(diǎn)為F1(-3,0)、F2(3,0).設(shè)存在點(diǎn)F1(x,y)是點(diǎn)F1(-3,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可以解得F1坐標(biāo)為(-9,6).

在坐標(biāo)系上連接F1F2，則直線(xiàn)F1F2與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為P，如圖所示.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓D上，將P點(diǎn)坐標(biāo)帶入可得λ=33

二、結(jié)合圓錐曲線(xiàn)定義及相關(guān)性質(zhì)求解解析幾何的最值問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的解析幾何問(wèn)題有橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等等，相關(guān)的性質(zhì)、定義在課堂上都有幫助同學(xué)們進(jìn)行總結(jié)，在日常練習(xí)的時(shí)候需要同學(xué)們準(zhǔn)確地把握相關(guān)的知識(shí)，靈活的運(yùn)用解決解析幾何的最值問(wèn)題.而在運(yùn)用定義和性質(zhì)解決相關(guān)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)在圖線(xiàn)中出現(xiàn)三角形，同學(xué)們要切記可以使用三角形的相關(guān)性質(zhì)解答，該性質(zhì)為：“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.”例如下面這道題.

例2假設(shè)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)固定不變?yōu)?，假設(shè)線(xiàn)段AB的兩端都在拋物線(xiàn)y2=x上移動(dòng)，如果線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，試著求解點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并且求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)具體為多少.

分析：題目中給出的拋物線(xiàn)方程式的圖象為開(kāi)口向右的在第一象限和第四象限的圖象，而且題目中的已知條件可得AB在拋物線(xiàn)上移動(dòng)但AB連接的線(xiàn)段的長(zhǎng)是固定不變的.同學(xué)們首先需要求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，然后將圖象上的A、B、F三點(diǎn)連接成一個(gè)三角形，試著將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而確定線(xiàn)段AB的位置.

解根據(jù)題目條件可設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，分別作AC、BD、MK垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)l在點(diǎn)C、D、K上，如圖所示：

則根據(jù)題目條件可知

即當(dāng)線(xiàn)段AB是過(guò)F點(diǎn)的弦時(shí)，

|AF|+|BF|=|AB|

則此時(shí)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離最短.

三、建立目標(biāo)函數(shù)求解函數(shù)的最值

求解圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題可以將題目轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題，因?yàn)閳A錐曲線(xiàn)方程本質(zhì)上來(lái)講也是一種函數(shù)的存在形式，所以同學(xué)們可以建立相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題目的要求對(duì)題目問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，提高解題的準(zhǔn)確性.

分析這道題目中，同學(xué)們首先應(yīng)該根據(jù)題目中給出的相關(guān)條件設(shè)出題目中方程的形式，分別將拋物線(xiàn)的方程和頂點(diǎn)用未知數(shù)的方式設(shè)出來(lái)，然后根據(jù)相關(guān)的點(diǎn)求解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而得出拋物線(xiàn)的方程和直線(xiàn)方程.

解根據(jù)題目可知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，且a<0，

因此拋物線(xiàn)的方程為y2=2(-2a)(x-a),即y2=-4a(x-a).

將直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C的方程聯(lián)立可得

x2+(2m+4a)x+m2-4a2=0

該方程判別式Δ=(2m+4a)2-4(m2-4a2)>0，解得：

由弦長(zhǎng)公式可得

故△AOB的面積為

當(dāng)且僅當(dāng)-4a-2m=m,即m=2時(shí)(適合m<-2a的要求)S△AOB的面積最大.

解析幾何中的最值問(wèn)題的常用方法還有很多，希望各位同學(xué)能在遇到相關(guān)題目時(shí)注意總結(jié)，注意建立目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地把握解析幾何的相關(guān)定義和性質(zhì)，從而利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解最值，提高學(xué)生的解題能力，讓同學(xué)們學(xué)過(guò)的知識(shí)都能達(dá)到融會(huì)貫通的程度.