甘志國
(北京豐臺二中 100071)
題目(1948年莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題)解不定方程.
xy=yx(x,y∈N*,x≠y)
①
文獻(xiàn)[1]證得了該題的答案是
(x,y)=(2,4),(4,2).
下面談?wù)勁c不定方程①類似的四個不定方程
xy=pyx(x,y∈N*,p是質(zhì)數(shù))
②
xy=ypx(x,y∈N,x≥2,y≥2,p是已知的質(zhì)數(shù))
③
xy=ypx(x,y∈Q+,p是已知的質(zhì)數(shù))
④
uu=vpy(u,v∈Q+,p是已知的質(zhì)數(shù))
⑤
的解法,其中重點是③的解法.
定理1 方程②的解是(x,y)=(p,1).
證明若y=1,則x=p.
由xy=pyx,可得p|xy,p|x.若y≥2,再由xy=pyx,可得p|y.因而可設(shè)x=pαa,y=pβb(α,β,a,b∈N*,p不整除a也不整除b),得
(pαa)pβb=p(pβb)pαa
由該等式兩邊p的指數(shù)相等,可得αpβb=βpαa+1,p|1,這不可能!所以欲證結(jié)論成立.
引理若n∈N*,則2n≥n+1(當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號).
證明用數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)、二項式定理、或貝努利(Bernoulli)不等式均可獲證,具體過程略去.
定理2 方程③的解(x,y)滿足x|y(可設(shè)y=ax(a∈N*)),且
xa-p=ap(x,a-p∈N*,a≥2,x≥2,p是已知的質(zhì)數(shù))
⑥
證明設(shè)(x,y)=d(d∈N*),可再設(shè)x=bd,y=ad(a,b,d∈N*),(a,b)=1.再由xy=ypx,可得
bada=apbdpb
⑦
若a=pb,由⑦可得a=b,所以a=pb=b,p=1,與p是質(zhì)數(shù)矛盾!說明此時不成立.
若a
所以a>pb,由⑦可得bada-pb=apb.再由(a,b)=1,可得b=1,所以x=d,y=ad=ax(a∈N*),進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.
猜想1方程③解的組數(shù)有限.
定理3 在方程③中:
(1)若x是質(zhì)數(shù),則(p,x,y)=(2,2,16),(3,3,27);
(2)若x=q2(q是質(zhì)數(shù)),則(p,x,y)=(2,4,16),(2,9,27);
(3)若x=qi(q是質(zhì)數(shù),i=3或4),則方程③均無解;
(4)若x=q5(q是質(zhì)數(shù)),則(p,x,y)=(5,32,256);
(5)若x是兩個互異質(zhì)數(shù)之積,則p是奇質(zhì)數(shù)且(x,y)=(2p,4p2);
(6)若x=12或18,則方程③均無解.
證明(1)由定理2知,可設(shè)y=ax(a∈N*).
在方程⑥中可設(shè)a=xα(α∈N*),得方程⑥即xxα-p=xpα,xα-p=pα,所以p=x,pα-1=α+1(α≥2),進(jìn)而可得(p,α)=(2,3),(3,2),從而可得欲證結(jié)論成立.
(2)~(6)略.
注由定理3可知,當(dāng)x=2,3,4,…,23時,已求得方程③的解.
若α=2,可得(β,p)=(2,2)或(1,3),進(jìn)而可得(p,x,y)=(2,4,16)或(3,3,27).
⑧
因而β1=k=α=1,p1=2,得式⑧即(2pβ)2α1-1=2α1p(p是奇質(zhì)數(shù)),可得α1=β=1,再得a=x=2p,y=ax=4p2(p是奇質(zhì)數(shù)).
綜上所述,可得欲證結(jié)論成立.
定理5 (1)(p,x,y)=(2,9,27),(3,64,256)均是方程③的解;
(2)若p=q2-2(p,q均是質(zhì)數(shù)),則(x,y)=(qp,qp+2)是方程③的解;
(3)若p=2q-1(q∈N*)是質(zhì)數(shù)(可得q是質(zhì)數(shù)),則(x,y)=(2q(2q-1),2q·2q)是方程③的解;
(4)若p=2n-n(n∈N*)是質(zhì)數(shù),則(x,y)=(22n-n,22n)是方程③的解.
證明略.
猜想2(1)方程p=q2-2(p,q均是質(zhì)數(shù))的解的組數(shù)無限(可驗證它有解p=q2-2(p,q)=(7,3),(23,5),(47,7),(167,13),(359,19),(839,29));
(2)形如2q-1(q∈N*)的質(zhì)數(shù)(叫做梅森質(zhì)數(shù))個數(shù)無限(近年人們借助電腦尋找到的最大質(zhì)數(shù)都是梅森質(zhì)數(shù),且只發(fā)現(xiàn)了51個梅森質(zhì)數(shù).2018年12月,人們發(fā)現(xiàn)了迄今為止最大的質(zhì)數(shù)282589933-1);
(3)形如2n-n(n∈N*)的質(zhì)數(shù)個數(shù)無限(當(dāng)n=2,3,9時,2n-n均是質(zhì)數(shù)).
證明略.
注定理3,4,5均給出了方程④的部分解;再由定理6可給出方程⑤的部分解.