一道得分很低的高考概率題引發(fā)的思考

蔡海濤 盧 妮 卓曉萍

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

2020年的高考已落下帷幕，一道道賞心悅目的高考試題讓人回味無窮.其中，全國(guó)卷Ⅰ理科第19題得分率很低.據(jù)某省高考評(píng)卷點(diǎn)統(tǒng)計(jì)，該題得分為所有解答題中得分最低，比第21題的函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題還低.筆者訪談部分考生，這道題能夠完整作答的寥寥無幾，這一現(xiàn)象引發(fā)筆者的思考.

一、試題呈現(xiàn)

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

二、試題分析

本題以三人的羽毛球比賽為載體，考查概率中事件的概念、事件的獨(dú)立性和事件概率的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，考查分類與整合、統(tǒng)計(jì)與概率數(shù)學(xué)思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

第(1)問根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場(chǎng)”的概率，這一問比較簡(jiǎn)單，大部分考生都能輕松求解.低起點(diǎn)的第一步有利于穩(wěn)定考生的心態(tài)，更有信心去解決后續(xù)的問題；第(2)問計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；第(3)問列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對(duì)稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對(duì)立事件的概率可求得丙贏的概率.本題第(2)、(3)問易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)基本事件考慮問題不清、分類標(biāo)準(zhǔn)不明.解題關(guān)鍵在于先分析題意，理解比賽規(guī)則，合理確定分類討論標(biāo)準(zhǔn).

三、解法分析

(2)記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

P′=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)

(3)記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

記事件M:甲贏，記事件N:丙贏，則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，

所以，甲贏概率為

評(píng)注這個(gè)解答是官方提供的唯一解答，簡(jiǎn)捷明了，但由某省高考評(píng)卷點(diǎn)反饋，第(2)問、第(3)問能夠這樣解答的考生寥寥無幾.這種解答的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出符合條件的基本事件，這要求考生能合理抽象數(shù)學(xué)模型，合理利用文字語言與符號(hào)語言或圖形語言之間的轉(zhuǎn)化，分析基本事件的類型，做到不重不漏，考查考生分類與整合的數(shù)學(xué)思想.

解法二(1)同解法一.

(2)需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽，即勝者必然要輸一場(chǎng).

于是先考慮對(duì)立事件：最終勝者全勝分三類(注意到甲、乙具有對(duì)稱性)

最終甲勝按輸者排序：乙丙乙丙；最終乙勝按輸者排序：甲丙甲丙；

最終丙勝按輸者排序：甲乙甲乙；乙甲乙甲.

四場(chǎng)結(jié)束比賽的概率為：

故進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

(3)丙獲勝情況分為兩類:比賽場(chǎng)次4場(chǎng)或5場(chǎng).

情況二：比賽5場(chǎng)，則丙輸一場(chǎng)(注意到甲、乙具有對(duì)稱性，先考慮第一場(chǎng)甲贏)

第二場(chǎng)輸按輸者排序：

乙丙甲乙甲；乙丙乙甲甲；

第三場(chǎng)輸按輸者排序：

乙甲丙乙甲；乙甲丙甲乙；

第四場(chǎng)輸按輸者排序：

乙甲乙丙甲

評(píng)注解法二是利用列舉法列舉出符合條件的基本事件.求古典概型的概率很重要的一步是列舉基本事件，對(duì)于一些情況比較復(fù)雜、數(shù)據(jù)較大時(shí)，“列舉”稍有疏忽，就會(huì)出現(xiàn)遺漏.列舉法的關(guān)鍵在于如何確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，由此揭示基本事件的構(gòu)成規(guī)律，若能抓住這個(gè)規(guī)律列舉就不難了.如第(2)問、(3)問分別以“最終勝者全勝”、“丙獲勝情況”做為分類討論標(biāo)準(zhǔn).

解法三根據(jù)失敗者的特點(diǎn),可列出每場(chǎng)失敗者的情況如下表:

根據(jù)上表解答本題如下：

(2)只需進(jìn)行四場(chǎng)比賽的概率為:

所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

(3)比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為

評(píng)注解法三首先分析題意，理解比賽規(guī)則.由規(guī)則知至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽失敗者的情況有如下特點(diǎn)：首場(chǎng)比賽失敗者是甲或乙；前四場(chǎng)比賽不出現(xiàn)連續(xù)兩場(chǎng)比賽是同一個(gè)失敗者；若僅進(jìn)行四場(chǎng)比賽就決出最終獲勝者,則兩個(gè)失敗者必是交替失敗的.考生若能分析以上特點(diǎn)，則可列出每場(chǎng)失敗者，從而掌握比賽可能出現(xiàn)的情況，進(jìn)而解決問題.

四、教學(xué)啟示

1.似曾相識(shí)燕歸來

由于題1得分很低，筆者關(guān)注此類試題，發(fā)現(xiàn)近年高考出現(xiàn)類似試題，如：

(2019年高考全國(guó)卷Ⅱ·理19)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

由此，不難發(fā)現(xiàn)近年高考數(shù)學(xué)卷多次設(shè)計(jì)以體育運(yùn)動(dòng)為問題情境的試題，體現(xiàn)了高考積極的育人導(dǎo)向作用，傳達(dá)著“野蠻其體魄，文明其精神”的體育意識(shí)，充分落實(shí)“五育并舉”的精神.

2.咬定青山不放松

縱觀近五年(2015年-2019年)全國(guó)卷Ⅰ理科卷概率統(tǒng)計(jì)解答題，均是概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合，各地的高三質(zhì)檢卷、模擬卷在概率題考查上大都也是以這種形式呈現(xiàn)，考生在應(yīng)試時(shí)發(fā)現(xiàn)試題不是平時(shí)的套題，從而造成緊張畏難情緒，因此得分較低.當(dāng)前高考力求創(chuàng)新，落實(shí)了從“能力立意”到“素養(yǎng)導(dǎo)向”的轉(zhuǎn)變，考查了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這就給那些高三復(fù)習(xí)搞“忽視教材、追蹤熱點(diǎn)、題海戰(zhàn)術(shù)”備考策略的教師敲響了警鐘，啟示我們?cè)诟呖紓淇紩r(shí)要穩(wěn)扎穩(wěn)打，關(guān)注過程性教學(xué)，在思想的高度上去引領(lǐng)方法，去領(lǐng)會(huì)、感悟分析問題和解決問題的能力.

我們認(rèn)為每一個(gè)知識(shí)板塊都有可能成為“壓軸題”的載體，所以在復(fù)習(xí)備考時(shí)，我們反對(duì)“猜題押寶”，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，理清知識(shí)體系，提升學(xué)生能力，才能應(yīng)對(duì)強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新的新高考，才能做到以不變應(yīng)萬變，笑傲考場(chǎng).

3.不畏浮云遮望眼

“中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系”明確指出：高考考查要求應(yīng)體現(xiàn)“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.”概率問題聯(lián)系十分廣泛，來源于實(shí)際，又服務(wù)于實(shí)際生活，因此在高考試卷中常承擔(dān)著考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的角色.近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)題中，愈發(fā)明顯的突出理論聯(lián)系實(shí)際的導(dǎo)向.考生答題過程中，普遍感覺困難，原因在于讀不懂題目，不熟悉題目背景，缺乏語言轉(zhuǎn)換能力，不了解概率統(tǒng)計(jì)等基本概念的實(shí)際意義.

因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重題意分析，提高數(shù)學(xué)閱讀分析能力，把好“讀、審、析”三關(guān).即“讀”：文字信息，圖表信息，初步了解考查的知識(shí)點(diǎn)；“審”：結(jié)合考查目標(biāo)，理解圖文的內(nèi)在含義；析：整合有效信息，理清數(shù)據(jù)關(guān)系.還有，教師要關(guān)注生活背景、社會(huì)現(xiàn)實(shí)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技發(fā)展等多個(gè)方面，從中提煉出具有社會(huì)價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)用背景，注重培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語言中捕捉信息、將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流，再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決.還有，由題1的三種解法可以發(fā)現(xiàn)解法三簡(jiǎn)單明了，學(xué)生通俗易懂，可見構(gòu)建表格可以將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，便于發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，列出基本事件的可能情況.“文不如列、列不如表”，表格既具有圖形語言的直觀性，又兼有符號(hào)語言的簡(jiǎn)潔性，更具有文字語言的通俗性.因此，借助構(gòu)建表格，剖析結(jié)構(gòu)特征，使問題迎刃而解.