王永生

(上海市建工二建集團(tuán)有限公司，上海 200090)

0 概述

樓板在人行荷載激勵作用下會產(chǎn)生振動，當(dāng)樓板自振頻率較小時，會引起行人感官舒適性問題。《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)[1]、《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 3—2010)[2]等對樓板自振頻率做了相應(yīng)規(guī)定。當(dāng)樓板豎向振動頻率小于3Hz時，樓板豎向振動加速度峰值不應(yīng)超過相應(yīng)的限值。胡衛(wèi)國等[3]采用有限元數(shù)值分析方法對樓板尺寸與振動舒適度影響進(jìn)行研究；陸偉東等[4]對基于振動舒適度的建筑物樓板設(shè)計方法進(jìn)行了研究。樓板豎向加速度響應(yīng)與人行荷載頻率、人行步距、樓板幾何尺寸等參數(shù)相關(guān)，而簡支樓板在人行荷載作用下的響應(yīng)，是研究樓板在其他工況及邊界條件下加速度響應(yīng)的基礎(chǔ)，本文基于傅立葉級數(shù)法，對單人行走荷載作用下樓板加速度響應(yīng)進(jìn)行分析探討。

1 樓板動力響應(yīng)

1.1 基本假定

1)根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)，工程中常見的單向樓板跨厚比不大于30，雙向板跨厚比不大于40，在幾何尺寸上一般滿足薄板的范圍，假定樓板為薄板；2)假定樓板在受力變形后符合克希霍夫假設(shè)。

1.2 人行荷載函數(shù)

定義人行荷載為：

q(x,y,t)=q0(x,y)f1(t)

(1)

式中：q(x,y,t)為人行荷載時間空間函數(shù)；q0(x,y)為單足落步人行荷載空間函數(shù)；f1(t)為人行荷載時間函數(shù)。

結(jié)合文獻(xiàn)[5-9]研究成果，本文采用文獻(xiàn)[6]總結(jié)的人行荷載函數(shù)且n取1，人體自重荷載P0=0.6kN[2]：

(2)

式中：ai為振幅系數(shù)；fi為步頻；t為時間參數(shù)；φi為與人行荷載初始條件相關(guān)的相位角；n為確定人行荷載的傅里葉級數(shù)的階數(shù)。

相位角φi僅代表人行荷載加載初始條件，因式(2)中余弦函數(shù)為周期函數(shù)，當(dāng)樓板長度遠(yuǎn)大于步距，相位角φi取值對加速度峰值最終結(jié)果影響很小，本文為減小計算量，φi全部按零取值。

1.3 樓板受迫振動方程

樓板微單元，滿足下列方程：

(3)

式中：D為樓板抗彎剛度；ω為樓板撓度；χ為黏滯阻尼系數(shù)；ρ為樓板密度；h為樓板厚度。

對式(3)進(jìn)行求解，在任意荷載作用下，樓板撓度函數(shù)ω(x,y,t)如下[10]：

(4)

因人行荷載在空間非連續(xù)，在時間上具有周期性，并且雙足落地時間具有重疊段，在采用式(1)～(4)求解時，需要根據(jù)單步荷載持續(xù)時間與荷載步到達(dá)時間，對整個行走過程進(jìn)行分段計算。各階常數(shù)am,n，bm,n由前一荷載步結(jié)束時刻確定，對于第i步起始時刻有：

(5)

(6)

結(jié)合式(5)、式(6)，利用振型正交性，即可求解am,n，bm,n。

1.4 最不利振動激勵選取

在樓板設(shè)計時，一般需要計算最不利振動激勵，即采用最不利的荷載激勵。在選取最不利激勵荷載時：1)應(yīng)選取與樓板固有頻率接近的激勵；2)激勵荷載軌跡應(yīng)根據(jù)樓板振型，穿越樓板振型中振幅最大部位；3)荷載軌跡應(yīng)穿越樓板變厚度部位及樓板支座剛度突變處。本文重點(diǎn)研究四邊簡支樓板，選平行于樓板長邊且穿越樓板短邊跨中部位直線為最不利振動激勵荷載軌跡線。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

在加速度響應(yīng)函數(shù)中，樓板固有角頻率ωm,n起決定性作用，該參數(shù)與樓板長度、寬度平方成反比，與樓板厚度成正比。由于樓板長度、寬度遠(yuǎn)大于厚度，并且前者相對后者是更高階函數(shù)，故本文式(2)～(6)也可較好地預(yù)測壓型鋼板組合樓板的加速度響應(yīng)。文獻(xiàn)[11]對邊長為9.144m、總厚度0.222m、板凈厚度0.117m的正方形簡支組合橋面板進(jìn)行了單人行走荷載試驗(yàn)，對試驗(yàn)組合板進(jìn)行力學(xué)參數(shù)換算，其中：順肋方向折算厚度0.168 m，垂直肋方向折算厚度0.117 m，平均厚度0.143 m，與之對應(yīng)的折算密度為3 127.78kg/m3。試驗(yàn)中人行荷載頻率1.8Hz，人體自重荷載P0=0.7kN，計算位置為板跨中。依據(jù)本文理論公式(式(2)～(6))進(jìn)行計算對比，本文峰值加速度理論值為0.017 5g，試驗(yàn)值為0.013 6g[11]，兩者誤差為28.7%；而與試驗(yàn)值出處文獻(xiàn)[11]的理論研究成果誤差為24%，本文中理論值與試驗(yàn)值誤差在可接受范圍。誤差存在原因?yàn)槔碚撨吔鐥l件與試驗(yàn)約束條件有差異、試驗(yàn)中行人頻率在一定范圍內(nèi)波動等不可避免因素導(dǎo)致。

3 樓板加速度響應(yīng)規(guī)律分析

3.1 加速度時程峰值包絡(luò)曲線

依據(jù)式(1)～(6)對擬建工程進(jìn)行計算分析，擬建工程為學(xué)校，計算分析對象為學(xué)校單體之間走廊板，板厚120mm，四邊簡支。假定人行荷載時程函數(shù)主要參數(shù)為：頻率f=2.0Hz，步距s=0.8，行走速度v=1.6m/s，樓板長度a=24m，寬度b=3m，單人自重P=0.6kN，在y=b/2=1.5m處沿樓板一端開始向另外一端行走。整個行程過程中，樓板短跨跨中y=b/2=1.5m處各點(diǎn)處峰值加速度包絡(luò)曲線如圖1所示。

圖1 y=b/2處各點(diǎn)處加速度時程峰值包絡(luò)曲線

由圖1可知：1)y=b/2處各點(diǎn)峰值加速度的最大值出現(xiàn)在靠近樓板端部，而并非出現(xiàn)在樓板跨中；2)對于狹長樓板，中間區(qū)域正、負(fù)峰值加速度相對穩(wěn)定。

3.2 加速度最大點(diǎn)時程

樓板峰值加速度最大點(diǎn)(x=0.4；y=b/2)處加速度時程曲線如圖2所示。

記行人到達(dá)時刻為t1，每步著地時間為tstep。由圖2可知：

(1)正、負(fù)峰值加速度均非出現(xiàn)在到達(dá)時刻t1，即樓板加速度響應(yīng)函數(shù)與人行荷載函數(shù)存在相位差，相位差與人行荷載函數(shù)式(2)中的aicos(2πfit+φi)項(xiàng)取值次數(shù)有關(guān)。

(2)正峰值加速度出現(xiàn)時刻相比負(fù)峰值加速度出現(xiàn)時刻滯后，正峰值加速度絕對值為843mm/s2，負(fù)峰值加速度絕對值為908mm/s2，前者比后者小7.16%。

(3)當(dāng)人行荷載離開此點(diǎn)后，加速度迅速衰減至趨于穩(wěn)定。

4 樓板加速度參數(shù)化分析

從式(4)可知：影響樓板加速度的主要參數(shù)為人行荷載時程函數(shù)以及樓板的幾何參數(shù)。本文針對上述參數(shù)進(jìn)行量化分析，其中人行荷載主要參數(shù)范圍：頻率f=1.5～2.5Hz，步距s=0.6～1.0m，與之對應(yīng)的行走速度v=1.1～2.2m/s[7]。樓板幾何參數(shù)包含樓板長寬比a/b。本文所計算的樓板編號及參數(shù)如表1所示，其中LB-1為參照樓板，所有樓板邊界條件均為四邊簡支。由于行人在行走過程中，荷載頻率和步距具有一定關(guān)聯(lián)，所以LB-1～LB-5對比中，步距和頻率聯(lián)動。

樓板參數(shù) 表1

圖3 樓板LB-1～LB-5邊界條件及荷載軌跡

MIDAS Gen軟件計算得到的樓板LB-1～LB-5固有頻率值為22.04Hz，根據(jù)文獻(xiàn)[10]提供的公式進(jìn)行計算，理論值為21.7Hz，誤差為1.49%。樓板LB-1～LB-5各階固有頻率見表2。

樓板LB-1～LB-5固有頻率/Hz 表2

4.1 步頻對峰值加速度影響

對樓板LB-1～LB-5計算結(jié)果匯總，得到峰值加速度隨頻率變化曲線，見圖4。

圖4 峰值加速度-步頻關(guān)系曲線

由4圖可知：當(dāng)人行荷載頻率f從1.5Hz逐漸增大到2.5Hz，相應(yīng)的步距s由0.6m增大到1.0m，與其對應(yīng)的人行速度v由0.9m/s增大到2.5m/s，峰值加速度在0.51～1.14m/s2之間變動，最大值為最小值2.24倍。可見：即使人行荷載頻率遠(yuǎn)小于樓板自振頻率，人行荷載頻率對峰值加速度影響依然較大，但因頻率與步距聯(lián)動變化的影響，峰值加速度與人行荷載頻率不具有單向變化趨勢。

4.2 樓板長寬比對峰值加速度影響

對樓板LB-1，LB-6～LB-12計算結(jié)果匯總，得到峰值加速度隨樓板長寬比變化曲線，見圖5。

由圖5可知：

圖5 峰值加速度-樓板長寬比關(guān)系曲線

(1)樓板長寬比從1.0增大到8.0過程中，峰值加速度逐漸降低，從1.91m/s2降低至0.51m/s2，峰值加速度降低73%。

(2)樓板長寬比從1.0增大至2.0過程中，峰值加速度降幅速率最大，降低幅值為47%。即對于同樣的人行荷載，在樓板短跨尺寸不變情況下，雙向板的加速度響應(yīng)遠(yuǎn)大于單向板。

(3)樓板長寬比小于5.0時，峰值加速度隨長寬比非線性變化；樓板長寬比大于5.0時，峰值加速度隨長寬比基本呈線性變化。

5 結(jié)論

(1)行人荷載頻率一定的條件下，當(dāng)樓板固有頻率遠(yuǎn)大于激勵荷載頻率時，樓板加速度響應(yīng)最大值一般不出現(xiàn)在樓板跨中。

(2)樓板加速度響應(yīng)函數(shù)與人行荷載函數(shù)具有相位差，但相位差不是固定的常數(shù)。

(3)樓板長寬比對峰值加速度影響比較大，在寬度固定條件下：長寬比從1.0增大至8.0時，峰值加速度降低73%，其中長寬比從1.0增大至2.0時，峰值加速度降低47%，對于同樣的人行荷載，雙向板的加速度響應(yīng)遠(yuǎn)大于單向板。