基于小波包能量和層次熵的D-S 證據(jù)理論的軸承故障診斷技術(shù)

葉小芬，王起梁，祝 敏，張浩瀚

（中車戚墅堰機(jī)車車輛工藝研究所有限公司，江蘇 常州 213011）

0 引言

滾動(dòng)軸承是列車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，滾動(dòng)軸承的故障診斷一直受到人們的重視。近幾年，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)的分析開展了大量研究，常用的基于時(shí)頻域的故障特征提取方法有短時(shí)傅里葉變換、局部特征尺度分解、局域均值分解、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[1]、小波及小波包[2-3]分析、Hilbert-Huang 變換[4]/譜峭度分析[5]等。小波包變換被證實(shí)為非常有效可行的特征提取方法，另外分形維數(shù)、近似熵和樣本熵等非線性方法的引入極大地豐富了故障診斷的方法和技術(shù)；此外，DS 證據(jù)理論給出了多源信息的組合規(guī)則，廣泛應(yīng)用于信息融合、決策分析等領(lǐng)域[6]。

本研究利用小波包對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)多層分解，構(gòu)造小波包能量分布和層次熵為故障特征集，分別建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)軸承故障分類診斷，最后應(yīng)用D-S 信息融合理論，將2 種方法的診斷結(jié)果融合，以提高軸承故障診斷的準(zhǔn)確率。故障診斷技術(shù)原理如圖1 所示。

圖1 軸承故障診斷技術(shù)原理圖Fig.1 Schematic diagram of fault diagnosis technology of bearing

1 算法原理

1.1 小波包分解

小波包是小波分析理論的重要組成部分，小波包與小波的主要區(qū)別在于小波包每一層分解都同時(shí)分解低頻的近似信號(hào)和高頻的細(xì)節(jié)信號(hào)，在保留了信號(hào)完整性的基礎(chǔ)上又提升了信號(hào)的低、高頻段分辨率，一個(gè)3 層分解的小波包樹形結(jié)構(gòu)見圖2，分解后得到的數(shù)據(jù)稱為小波包（或稱頻帶）。

圖2 小波包樹形結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Tree structure diagram of wavelet packet

不同故障模式的振動(dòng)信號(hào)小波包能量值分布呈現(xiàn)不同的變化趨勢，因此，構(gòu)造小波包頻段能量分布作為故障特征集[7]，進(jìn)行軸承的故障診斷。

構(gòu)造步驟如下[8]：

1）N層小波包分解：如進(jìn)行3 層分解，Matlab語句為L=wpdec(signal,3,'db4')，可以提取第3 層從低頻到高頻23=8 個(gè)頻帶成分的小波包分解系數(shù)。

2）小波包分解系數(shù)重構(gòu)：Matlab 語句W3i=wpcoef (L,[3,i])對(duì)第3 層小波包分解系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，提取各頻帶信號(hào)。用S3i(i=0,1,···,7)表示第3 層小波包分解系數(shù)的單支重構(gòu)信號(hào)。

3）計(jì)算各頻帶信號(hào)的能量，構(gòu)造能量特征向量。設(shè)W3i對(duì)應(yīng)的頻帶能量為E3i，則：

4）小波包能量歸一化處理，能量特征向量E′為：

1.2 小波熵包層次

熵是時(shí)間序列復(fù)雜度的一種表征參數(shù)[9]，廣泛應(yīng)用于故障診斷領(lǐng)域，不同故障模式的振動(dòng)信息的復(fù)雜程度的不同，則其熵值也不一樣，因此可以構(gòu)造以熵為故障特征集進(jìn)行故障診斷研究，計(jì)算過程如下：

1）同1.1 中的第1 個(gè)步驟，對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波包3 層分解；分別計(jì)算23=8 個(gè)節(jié)點(diǎn)信號(hào)的樣本熵。

2）以各節(jié)點(diǎn)的樣本熵（即層次熵）HierEntropy作為故障特征向量為：

樣本熵的計(jì)算過程[10]如下：

①對(duì)于一個(gè)n點(diǎn) 時(shí)間序列x(1),x(2),···,x(n)，造一個(gè)m維向量：

其中，1≤i≤n-m+1。

②計(jì)算Ym(i)和Ym(j)之間距離：

③設(shè)置容限?，統(tǒng)計(jì)每個(gè)Xm(i)滿足d[Ym(i),Ym(j)]≤ε的數(shù)目，記為Ii。

⑤用相同方法求出Hm+1(r)。

則該時(shí)間序列的理論上的樣本熵定義為：

1.3 D-S 證據(jù)理論[11]

首先，定義mass 函數(shù)：在識(shí)別框架 Θ下，如果映射m：2Θ→[0,1]滿足

則稱其為定義在 Θ上的mass 函數(shù)。集函數(shù)m(A)即對(duì)子集A本身賦予的置信度，在本研究中，A表示每一種可能出現(xiàn)的故障模式的概率，而識(shí)別框架就是所有故障模式的并集。

然后，定義置信函數(shù)：如果映射Bel:2Θ→[0,1]滿足：

則稱其為定義在 Θ上置信函數(shù)。集函數(shù)Bel(A)表示對(duì)子集A及其全部子集賦予了置信度。Bel(A)為A的所有子集可能性度量之和，表示了對(duì)A的信任。

D-S 證據(jù)理論的組合規(guī)則解決了已知n個(gè)相互獨(dú)立的基本概率賦值，確定組合之后的基本概率賦值的大小。

假設(shè)，Bel1，Bel2是同一個(gè)識(shí)別框架下的2 個(gè)信任函數(shù)，m1,m2分別為其對(duì)應(yīng)的基本概率賦值，那么m=m1⊕m2為[12]：

其中：符號(hào) ⊕表示Dempster 組合規(guī)則；K為規(guī)范化因子，由下式定義：

若m(A1)=max{m(Ai),Ai?Θ}，則A1為判決結(jié)果。

2 數(shù)據(jù)處理與分析驗(yàn)證

本研究采用的軸承數(shù)據(jù)來自于美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)（Case western reserve university，CWRU）軸承數(shù)據(jù)中心，采樣軸承型號(hào)為SKF-6205，電機(jī)轉(zhuǎn)速分別為1730、1750、1772、1797 r/min，采樣頻率為12 kHz。

2.1 基于小波包能量的故障診斷

1）小波包能量特征提取與分析。

對(duì)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，按照1.1 節(jié)步驟構(gòu)造小波包頻帶能量特征，選取各組軸承狀態(tài)的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行能量分布圖繪制，結(jié)果如圖3 所示。

圖3 軸承4 種狀態(tài)的小波包能量頻帶分布圖Fig.3 Distribution graph of energy-frequency band of wavelet packet under four kinds of bearing status

從故障特征能量分布可以看出：正常狀態(tài)和故障狀態(tài)的小波包能量分布存在明顯差異，正常軸承的能量值較大的在1、2 頻段，其他頻道能量幾乎很少，而故障狀態(tài)在其他頻段存在較大能量；3 種故障類型的軸承特征向量值分布和各頻道能量大小也存在差別。因此，將小波包能量分布作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，通過BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)軸承故障分類診斷。

2）BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立與訓(xùn)練。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)是反向傳播算法，采用均方誤差作為代價(jià)函數(shù)，如式（14），即每輸入一個(gè)樣本，便將網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出與期望輸出做比較，算法將調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)以使得均方誤差最小。

其中，dj(n)為期望的輸出，yj(n)為n時(shí)刻神經(jīng)元j的輸出。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建步驟如下：

①確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入：以1.1 節(jié)中式（3）獲取的能量特征向量作為輸入樣本E′。

②設(shè)置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出：采用4 個(gè)二進(jìn)制元素的向量表示，其中（0,0,0,1）為外圈故障，（0,0,1,0）為內(nèi)圈故障，（0,1,0,0）為滾動(dòng)體故障，（1,0,0,0）為正常。

③創(chuàng)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、設(shè)置訓(xùn)練參數(shù)：net=newff(minmax(Train),[18,4],{'tansig','purelin'},'traing dm')，輸入層、隱含層和輸出層的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為8、18、4；訓(xùn)練精度要求為0.01，學(xué)習(xí)率0.15。

④BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練：net=train(net,Train,T)，訓(xùn)練結(jié)束后檢查訓(xùn)練結(jié)果是否符合精度要求。如果符合要求則輸入測試樣本，測試網(wǎng)絡(luò)性能；否則，重新網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，直至滿足精度要求。

⑤應(yīng)用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真預(yù)測，[Y,pf,Af,perf]=sim(net,P,Pi,Ai)。本研究統(tǒng)計(jì)集和測試集的診斷如圖4 所示，圖中縱坐標(biāo)代表類別標(biāo)簽，其中，1 代表（1,0,0,0），2 代表（0,1,0,0），3 代表（0,0,1,0），4 代表（0,0,0,1）。

圖4 診斷分類結(jié)果Fig.4 Results of diagnosis classification

2.2 基于層次熵的軸承故障診斷

對(duì)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，按照1.2 節(jié)中方法，對(duì)同一故障尺寸0.177 8 mm（7 mils）的4 種軸承狀態(tài)下的樣本熵進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見表1。由表1可見：軸承不同狀態(tài)下其樣本熵是不同的，同一狀態(tài)的樣本熵差別不大；滾動(dòng)體故障的樣本熵大于內(nèi)圈故障，內(nèi)圈故障樣本熵又高于外圈故障，主要是由于外圈固定在軸承座上的，外圈信號(hào)傳遞路徑較短，干擾小，故樣本熵較?。欢鴥?nèi)圈和滾動(dòng)體隨軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故障機(jī)理更復(fù)雜，因此熵值較大，但兩者樣本熵比較相近，不易區(qū)分，因此需要提取層次熵來進(jìn)行進(jìn)一步比較。

表1 軸承4 種狀態(tài)下的樣本熵Table 1 Sample entropy in four kinds of bearing status

4 種狀態(tài)軸承振動(dòng)信號(hào)的層次熵分布情況見圖5?？梢?，3 種故障狀態(tài)的高頻部分熵值較高，這也說明故障振動(dòng)信號(hào)的高頻和低頻部分都隱藏有故障信息；正常狀態(tài)的層次熵從低頻到高頻逐漸下降，說明正常狀態(tài)下軸承振動(dòng)信息主要包含在低頻部分。以層次熵構(gòu)造故障特征向量HierEntopy 作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入進(jìn)行分類診斷。

圖5 4 種軸承狀態(tài)下的層次熵Fig.5 Hierarchical entropy in four kinds of bearing status

2.3 D-S 證據(jù)理論信息融合

將基于小波包能量和層次熵的診斷結(jié)果統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)確率統(tǒng)計(jì)后，建立如下混淆矩陣CM（Confusion Matrix）[13]：

cmi j第i類故障狀態(tài)樣本被診斷為第j類故障狀態(tài)的樣本數(shù)與真實(shí)第i類故障狀態(tài)的測試樣本總數(shù)的比值；當(dāng)i=j時(shí)，即對(duì)角線元素為各故障狀態(tài)能夠被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正確分類的百分比。因此，可以應(yīng)用混淆矩陣來表征反映神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)故障的分類能力。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別出第j種故障狀態(tài)的局部可信度為：

全局可信度為：

對(duì)于某一次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果pj，基本概率賦值為：

其中，識(shí)別框架為Θ=(S1,S2,S3,S4,Θ)，S j為軸承第j種狀態(tài)。

2 種方法的診斷可信度見表2。根據(jù)式（18）選取某一條數(shù)據(jù)（滾動(dòng)體故障）的2 種方法的基本概率分配函數(shù)賦值見表3。結(jié)合D-S 證據(jù)合成規(guī)則式（12），經(jīng)過D-S 證據(jù)融合，診斷為基本概率從0.743 8、0.789 2 提升到0.980 0（表4）。

表2 診斷可信度Table 2 Diagnostic credibility

表3 基本概率賦值Table 3 Basic probability assignment of diagnosis

表4 D-S 證據(jù)融合診斷的基本概率賦值Table 4 Basic probability assignment of fusion diagnosis based on D-S evidence theory

3 軸承故障診斷軟件系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)

將上述診斷技術(shù)方法可視化，開發(fā)相應(yīng)的故障診斷軟件，軟件包括常見時(shí)域分析、頻域分析、小波包分析、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等功能界面，并具有數(shù)據(jù)載入、分解結(jié)果保存、數(shù)據(jù)導(dǎo)出、圖片保存等功能。主要功能界面如圖6 所示。

圖6 功能界面Fig.6 Function interface

4 結(jié)論

1）利用小波包對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)多層分解，構(gòu)造小波包能量分布故障特征集，建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)軸承故障分類診斷。

2）采用基于層次熵和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了軸承故障診斷模型，實(shí)現(xiàn)軸承不同故障模式的分類診斷。

3）應(yīng)用D-S 信息融合理論，實(shí)現(xiàn)2 種診斷結(jié)果的信息融合，對(duì)比單一方法診斷，準(zhǔn)確度分別提升了6%和4%，表明D-S 證據(jù)理論相結(jié)合方法用于復(fù)雜機(jī)械的故障診斷是可行和有效的。

4）該研究方法為各類軸承故障的診斷提供一種高效可行的思路；同時(shí)開發(fā)故障診斷軟件，具有一定的實(shí)用性價(jià)值。