李志農(nóng) 朱亞靜 王冬

摘要： 針對三線性平行因子模型在機械振源數(shù)盲估計方法中存在的不足，即由于維度的限制只能對振動信號的部分信息建模，信號中的時間序列信息被忽略。將三線性平行因子的機械振源數(shù)估計方法擴展至四維，提出一種基于四線性平行因子的機械振源數(shù)估計方法。所提出的方法中，在三維的基礎(chǔ)上增加了第四個維度（時間維），利用四線性交替最小二乘法迭代更新載荷矩陣，用核一致診斷法估計振源數(shù)。提出的方法既繼承了三線性平行因子的獨特優(yōu)勢，同時，又包含了更完整的振動信號的信息。相比三線性平行因子機械振源數(shù)估計方法，同組分數(shù)條件下四線性平行因子比三線性平行因子得到的核一致值更高，估計更加準(zhǔn)確。仿真結(jié)果表明，提出的方法優(yōu)于三線性平行因子機械振源數(shù)估計方法。實驗結(jié)果進一步驗證了提出的方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 故障診斷; 四線性平行因子; 盲源分離; 機械振源數(shù)估計; 四線性交替最小二乘

中圖分類號： TH165+.3; TN911.7? ? 文獻標(biāo)志碼： A? ? 文章編號： 1004-4523（2021）03-0619-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.020

引? 言

傳統(tǒng)的機械故障源盲分離往往假設(shè)信號源數(shù)是已知的，例如，文獻[1]提出的旋轉(zhuǎn)機械監(jiān)測預(yù)處理盲分離方法和文獻[2]提出的用于殼體結(jié)構(gòu)振源數(shù)目估計的獨立分量分析方法，這些方法都是在信號源數(shù)已知的條件下進行盲分離。然而，在實際工程中，機械故障源數(shù)往往是未知的，為此，需要探討關(guān)于源數(shù)未知條件下的機械故障盲分離方法。目前，基于源數(shù)估計的機械故障源盲分離方法取得了一些進展[3?6]，例如，文獻[3]結(jié)合分數(shù)傅里葉變換和盲分離理論的思想提出了一種機械故障源分離方法。文獻[4]基于小波包分析思想提出了一種機械振動源數(shù)估計方法。然而，這些機械故障源數(shù)盲估計算法都屬于二維數(shù)據(jù)處理方法，采用矩陣分解，并附加了一些約束條件。一般來說，矩陣分解不是唯一的，除非施加約束性條件，如正交性、Toeplitz和恒模特性等。但實際應(yīng)用中并不能滿足這些苛刻的約束條件，所以需要尋求新的方法解決這一問題。

近年來，平行因子模型（PARAFAC）[7?8]因具有分解唯一性的優(yōu)勢備受關(guān)注，它起源于平行比例分布原則，因其優(yōu)勢，平行因子理論在許多領(lǐng)域得到快速發(fā)展，例如化學(xué)分析領(lǐng)域[9]、無線通信領(lǐng)域[10]、環(huán)境化學(xué)計量領(lǐng)域[11]、故障診斷領(lǐng)域[12]。特別在信號處理和故障診斷領(lǐng)域內(nèi)平行因子模型現(xiàn)已成為一種新型的、有力的研究手段。例如文獻[13]將平行因子理論應(yīng)用到陣列多參數(shù)的聯(lián)合估計中。文獻[14]將三維平行因子應(yīng)用到機械振源數(shù)估計之中，該方法可有效估計機械振源數(shù)目。但是實際的應(yīng)用中，使用現(xiàn)有的三維平行因子進行機械振源數(shù)估計時，只能對采集信號的傳感器數(shù)目、振動信號的分段數(shù)以及每個數(shù)據(jù)段包含的數(shù)據(jù)點數(shù)信息進行建模，振動信號中的時間序列信息被完全忽略，振動信號包含的信息不完整，所以有必要將三維平行因子機械振源數(shù)估計方法擴展至四維。目前，平行因子三維至四維的擴展取得初步的進展[15?17]。例如，文獻[15]提出一種基于四線性平行因子的雷達角度和頻率聯(lián)合估計算法。文獻[16]提出一種應(yīng)用于環(huán)境分析的交變加權(quán)剩余約束四次線性分解模型。這些文獻都表明四線性平行因子分解不僅保持了三線性分解唯一性的優(yōu)點，而且數(shù)據(jù)收斂更加平穩(wěn)，所含的信息更加全面，更不容易陷入局部最優(yōu)化。但是在機械振源數(shù)估計方面三維平行因子到四維平行因子的擴展還是空白的。

為此，針對現(xiàn)有的三線性平行因子在故障盲分離中存在的不足，本文將三維平行因子擴展至四維即引入（時間維）解決振動信號時序信息被忽略的問題，提出了一種基于四線性平行因子的機械振源數(shù)估計方法。它是在三維的基礎(chǔ)上引入第四維（時間維）并將四線性平行因子盲分離方法和核一致檢測相結(jié)合，利用四線性交替最小二乘進行更新擬合，并且得出了最佳組分數(shù)下的載荷矩陣，能夠有效地估計振源數(shù)目。

1 四線性平行因子模型

四線性成分模型分解如圖1所示。

其中，Xq為一個四維矩陣，將Xq分解為大小分別為的相關(guān)矩陣A，B，C，D。G為一個維數(shù)為，并且超對角元素為1，其他元素為0的四維核對角矩陣，G也是一個四維殘差矩陣;Eq為四維殘差矩陣。

四維矩陣的四線性成分模型標(biāo)量形式通?？梢员硎緸?/p>

四線性平行因子模型是基于四線性成分模型分解理論，采用四線性交替最小二乘理論得到模型的最優(yōu)解。四線性平行因子模型將四維矩陣X鋪展成二維矩陣形式，沿四個方向進行交替分解得到，其有如下四種不同的模型表述形式

式中 是對角化算子，表示選矩陣A的第i行作為新生成矩陣的主對角線元素，矩陣其余的位置均為零。其他對角化算子，，表示含義與表示的含義相似。

2 基于振源估計的四線性平行因子盲分離模型構(gòu)建

對于N個源信號構(gòu)成的信號向量集，它的線性瞬時混疊模型可以表示為

式中 A為L×N維的混合矩陣，為N個源信號殘余向量集。為L維觀測信號。假定一個時間段內(nèi)每一個傳感器采集M個數(shù)據(jù)點（共N個傳感器），將傳感器采集到的信號中心化處理，然后將進行中心化處理后的觀測信號均分成不重疊的J個數(shù)據(jù)段，每一個數(shù)據(jù)段包含M/J個數(shù)據(jù)點記其為K，每一個數(shù)據(jù)段對應(yīng)的采集時間為h，則共分為t/h個時間段記其為I。則線性混疊模式也可以表示為

3 振源數(shù)的估計

四維數(shù)據(jù)用四線性平行因子分析方法計算其最佳組分數(shù)時，用核一致診斷算法（CORCONDIA）[18]來預(yù)先估計正確的成分數(shù)來確定機械振動信號的振源數(shù)。核一致診斷法通過計算核一致值（core?consistency）來確定體系的成分數(shù)，其計算公式如下

式中 是模型的組分數(shù);式（14）反映了不同組分數(shù)時理想情況下的核心陣與最小二乘擬合陣的擬合程度。為擬合陣G的元素;是超對角陣T的元素。T為平行因子模型中的超對角陣，它是在理想情況下取正確組分數(shù)時用Tucker3[19]方法得到的核心陣;G為用Tucker3方法得到的最小二乘擬合陣。一般認為核一致值為80%到100%模型有效，40%到80%之間的值表示模型可能有效，但有輕微的特異性或相關(guān)性，而低于40%的值意味著模型無效。

4 仿真研究

為驗證提出的方法的有效性，在此，先進行仿真研究，仿真源信號如下

其中，采樣頻率為530 Hz，采樣點為4240，仿真源信號時域波形及幅值譜如圖2和3所示。

設(shè)置混合矩陣A為[0 1]區(qū)間的隨機數(shù)，根據(jù)線性瞬時混疊模型得到虛擬觀測信號?；殳B后的虛擬觀測信號的時域波形圖和幅值譜圖分別如圖4和5所示。由圖4和5可知，在混合信號時域波形圖中無法辨識源信號特征頻率，兩個仿真信號的特征頻率完全混疊在一起。

通過核一致檢測算法估計最佳組分數(shù)（即振源數(shù)），使用四線性最小二乘法進行迭代，計算其核一致值、殘差平方和與迭代次數(shù)，若核一致值大于80%，且殘差平方和低于1000和迭代次數(shù)低于30000，算法有效（一般而言，殘差平方和為每一次迭代殘差平方的累加，當(dāng)殘差低于10-6并且不再減少時迭代結(jié)束）。

由圖6可知，當(dāng)組分數(shù)為2時，核一致值為100%，當(dāng)組分數(shù)為3時，核一致值為0。核一致值在2時滿足核一致檢測的條件并且在之后發(fā)生突變，當(dāng)組分數(shù)為2時，迭代次數(shù)低于30000，殘差平方和小并且滿足限制條件，說明最佳組分數(shù)值為2即振源數(shù)為2，算法有效。在組分數(shù)值為2時得到的4個分解載荷如圖7所示，載荷矩陣B，D分解形式相同，符合式（12）中四線性平行因子盲分離模型。

為了體現(xiàn)本文方法的優(yōu)越性，在此給出了三線性平行因子源數(shù)估計方法的結(jié)果，如圖8所示。當(dāng)組分數(shù)為2時，核一致值為65%，當(dāng)組分數(shù)為3時，核一致值為0，即振源數(shù)為2。雖然核一致值為2時滿足核一致檢測的條件，但是其核一致值低于80%，表明模型可能有效，即不能夠非常準(zhǔn)確估計振源數(shù)目。而本文提出的方法在組分數(shù)為2時，核一致值為100%，組分數(shù)為3時，核一致值為0，表明模型有效，且能夠非常準(zhǔn)確地估計振源數(shù)目，而不是“可能”。這是因為四維平行因子振源數(shù)估計方法增加了振動信號中的時間序列信息，包含信息更全面，得到的源數(shù)估計值也更加可靠。對比三線性平行因子同組分數(shù)下的迭代次數(shù)，四線性迭代次數(shù)更少。對比同組分數(shù)下殘差平方和，如表1所示，四線性平行因子的的殘差平方和更小，相比于三線性平行因子，收斂更加平穩(wěn)。

5 實驗研究

為了進一步驗證四線性平行因子機械振源數(shù)估計方法的有效性，在此，將提出的方法應(yīng)用到機械設(shè)備滾動軸承故障源數(shù)估計中。實驗設(shè)備由一個小電機，傳感器，時間計數(shù)器，功率計等設(shè)備構(gòu)成。電機負載為0，電機轉(zhuǎn)速約1797 r/min，相應(yīng)的轉(zhuǎn)頻為fr=29.17 Hz，采樣頻率為48000 Hz，用電火花加工技術(shù)，分別在軸承內(nèi)圈和軸承外圈設(shè)置兩個故障。在驅(qū)動端，軸承內(nèi)圈設(shè)置0.1778 mm的點蝕故障，軸承外圈設(shè)置0.5334 mm的點蝕故障。加速度傳感器安放在電機殼體上，用兩個加速度傳感器采集信號，采樣點數(shù)為10240，獲得2通道觀測信號，采集到的觀測信號時域波形如圖9所示。

首先，將采集到的數(shù)據(jù)進行中心化處理，并將處理后的觀測信號分成不重疊的16段數(shù)據(jù)塊，相對應(yīng)的時間段為16，每一個數(shù)據(jù)段包含256個數(shù)據(jù)點。其次，將各段信號塊之間的時滯協(xié)方差疊加成3階并計算其時滯協(xié)方差矩陣，然后將這個3階張量在時間段上疊加為4階，用核一致診斷算法估計最佳組分數(shù)（振源數(shù)），用四線性最小二乘法進行迭代，計算其殘差平方和與迭代次數(shù)，得到的結(jié)果如圖10所示。

由圖10可知，當(dāng)組分數(shù)為2時，迭代次數(shù)在合理的范圍，殘差平方和滿足限制條件并且核一致值遠大于80%，當(dāng)組分數(shù)等于3時核一致值接近0。核一致值在組分數(shù)等于2時滿足核一致檢測的條件并且在組分數(shù)等于3時發(fā)生突變，所以最佳組分數(shù)為2，即振源為2。

6 結(jié)? 論

針對三線性平行因子只能對振動信號的部分信息建模，信號中的時間序列信息被完全忽略的缺陷，本文提出一種基于四線性平行因子的機械振源數(shù)估計方法。該方法將三線性平行因子擴展到四線性，增加了振動信號時間序列信息，彌補了三線性建模時只能對部分信息建模的缺陷，使數(shù)據(jù)包含的信息更完整。用四線性交替最小二乘法擬合迭代，同組分數(shù)下四線性得到的殘差平方和比三線性的更小，表明四線性平行因子相比于三線性收斂更加平穩(wěn)。用核一致診斷算法得到該模型下的最佳組分數(shù)（振源數(shù)目），同組分數(shù)條件下四線性比三線性得到的核一致值更高，更符合核一致估計條件。相比于三線性得到的可能有效的估計結(jié)果，四線性平行因子的估計更加準(zhǔn)確。最后利用仿真和實驗驗證了提出的方法的有效性。

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作者簡介： 李志農(nóng)（1966-），男，教授。E-mail：lizhinong@tsinghua.org.cn