禹言芳 李中根 孟輝波 劉振江 吳劍華

(沈陽化工大學(xué) 遼寧省高效化工混合技術(shù)重點實驗室， 沈陽 110142)

引 言

靜態(tài)混合器是一種依靠管道內(nèi)周期排列的螺旋元件對流體不斷的分割、變形、移位及混合的在線、高效混合設(shè)備，與攪拌混合器相比，具有結(jié)構(gòu)簡單、空間占有率小、停留時間短、耗能低及維修成本低等優(yōu)點[1-2]，因此廣泛應(yīng)用于精細化工、水處理、制藥工業(yè)、生物化工等工業(yè)過程[3]。

掌握靜態(tài)混合器內(nèi)流場的湍流特性規(guī)律對現(xiàn)有靜態(tài)混合器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及新型靜態(tài)混合元件的開發(fā)具有重要意義[4-6]。Tajima等[7]采用Kenics型靜態(tài)混合器(KSM)對水和液態(tài)CO2生成CO2水合物的混合過程進行實驗研究，結(jié)果表明湍流狀態(tài)下隨著KSM元件數(shù)量增加，液滴尺寸逐漸變小。Jaworski等[8]采用大渦模擬(LES)和非定常雷諾平均NS方程(RANS)兩種方法，對KSM內(nèi)兩相流的湍動能和耗散率等參數(shù)估計進行了有效性分析。Regner等[9]利用計算流體動力學(xué)(CFD)軟件分析了層流狀態(tài)下不同長徑比的Lightnin靜態(tài)混合器(LSM)內(nèi)的流場結(jié)構(gòu)，研究發(fā)現(xiàn)帶有曲率的混合元件交錯處會產(chǎn)生徑向二次流旋渦。本課題組前期采用大渦模擬分析KSM內(nèi)二次流徑向渦的形成誘因及演化過程，從多縱向渦的角度探討了扭旋葉片對流體力學(xué)性能及傳熱性能的影響機理[10]；并對LSM中高黏度流體的層流流動和混合特性進行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)LSM內(nèi)高黏度流體的混合性能優(yōu)于KSM[11]；隨后分析了LSM內(nèi)湍流的傳熱特性和旋渦演化過程，結(jié)果表明半徑尺度的強制渦受到LSM混合元件的影響逐漸耗散且被誘導(dǎo)形成兩對迪恩渦，強化了LSM的傳熱性能[6]。

本征正交分解(POD)方法被許多學(xué)者用于對湍流流場的測量結(jié)果進行分析，Rempfer等[12]將POD應(yīng)用于平板邊界層內(nèi)的相干結(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為的研究中，結(jié)果表明高階的流動相干結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)捩的產(chǎn)生有著十分重要的作用；余穎等[13]利用POD方法提取內(nèi)置蝸桿傳熱管流場中的擬序結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)多對大尺度縱向渦結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生會提高強化傳熱效率；張建偉等[14]對雙組分層對置撞擊流的湍流速度場進行POD分解，發(fā)現(xiàn)低階模態(tài)能夠準確還原流場中的渦結(jié)構(gòu)。

到目前為止，關(guān)于LSM的研究主要集中在湍流傳熱、層流混合等方面，而針對LSM的瞬態(tài)湍流特性及分布混合特性的研究尚未見文獻報道。因此，本文利用POD方法提取流場的湍流結(jié)構(gòu)，以期明晰LSM內(nèi)流體的流動特性。采用平均渦量、拉伸率等參數(shù)表征LSM內(nèi)流體的混合特性，為豐富LSM混合機理提供理論依據(jù)，并擴大其在工業(yè)上的應(yīng)用范圍。

1 數(shù)值模型

1.1 控制方程

大渦模擬是流體力學(xué)中一種重要的數(shù)值模擬方法，其基本思想是直接計算大尺度渦，對于小渦則通過亞格子模型進行模擬。區(qū)別于直接數(shù)值模擬(DNS)和RANS方法，LES在對大渦解析的同時還對小渦進行?；?，通過空間濾波操作過濾掉小渦，濾波后大渦控制方程為[15]

(1)

(2)

式中，x為笛卡爾坐標系；ui和uj為流體速度；ρ、p和ν分別為流體的密度、壓力和運動黏度。

亞格子應(yīng)力τij定義為

(3)

其中，

(4)

式中，Sij為應(yīng)變速率張量，τkk為亞格子應(yīng)力的各向同性部分。Smagorinsky- Lilly模型定義的亞格子湍流渦黏系數(shù)為[16]

(5)

式中，Ls為亞網(wǎng)格尺度的混合長度。

1.2 本征正交分解

本征正交分解方法由Lumley[17]首次提出，經(jīng)Sirovich[18]改進后發(fā)展為“快照POD”，逐漸被廣大學(xué)者用于復(fù)雜流場的降階及特征提取。假設(shè)在混合器橫截面內(nèi)有m個離散采樣點，每次采樣同時獲取每個采樣點的三維速度值u(xm)。因此，獲取N張快照脈動速度場數(shù)據(jù)，以矩陣U的形式表示為[19]

(6)

式中，上標N表示快照數(shù)目，下標m代表三維速度的矢量位置。自相關(guān)矩陣為

C=UTU

(7)

速度相關(guān)矩陣的特征向量和特征值為

CA=λA

(8)

用式(8)計算得到的特征值及對應(yīng)的特征向量去構(gòu)建POD模態(tài)φi的基函數(shù)

(9)

POD系數(shù)

an=ψTun

(10)

線性重構(gòu)任意時刻的速度場

(11)

1.3 物理模型

假設(shè)圓管直徑D=40 mm，總長度為560 mm，對含有元件長徑比Ar分別為1.0、1.5、2.0和3.0的LSM流場進行比較分析。LSM內(nèi)混合元件由兩個半橢圓形板和兩個三角形板組成，相鄰兩元件首尾相連且相互交錯90°布置安裝，幾何模型如圖1所示。對于長徑比Ar=1.5的LSM，兩個交叉半橢圓板分別與軸截面成34°和146°，其他模型的具體幾何參數(shù)見表1。

表1 幾何參數(shù)Table 1 Geometrical parameters

圖1 不同長徑比的LSM幾何模型Fig.1 Geometric models of LSM with different aspect ratios

1.4 模擬策略

本文采用ANSYS FLUENT V16.1軟件中的LES湍流模型，對圖1中4種不同長徑比的LSM進行非穩(wěn)態(tài)數(shù)值模擬。以水(密度ρ=998.2 kg/m3，黏度μ=0.001 003 Pa·s)作為工質(zhì)。采用課題組前期對LSM湍流流動傳熱預(yù)測中的網(wǎng)格無關(guān)性驗證結(jié)果[6]，利用多面體網(wǎng)格對計算域進行離散化處理，采用10層邊界層和1.2的網(wǎng)格增長率對壁面進行細化，總網(wǎng)格數(shù)量為1 597 947。

采用三維壓力基求解器，并使用SIMPLEC算法對壓力和速度耦合；梯度項求解采用Least Squares Cell Based離散法；壓力離散采用標準形式，動量離散采用Bounded Central Differencing；采用用戶自定義函數(shù)(user define function，UDF)設(shè)置速度入口邊界[6]，對應(yīng)的雷諾數(shù)分別為1 990、3 981、5 971和7 962。出口邊界條件設(shè)置為outflow。連續(xù)性方程收斂殘差小于10-4，其余變量的收斂殘差為10-6。

1.5 模型有效性

大渦模擬在降低空間和時間分辨率的前提下可以對具有較高雷諾數(shù)和較復(fù)雜的湍流流動進行模擬，計算精度高。課題組前期采用LES方法對KSM內(nèi)的流場進行研究，數(shù)值計算的速度分布和實驗一致性較好[10]。LSM和KSM混合器都屬于螺旋流靜態(tài)混合器[9]，具有相似的工作原理。因此，本文選用大渦模擬對Lightnin型靜態(tài)混合器進行研究。

2 POD分析與結(jié)果討論

2.1 采樣數(shù)量選擇

為探究采樣數(shù)量對POD分析精確度的影響，分析了不同采樣數(shù)量下的模態(tài)能量分布，如圖2所示。從圖中可以看出，隨著模態(tài)階數(shù)s的增加，POD模態(tài)的特征值λ迅速衰減，當(dāng)模態(tài)階數(shù)超過10之后，高階模態(tài)所攜帶的能量較低。其中，前四階模態(tài)攜帶的能量最多；在采樣數(shù)量超過2 000時，前四階的模態(tài)能量占整體的29%以上，且隨著樣本數(shù)量的增加低階模態(tài)所包含的能量不再發(fā)生變化。因此，綜合考慮計算精度及成本，選取采樣數(shù)量為2 000。

圖2 Re=3 981、Ar=1.5條件下，z/l=2處不同樣本數(shù)量的模態(tài)能量分布Fig.2 Modal energy distributions for different numbers of samples at z/l=2，Re=3 981 and Ar=1.5

2.2 POD模態(tài)收斂性驗證

對LSM數(shù)值模擬所得的樣本進行計算，評估不同模態(tài)下的二范數(shù)εL2(L2-norm)[20]，具體公式如下。

εL2=‖δi,1-δi,2‖2

(12)

式中，δi,1、δi,2分別為兩次不同采樣頻率樣本中POD分解之后的第i階模態(tài)。

樣本數(shù)量與模態(tài)收斂性之間的關(guān)系如圖3所示。由圖可知，模態(tài)之間的差異隨著樣本數(shù)量的增加逐漸減小。當(dāng)樣本數(shù)量n小于500時，差異值變化明顯，在樣本數(shù)量很小的情況下，L2-norm可達到1.3左右。當(dāng)n>1 000時，L2-norm小于0.3，并且逐漸趨于0，表明經(jīng)POD得到的模態(tài)差異性穩(wěn)定，即POD模態(tài)是收斂的。

圖3 不同樣本數(shù)量下不同模態(tài)的二范數(shù)Fig.3 L2-norm of the modes for differentnumbers of samples

2.3 POD模態(tài)能量分析

圖4為不同軸截面LSM內(nèi)湍流流體前四階模態(tài)的能量分布。從圖4可以看出，不同階的模態(tài)能量在z/l=0～2范圍內(nèi)呈減小趨勢，表明流場復(fù)雜度不斷增加。在流場復(fù)雜度穩(wěn)定后，1階模態(tài)能量所占的湍動能分數(shù)在8%～10%，2階模態(tài)能量所占湍動能分數(shù)在6%～8%，3階模態(tài)能量所占湍動能分數(shù)在5%～7%，4階模態(tài)能量所占湍動能分數(shù)在5%～6%。前四階模態(tài)能量占總湍動能的24%～31%，包含了主要的大尺度旋渦結(jié)構(gòu)信息。

圖4 Re=3 981和Ar=1.5條件下不同軸向位置的模態(tài)能量分布Fig.4 Modal energy distributions for different axial positions at Re=3 981 and Ar=1.5

圖5為前四階POD模態(tài)的徑向速度矢量圖。由于1階模態(tài)包含著最多的流場信息，從圖5(a)可以清晰地看出在元件壁面存在兩對大尺度旋渦結(jié)構(gòu)且對稱分布，周圍無小尺度旋渦結(jié)構(gòu)。隨著模態(tài)能量的降低，在第2、3階模態(tài)中小尺度旋渦數(shù)量逐漸增加，所提取的流場信息逐漸減少，這主要是由流場的復(fù)雜程度增加所致。在第4階模態(tài)中旋渦結(jié)構(gòu)開始散亂，小尺度的旋渦結(jié)構(gòu)尺寸逐漸增大。

圖5 前四階POD模態(tài)的徑向速度矢量圖Fig.5 Radial velocity vectors of the first four POD modes

對LSM內(nèi)的原始瞬態(tài)流場(圖6(a))進行40階本征正交分解，利用前四階模態(tài)重構(gòu)流場流線圖，如圖6(b)所示。對比發(fā)現(xiàn)，原始流場在管壁邊緣處存在小尺度渦對，干擾流場大尺度相干結(jié)構(gòu)的提取與分析。POD方法在時均速度場的基礎(chǔ)上對任意時刻的原始流場進行線性重構(gòu)，能夠過濾小尺度的旋渦結(jié)構(gòu)，同時保留半圓形流道內(nèi)原始流場的特征，使核心流區(qū)域的徑向二次流大尺度相干結(jié)構(gòu)的空間分布更加明晰。

圖6 Re=3 981時原始和重構(gòu)流場流線圖對比Fig.6 Comparison of original and reconstructed flow field streamlines at Re=3 981

2.4 回流系數(shù)

二次流能夠強化靜態(tài)混合器的混合性能。為了更好地了解LSM內(nèi)的二次流分布，通過計算整個采樣過程流場中選定位置處流速方向與主流方向相反的時間與總采樣時間的比值得到回流系數(shù)γt。圖7為在z/l=4.1～6.0處LSM內(nèi)的回流系數(shù)云圖。由圖中的高亮區(qū)域可以看出，回流主要發(fā)生在管壁與元件連接處附近以及元件中心截面處。

圖7 Ar=1.5，Re=3 981時不同軸截面的回流系數(shù)云圖Fig.7 Cross sectional contours of the reverse flow coefficient under the conditions Re=3 981 and Ar=1.5

2.5 渦量分布

圖8描述了不同雷諾數(shù)下平均渦量〈ω〉隨軸向位置的變化。從圖中可知，受到元件旋向影響，不同軸截面內(nèi)平均渦量分布具有正弦狀的周期性變化規(guī)律。在混合器入口段無元件分布，沒有旋渦產(chǎn)生，〈ω〉為0；在z/l=4.0～5.0范圍內(nèi)，〈ω〉逐漸增大，表明在一個混合元件周期內(nèi)旋渦從正向渦逐漸向反向渦轉(zhuǎn)變，峰值出現(xiàn)在左旋和右旋元件連接處；在z/l=5.0～6.0范圍內(nèi)，〈ω〉逐漸減小，表明旋渦從反向渦逐漸向正向渦轉(zhuǎn)變。隨著雷諾數(shù)的增加，渦量峰值出現(xiàn)不同程度的變化，當(dāng)Re=1 990時，正向渦值的峰值平均值為6.37，而Re=3 981、5 971和7 962對應(yīng)的正向渦值峰值平均值分別為15.83、25.33和36.39，渦量分別增大了148.5%、297.6%和322.7%，表明增大Re可提高LSM內(nèi)流體的湍流程度。

圖8 不同雷諾數(shù)下LSM內(nèi)不同軸向截面的平均渦量(Ar=1.5)Fig.8 Mean vorticity of different coaxial sections for different Reynolds numbers(Ar=1.5)

2.6 混合特性

前期的研究成果表明，靜態(tài)混合器內(nèi)的流動具有混沌混合特性[21]。采用拉伸率Λn這一指標對不同長徑比和不同雷諾數(shù)下的LSM分布混合性能進行定量分析，拉伸率數(shù)值越大，代表強化分布混合能力越強。根據(jù)Ottino混合理論[22]，每個粒子所經(jīng)歷的拉伸量可以通過小矢量的變形求出。

圖9為不同長徑比和雷諾數(shù)下LSM內(nèi)粒子拉伸率的幾何平均值。由圖9可以發(fā)現(xiàn)，LSM內(nèi)粒子的拉伸率均隨軸向長度的增加而線性增長；在同一軸向位置，Ar=1.0對應(yīng)的拉伸率最大，Ar=3.0對應(yīng)的拉伸率最小，說明長徑比越小，拉伸效果越明顯。這是由于相同軸向距離內(nèi)小長徑比的混合葉片扭曲程度更大，徑向二次流更明顯，并且在相同長度的管路內(nèi)，可以布置的小長徑比的元件個數(shù)多于大長徑比的元件個數(shù)，因此，流體微元在經(jīng)過布置有小長徑比元件的管路中時被拉伸的概率更大。從圖9(b)可以看出，隨著雷諾數(shù)的增加，LSM的最大拉伸率和橫截面的平均拉伸率均增大，Re=3 981、5 971和7 962下的拉伸率與Re=1 990時的相比，分別提高了11.5%、15.1%和18.9%。

圖9 不同長徑比和雷諾數(shù)下的平均拉伸率變化Fig.9 The average stretching rate for different aspect ratios and Reynolds numbers

通過對LSM內(nèi)的拉伸率數(shù)值進行統(tǒng)計學(xué)分析，可以定量評價流體的微觀混合程度[21，23]。圖10為LSM在不同長徑比和不同雷諾數(shù)下出口截面的拉伸率概率密度分布。從圖中可以看出，對流體有切割分流作用的LSM，其拉伸率概率密度分布曲線形狀類似高斯分布曲線，說明拉伸率數(shù)值分布較為集中；徑向二次流隨著長徑比的變小而增強，致使概率密度曲線向著高拉伸率方向移動，這是由于流體經(jīng)過較大的拉伸變形，產(chǎn)生較高的拉伸率。Ar=1.0時曲線在尾部的震蕩相較于其他長徑比的要明顯，這說明其內(nèi)部的高拉伸率的粒子數(shù)量較多。隨著長徑比的增加，各曲線峰值逐漸向左移動，說明小長徑比的混合元件對流體的混合能力較強。隨著雷諾數(shù)的增加，拉伸率分布范圍沒有改變，但各個截面處平均拉伸率的概率密度增大，總體上提高了混合器的混合能力。

圖10 不同長徑比和雷諾數(shù)下的拉伸率概率密度分布Fig.10 The probability distributions of stretching rate fordifferent aspect ratios and Reynolds numbers

采用壓降Δp和混合性能強化系數(shù)η來分析不同長徑比的LSM的流動混合強化行為[11]。不同長徑比LSM內(nèi)的壓降及混合性能強化系數(shù)的變化如圖11所示。可以看出壓降Δp和混合性能強化系數(shù)η均隨長徑比的增大逐漸減小。在Re=3 981條件下，Ar=1.0的LSM內(nèi)的壓降Δp=712.9 Pa，混合性能強化系數(shù)η=6.8。隨著長徑比增加，Ar=1.5、2.0、3.0的LSM的壓降分別是Ar=1.0時的28.5%、14.2%和0.06%，而混合性能強化系數(shù)分別是Ar=1.0時的93.5%、85.2%和66.9%。綜上所述，在Ar=1.5時LSM的壓降明顯減小，同時具有較好的混合性能。

圖11 Re=3 981條件下不同長徑比LSM的壓降及混合性能強化系數(shù)Fig.11 Pressure drop and mixing enhancement factor forLSM with different aspect ratios at Re=3 981

3 結(jié)論

(1)采用POD方法對LSM內(nèi)的瞬態(tài)湍流流場進行分析，前四階模態(tài)能量占總湍動能的24%～31%，蘊含主要的大尺度旋渦結(jié)構(gòu)信息，可消除小尺度旋渦結(jié)構(gòu)對流場的干擾。

(2)對于同一長徑比的LSM，渦量隨著元件的軸向位置變化呈正弦狀周期性變化，隨著雷諾數(shù)的增加，不同軸向截面的平均渦量均增大。

(3)對拉伸率的分析結(jié)果表明，LSM內(nèi)部的拉伸變形隨著雷諾數(shù)的增加而增加；流體微元在經(jīng)過布置有小長徑比元件的管路時被拉伸的概率更大。

(4)Ar=1.0時LSM的混合強化性能最好，然而與Ar=1.5、2.0、3.0時相比壓降較高。綜合壓降和混合性能強化系數(shù)，Ar=1.5的LSM具有較好的混合性能，同時壓降降低顯著。