一類非齊次Schr?dinger- Poisson系統(tǒng)解的存在性

蔡武晉 邊 慎 趙雷嘎

(1.北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029； 2.北京工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 北京 100048)

引 言

本文研究非齊次Schr?dinger- Poisson系統(tǒng)

(1)

式中V(x)和φ(x)分別表示有效勢和電勢。系統(tǒng)(1)首先在文獻(xiàn)[1]中被提出，用于描述三維空間中與靜電場相互作用的非線性Schr?dinger方程的駐波，f(u)用于模擬多個粒子間的相互作用，g(x)為非齊次擾動。

近年來，在對非線性項(xiàng)和位勢條件進(jìn)行的各種假設(shè)下，系統(tǒng)(1)受到廣泛研究[2-10]。文獻(xiàn)[2]、[4]的研究表明，f(u)關(guān)于u的增長階p的范圍會對泛函的緊性和解的存在性產(chǎn)生影響。

當(dāng)位勢函數(shù)為常數(shù)時，Ruiz[4]研究了帶有參數(shù)的一類自治Schr?dinger- Poisson方程

式中，λ>0,2

本文對一般的非線性項(xiàng)f(u)以及位勢函數(shù)V(x),研究系統(tǒng)(1)解的存在性和多解性。特別地，允許f(u)的增長性包含3

1 定理的提出

設(shè)勢函數(shù)V(x)∈C(R3,R)滿足：

(V1)V(x)=V(|x|)；

其中(·,·)表示R3的內(nèi)積。

設(shè)g(x)∈C1(R3,R)∩L2(R3,R)為非負(fù)函數(shù)，滿足：

(g1)g(x)=g(|x|)?0；

這里(V1)和(g1)為函數(shù)滿足徑向?qū)ΨQ的條件。

對非線性項(xiàng)f(u)∈C(R,R),設(shè)

(f1)f(0)=f′(0)=0；

(f2) ?C>0，使得|f(u)|≤C(|u|+|u|p), ?u∈R,其中p∈(2,5)；

本文的主要結(jié)果是如下定理。

定理1設(shè)(V1)～(V3)、(f1)～(f3)和(g1)～(g2)成立，則存在Cp>0，當(dāng)‖g‖2

進(jìn)一步對非線性項(xiàng)f(u)，設(shè)

(f4)f(-u)=-f(u),?u∈R；

(f5) ?θ>4，使得0≤θF(u)≤uf(u),?u∈R。

定理2設(shè)(V4)、(f1)～(f2)和(f4)～(f5)成立，則對任意的g(x)∈L2(R3)，系統(tǒng)(1)在HV×D中存在無窮多解。

本文利用變分法進(jìn)行證明。由于p的范圍會對泛函的幾何結(jié)構(gòu)和緊性條件產(chǎn)生影響，當(dāng)3

2 變分框架及預(yù)備引理

首先將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為單個方程[4]。對任意的u∈H1(R3)，可得到方程-Δφ=u2在空間D1,2(R3)中的唯一解φu，此解可表示為

將φu帶入到系統(tǒng)(1)的第一個方程，得

-Δu+V(x)u+φu(x)u=f(u)+g(x)

于是定義變分泛函為I：H→R

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的命題4，易證I∈C1(E,R)和(u,φ)∈H×D是方程(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u∈H是I的臨界點(diǎn)，且φ=φu。引理1收集了φu的一些性質(zhì)[4]。

引理1

(Ⅰ)對任意的u∈H，φu(x)≥0,x∈R3；

(Ⅲ)對t>0，有φvt(x)=t2φv(tx)，其中vt(x)=t2v(tx)；

(Ⅳ)若在H中un?u，則在D中φun→φu。

3 定理1的證明

定理1的證明分為兩步：一是通過Ekeland’s變分原理證明其負(fù)能量解存在；二是通過結(jié)合單調(diào)性方法的山路定理證明其正能量解存在。

由(f1)～(f2)知，對任意ε>0，存在Cε>C，使得

|f(u)|<ε|u|+Cε|u|p

(3)

由(f3)知，存在C>0，使得

F(u)≥C|u|θ,θ>3

(4)

引理2設(shè)(f1)～(f2)成立，則存在Cp>0，t0>0和ρ0>0，使得當(dāng)‖g‖2

證明由式(3)可知

式中S為H嵌入到Lp(R3)的最佳Sobolev常數(shù)，故對任意的u∈H，有

令A(yù)(t)=t/4-Ctp/[(p+1)Sp+1]，t≥0，則A(t)在[0,+∞)存在最大值。

當(dāng)‖g‖20，使得對任意滿足‖u‖=t0的u，I(u)≥ρ0成立。證畢。

引理3設(shè)(f3)和(g1)成立，令c0=inf{I(u):u∈Bt0}，其中Bt0={u∈H:‖u‖≤t0}，則c0<0，且存在u0∈H，使得I(u0)=c0。

由Ekeland’s變分原理易得序列{un}?Bt0滿足

(Ⅰ)I(un)→c0；

(Ⅱ)I′(un)→0，在H-1中(H-1為H的對偶空間)。

因?yàn)閧un}?Bt0，顯然有界，則{un}是泛函I的一列有界(P.S)序列。

由H嵌入到Lp(2

易知F(u)的增長性在(3,6)之間，當(dāng)θ∈(4,6)時容易證明泛函(P.S)序列的有界性，但在θ∈(3,4)時難以證明(P.S)序列是有界的，所以我們引用如下單調(diào)性方法來構(gòu)造θ∈(3,4)時的泛函的特殊(P.S)序列。

命題1(L.Jeanjean’s引理[12]) 假設(shè)(H,‖·‖)為Banach空間，J∈R+是一個區(qū)間， (Φμ)μ∈J是定義在空間H上的一列C1泛函并且有如下形式

Φμ(u)=A(u)-μB(u),?μ∈J

式中，B(u)≥0，?u∈H。當(dāng)‖u‖→∞時，B(u)→+∞或者A(u)→+∞。如果存在v1、v2∈H，使得對任意的μ∈J，有

式中，Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=v1,γ(1)=v2}則對幾乎處處的μ∈J，存在序列{vn}?H滿足：

(Ⅰ){vn}是有界的；

(Ⅱ)Φμ(vn)→c(μ)；

(Ⅲ)在H的對偶空間中Φ′μ(vn)→0。

為應(yīng)用命題1尋找系統(tǒng)(1)的正能量解，構(gòu)造近似問題

引理4設(shè)(g1)成立，則

(Ⅰ)存在ρ0、t0>0和滿足‖e‖>t0的函數(shù)e∈H使得對任意的‖u‖=t0,Φμ(u)≥ρ0成立；Φμ(e)<0,其中μ∈[1/2,1]；

(Ⅱ)對任意的μ∈[1/2,1]，有

式中Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,γ(1)=e}。

證明

注意到θ>3，存在與μ∈[1/2,1]無關(guān)且充分大的常數(shù)t0>0，使得Φμ(wt0)<0對μ∈[1/2,1]一致成立。所以取e=wt0，(Ⅰ)得證。

(Ⅱ)由cμ的定義可知，對μ∈[1/2,1]有cμ≥c1≥ρ0>0，其中ρ0>0由(Ⅰ)給定，既然Φμ(0)=0且Φμ(e)<0對μ∈[1/2,1]一致成立，則(Ⅱ)得證。證畢。

0<ρ0≤Φμk(uk)=cμk≤c1/2

(5)

對任意的k∈N，有

Φ′μk(uk)=0

(6)

在定理1的假設(shè)條件中，仿照文獻(xiàn)[13]的方法，可以證明uk滿足下列Pohozaev恒等式

下面證明序列{uk}的有界性，有如下引理。

引理5在定理1的條件下，{uk}在H中有界。

證明將證明分為兩步。

步驟1 證明{‖uk‖2}有界。

這里ο(1)表示k→+∞時的無窮小量。解上述方程組可得

Bk=4(3Dk-Ek)+ο(1)

結(jié)合(f3)，由于θ>3，則當(dāng)k充分大時Bk<0,此時與(V3)矛盾，所以{‖uk‖2}有界。

定理1的證明由引理3知，u0為系統(tǒng)(1)的負(fù)能量解；由引理5和μk→1易知，{uk}是I=Φ1的有界(P.S)序列，再由H緊嵌入到Lp(20。證畢。

4 定理2的證明

本節(jié)中，定義變分泛函為IV：HV→R。

為證明定理2，給出如下定義。

定義1((P.S)c條件) 設(shè)I∈C1(E,R)，其中E是Hilbert空間。如果一序列{un}?E滿足I(un)→c且I′(un)→0，則稱序列{un}在水平c上是一(P.S)序列，記為(P.S)c序列。如果任何(P.S)c序列包含一個收斂子序列，則稱I滿足(P.S)c條件。

定義2((sP.S)c條件[11]) 設(shè)I∈C1(E,R)，E是一Hilbert空間，I滿足(P.S)c條件。若序列{un}?E滿足：

(Ⅱ)存在實(shí)數(shù)λn，使得

則稱序列{un}在水平c上是一對稱(P.S)c序列，記為(sP.S)c序列。如果任何(sP.S)c序列在E中包含一收斂子序列，則稱I滿足(sP.S)c條件。

命題2(對稱山路引理[11])I是一C1泛函，在Hilbert空間HV=X⊕Y上滿足(sP.S)c條件且dim(X)<∞，設(shè)I(0)=0且滿足：

(Ⅰ)存在ρ>0和α≥0使得infI(Sp(Y))≥α；

則I具有一趨于無窮的臨界值序列。

定理2的證明將分為下面3個引理。

引理6設(shè)(V4)和(f4)成立，則泛函IV滿足(sP.S)c條件。

證明先證IV對任意的c滿足(P.S)c條件。設(shè){un}為一(P.S)c序列，結(jié)合(f5)則有

(7)

故‖un‖有界，再由(f4)、引理1與H?lder不等式易知

N(un)→N(u),〈N′(un),v〉→〈N′(u),v〉,?v∈HV

結(jié)合Nemytski算子的連續(xù)性[14]易推導(dǎo)出{un}的強(qiáng)收斂性。證畢。

由HV嵌入到L2的緊性，特征值問題

具有一趨于無窮的特征值序列，記為0<λ1≤λ2≤…≤λk≤…，設(shè)ek表示特征值為λk時對應(yīng)的特征函數(shù)。

引理7設(shè)(f1)～(f2)成立，則對足夠大的k0∈N，存在ρ0>0，使得對?u∈Y:=span{ek;k≥k0}，當(dāng)‖u‖=ρ0時，IV(u)≥1。

證明令A(yù)=‖g‖2，因?yàn)镹(u)≥0，由式(3)再結(jié)合H?lder不等式，則對u∈Y有

式中，r=3-θ/2>0。

引理8設(shè)(f5)成立，令X=span{ej;jρ，使得supIV(SRn(En))≤0。

證明由引理3得

N(u)≤C1‖u‖4

則對u∈En和R>0，由(f5)，有

由于θ>4，再由有限維空間范數(shù)的等價性，可得結(jié)論。證畢。

定理2的證明由引理6～8，可知所有關(guān)于命題2的條件滿足，所以得到IV具有一趨于無窮大的臨界值序列，從而系統(tǒng)(1)具有無窮多解。

至此，定理1和定理2已全部證明。