廖秋雨，張煜熔，吳智杭，葉 婷，張克非

(1.西南科技大學(xué) 理學(xué)院，綿陽 621010；2.西南科技大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，綿陽 621010)

引 言

光子晶體(photonic crystal，PC)具有操縱光子和控制光波傳輸?shù)哪芰?，但光在其中傳播仍有一定的散射和損耗。將拓撲態(tài)引入光子系統(tǒng)中[1]，革新了傳統(tǒng)光波的傳輸和控制。受拓撲保護的光子器件具有強魯棒性，可對結(jié)構(gòu)缺陷免疫，但由于衍射極限的存在使得器件的微型化受到工程限制。石墨烯是由單層碳原子經(jīng)sp2雜化組成的新型2維納米材料[2]，具有獨特的電學(xué)和光學(xué)特性[3-5]，可充當一種實現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)的理想平臺，在納米量級尺度上實現(xiàn)拓撲保護的光子態(tài)。表面等離子體有很強的局域性，可突破衍射極限，為實現(xiàn)納米尺寸的光電器件和全光集成電路提供了可能[6-9]。與傳統(tǒng)的貴金屬相比，將石墨烯作為表面等離激元材料不僅成本更低，還具有可調(diào)性等許多優(yōu)點。

2009年，OCHIAI等人[10]在石墨烯蜂窩晶格光子晶體中討論了狄拉克點、拓撲邊界等內(nèi)容，并研究了其拓撲相變。2013年，KHANIKAEV等人[11-12]通過實驗使2維光子拓撲絕緣體和光的量子自旋霍爾效應(yīng)得以實現(xiàn)。2015年，CONSTANT等人[13]在石墨烯中通過紅外光的近場散射激發(fā)表面等離子體激元。2016年，SLOBOZHANYUK等人[14]設(shè)計了一種超材料光子晶體，具有工程各向異性，實現(xiàn)了拓撲保護態(tài)，并證明了拓撲結(jié)構(gòu)下的強魯棒性和無背向散射的特性。2017年，MA等人[15]用數(shù)值方法研究了石墨烯和1維光子晶體的復(fù)合結(jié)構(gòu)對光波的吸收屬性，發(fā)現(xiàn)復(fù)合結(jié)構(gòu)吸收譜具有類似1維光子晶體通帶結(jié)構(gòu)的吸收帶結(jié)構(gòu)。2018年，LU等人[16]基于3-D磁性Weyl光子晶體，設(shè)計了一種單向光纖的傳輸模式，通過打破了時間反演對稱性，實現(xiàn)了拓撲保護。同年，SONG[17]基于石墨烯提出了拓撲光子晶體平板結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)拓撲邊界態(tài)并驗證其魯棒性，證明了此結(jié)構(gòu)在60THz～120THz范圍的可調(diào)諧性。2019年，GAO等人[18]實現(xiàn)了光子晶體拓撲邊界態(tài)光子自旋引導(dǎo)機制的光波導(dǎo)，有效提高了波導(dǎo)的傳輸效率，加強了波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的光子局域性，抑制背向散射，實現(xiàn)魯棒性好的單向拓撲傳輸。2020年，HAN等人[19]基于石墨烯在中紅外和太赫茲波段可以產(chǎn)生表面等離激元，設(shè)計了一種共振可調(diào)結(jié)構(gòu)，從而在納米尺度上有效控制石墨烯與光的相互作用。同年，BI等人[20]發(fā)明了一種硅基集成基于拓撲保護機理的光隔離器件，通過拓撲平臺結(jié)構(gòu)，有效減小了器件體積，且具有較小損耗等優(yōu)勢。

綜上所述，光學(xué)拓撲態(tài)的實現(xiàn)可更好地控制光在特定通道內(nèi)進行傳播，同時具有高傳輸效率和低損耗的優(yōu)勢，引入石墨烯等離子體為把光集中在納米尺度進行研究提供了依據(jù)。本文中基于石墨烯等離子體，提出一種新型2維光子晶體結(jié)構(gòu)，通過調(diào)節(jié)一個周期內(nèi)兩個石墨烯圓盤的直徑大小，最終實現(xiàn)拓撲邊界傳輸態(tài)。研究結(jié)果可為在納米量級設(shè)計具有對結(jié)構(gòu)缺陷免疫的可調(diào)諧光子傳輸器件提供理論依據(jù)，給光學(xué)器件領(lǐng)域的研究注入新的活力。

1 理論分析與計算

空間反演對稱性和時間反演對稱性保護著狄拉克錐，但當任意一個被破壞時，狄拉克簡并將被打開，產(chǎn)生拓撲帶隙。

量子霍爾效應(yīng)基于時間反演對稱性被破壞，用第一陳數(shù)C來描述此系統(tǒng)情況下的拓撲性質(zhì)，其表征整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的拓撲不變量，它只能在能隙閉合的地方才會改變。引入Z2不變量[10]表征具有時間反演對稱性系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)：

(1)

式中，k是波矢,A(k)是貝里聯(lián)絡(luò)，Ω(k)是貝里曲率，B+表示半個布里淵區(qū)[21]，?B+為沿著半個布里淵區(qū)B+的邊界，dl表示在半個布里淵區(qū)里的路徑積分微元，mod 2表示除以2取余數(shù)，Z2=0為普通絕緣體，Z2=1為拓撲絕緣體。

在霍爾電導(dǎo)實驗中，垂直電導(dǎo)Rxx=零，霍爾電阻Rxy確定為定值量子化常數(shù)RH=h/ve2，v為填充數(shù)。對于整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，霍爾電導(dǎo)為：

(2)

式中，h是普朗克常數(shù)，e是電子電荷，N為正整數(shù)。

本文中采取調(diào)節(jié)石墨烯圓盤的直徑大小來破壞晶格的時間反演對稱性來打開狄拉克點，獲得拓撲帶隙，產(chǎn)生具有免疫結(jié)構(gòu)缺陷和背向散射的拓撲邊界保護態(tài)。

為控制同一周期內(nèi)兩個石墨烯圓盤的化學(xué)勢一致，運用單層石墨烯上橫向磁(transverse magnetic，TM)模的色散關(guān)系，在的非延遲體系中β?k0，即：

(3)

式中，εair=1，εSiO2=3.9，分別是空氣和二氧化硅的介電常數(shù)，對應(yīng)于本研究中的表層材料和基底材料，ε0是自由空間的真空介電常數(shù)，k0=ω/c為自由空間中的波數(shù)，β是在表面等離子體激元在石墨烯層上的傳播常數(shù)，σg為石墨烯的表面電導(dǎo)率，ω是等離激元的角頻率，c是光速。

而石墨烯的帶間電導(dǎo)率為：

(4)

由上式可知，可通過施加外部電壓來控制兩個石墨烯圓盤的化學(xué)勢保持相同?；诳刂谱兞糠?，僅調(diào)節(jié)兩個石墨烯圓盤的直徑大小來破壞時間反演對稱性。

2 石墨烯光子晶體結(jié)構(gòu)

本文中提出一種周期性蜂窩狀石墨烯表面等離激元光子晶體結(jié)構(gòu)。通過設(shè)置晶格常數(shù)a=50nm，石墨烯圓盤直徑d=0.42a，石墨烯圓盤圓心之間的距離R=31/2a/3，構(gòu)建出三角晶格的六格點原胞，如圖1中正六邊形所示，蜂巢晶格的初始兩格點原胞如圖1中菱形所示。為增加對稱性，提高簡并度，以包含兩個石墨烯盤的菱形晶格為一個周期。其中3-D基底可采用SiO2材料，平面上的基底為石墨烯等離子體，周期性排列于基底上的圓盤均為石墨烯材料，共同組成蜂巢光子晶體結(jié)構(gòu)。

Fig.1 Graphene plasmon honeycomb photonic crystal structure diagram

如圖2所示，是三角晶格原胞結(jié)構(gòu)，在倒格矢空間相對應(yīng)的布里淵區(qū)(Brillouin zone，BZ)如圖3所示，Γ-M-K-Γ所圍成的區(qū)域作為不可約布里淵區(qū)。

Fig.2 Structure of primitive cell

Fig.3 Establishment of the BZ

3 仿真與分析

3.1 直徑調(diào)節(jié)與能帶拓撲效應(yīng)

對石墨烯等離激元光子晶體結(jié)構(gòu)的研究中發(fā)現(xiàn)，石墨烯圓盤的大小可打開狄拉克點，對帶隙進行改變，可實現(xiàn)能帶拓撲效應(yīng)。本小節(jié)中將研究直徑調(diào)節(jié)與能帶拓撲效應(yīng)的關(guān)系，將菱形晶格中的兩個石墨烯圓盤直徑分別設(shè)置為d1(左)和d2(右)，如圖4所示。

Fig.4 Graphene disks diameter setting

將背景基底的石墨烯等離激元的化學(xué)勢μ3設(shè)置為0.62eV，同一周期內(nèi)的兩個石墨烯圓盤化學(xué)勢保持一致，設(shè)置μ1=μ2=0.4eV，即δμ=0，避免化學(xué)勢差值對仿真結(jié)果的影響，其中，μ1和μ2分別是以d1和d2為直徑的石墨烯圓盤化學(xué)勢。當d1=d2=0.42a，即δd=0時，仿真分析得其光場分布與能帶結(jié)構(gòu)如圖5所示。

Fig.5 Light field distribution and band structure

如圖5b所示，能帶圖中不存在帶隙，但在布里淵區(qū)角點K/K′相交形成的錐形色散，即狄拉克錐;D點為二重簡并點，被稱作狄拉克點。

當兩石墨烯圓盤直徑d1=0.4a，d2=0.44a時，仿真結(jié)果如圖6所示。狄拉克點被成功打開，在15.3THz～15.8THz頻率范圍內(nèi)，獲得間隙為0.5THz的帶隙。

Fig.6 Light field distribution and band structure

當兩石墨烯圓盤直徑d1=0.38a，d2=0.46a時，仿真結(jié)果如圖7所示?？梢姷依它c可仍被成功打開，在15.3THz～15.77THz頻率范圍內(nèi)，獲得間隙為0.47THz的帶隙。

Fig.7 Light field distribution and band structure

當兩石墨烯圓盤直徑d1=0.36a，d2=0.48a時，仿真結(jié)果如圖8所示?？梢姷依它c仍被成功打開，在15.3THz～15.75THz頻率范圍內(nèi)，獲得間隙為0.45THz的帶隙。

Fig.8 Light field distribution and band structure

此后還分別模擬分析d1=0.34a，d2=0.5a和d1=0.52a，d2=0.32a時的光場分布和能帶結(jié)構(gòu)，狄拉克點都可被成功打開，并分別獲得了0.4THz與0.38THz的帶隙。

3.2 動態(tài)可調(diào)諧分析

在第3.1節(jié)的研究分析中，基于周期內(nèi)石墨烯圓盤相同化學(xué)勢的狀態(tài)下，通過調(diào)節(jié)其石墨烯兩圓盤的大小能打開狄拉克點，實現(xiàn)能帶拓撲效應(yīng)，同時得到不同頻率范圍的帶隙。

當直徑差值δd分別于0.04a，0.08a，0.12a，0.16a，0.2a動態(tài)變化時，分別打開了位于15.3THz～15.8THz，15.3THz～15.77THz，15.3THz～15.75THz，15.3THz～15.7THz，15.5THz～15.688THz范圍內(nèi)的帶隙?；谏鲜鲅芯浚瑢斗秶烷g隙大小的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。

由圖9和圖10可見，當一個周期內(nèi)的兩個石墨烯圓盤的直徑大小差值逐漸增加時，帶隙頻率范圍逐漸下移，通過直徑差值于0.04a～0.2a間以步長為0.04a進行調(diào)節(jié)，在頻率范圍15.3THz～15.8THz間實現(xiàn)可調(diào)諧。隨著圓盤大小差值增大，獲得帶隙寬度逐漸變窄。

Fig.9 Relationship between disc size adjustment and gap

Fig.10 Region of band gap change

實驗表明，通過調(diào)節(jié)石墨烯圓盤的直徑，可在保持化學(xué)勢不變的狀態(tài)下，實現(xiàn)石墨烯拓撲光電子器件在15.3THz～15.8THz頻段的工作范圍。

4 結(jié) 論

拓撲效應(yīng)革新了光子晶體中傳統(tǒng)光學(xué)傳輸?shù)恼J知，在光子學(xué)領(lǐng)域具有巨大潛力。本文中提出一種新型石墨烯的等離激元光子晶體表面結(jié)構(gòu)，基于石墨烯圓盤直徑大小的調(diào)節(jié)，實現(xiàn)在15.3THz～15.8THz頻段內(nèi)動態(tài)調(diào)制，具有工作的靈活性。理論計算分析表明，相較于普通的拓撲光子器件，引入了石墨烯后，可有效提高光傳播性能；晶格常數(shù)及模式體積均降至納米量級，比自由空間波長小了近30倍，為納米量級的高集成度光電子傳輸器件的設(shè)計提供全新而有價值的理論依據(jù)。

作者下一步將在本文中提出的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，設(shè)想一種拓撲邊界傳輸通道的方案。為更大程度地實現(xiàn)器件的靈活性和可重構(gòu)性，通過調(diào)節(jié)以圖1菱形為周期的兩個石墨烯圓盤的直徑大小，于兩個石墨烯圓盤中間的結(jié)構(gòu)表面構(gòu)建通道，局域特定頻段的電磁波，實現(xiàn)拓撲邊界傳輸。

關(guān)于動態(tài)控制的工作方式，提出控制通斷的光開關(guān)功能：基于上述提出的通道，研究石墨烯圓盤的直徑差值，設(shè)計實現(xiàn)通道打開的樞紐：當一個周期內(nèi)兩個石墨烯圓盤的面積存在差值時，該通道為導(dǎo)通狀態(tài)；當直徑差值恢復(fù)為0時，通道關(guān)閉。