函數(shù)中端點(diǎn)值為零的不等式恒成立問(wèn)題解決策略

張 裕 魯 倩

(江蘇省句容高級(jí)中學(xué) 212400)

恒成立問(wèn)題中，我們常常能見(jiàn)到類(lèi)似命題“對(duì)于任意的x∈[a,+∞)，都有f(x)≥0成立.”如果注意觀察的話，有一類(lèi)題目是端點(diǎn)值f(a)=0.這類(lèi)題型在高考中也經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，下面我們結(jié)合具體題目來(lái)深刻理解此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，從而進(jìn)一步培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、函數(shù)在端點(diǎn)處為零，但導(dǎo)函數(shù)在端點(diǎn)處不為零

例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)).若不等式x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

注意此題當(dāng)a>2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)在端點(diǎn)處f′(1)=2-a<0，此種類(lèi)型題目若用分離變量方法去做，勢(shì)必要用到高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則，而洛必達(dá)法則不屬于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容，因此建議此種類(lèi)型題目不要用分離變量方法去做，而是采取上述方法去解決.

二、函數(shù)在端點(diǎn)處為零，且導(dǎo)函數(shù)在端點(diǎn)處也為零

例2(2020全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

解(1)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.

則當(dāng)x∈(0,ln3)時(shí)，h′(x)

可證t(x)在[0,+∞)最小值為tmin(x)=t(0)=t(2)=0，則t(x)≥0，所以h(x)≥0.

因?yàn)閑x≥x+1(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0成立)，所以x∈(0,+∞)時(shí)，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減.

函數(shù)中端點(diǎn)值為零的不等式恒成立問(wèn)題，主要有以上兩種題型.當(dāng)我們遇到此種題型時(shí)，要根據(jù)上面的解題策略，快速判斷是哪一種題型.總之，在平常教學(xué)中要讓學(xué)生快速抓住這種數(shù)學(xué)題型本質(zhì)，直擊此問(wèn)題核心，這樣就會(huì)使學(xué)生的思維活躍起來(lái)，從而真正去培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生的解題能力.