改進(jìn)的猶豫模糊語言熵的一般公式與生成算法

黃 林，袁修久

空軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，西安710051

在實際決策中，由于問題的繁雜性和認(rèn)識的局限性，專家用定性的語言術(shù)語進(jìn)行方案評價可能更為直觀易懂。Zadeh[1]首先提出了模糊語言法，用自然語言來表達(dá)人們的定性決策信息。借鑒Torra[2]提出的猶豫模糊集，Rodriguez等[3]提出了猶豫模糊語言術(shù)語集的概念，其語言變量的取值為語言術(shù)語集的一個有序且連貫的子集。Rodriguez等[4]研究了猶豫模糊語言術(shù)語集的基本運(yùn)算性質(zhì)，給出了將自然語言轉(zhuǎn)化為猶豫模糊語言術(shù)語集的方法。Liao等[5]給出了猶豫模糊語言術(shù)語集的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，并研究了其相關(guān)系數(shù)。Wang等[6]拓展了猶豫模糊語言術(shù)語集的概念，取消了語言術(shù)語項必須連續(xù)的限制，提出了擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的概念。

猶豫模糊語言信息基于人們給出的語言術(shù)語，靈活、全面地反映決策者的真實偏好，廣泛應(yīng)用于項目管理、能力評估[7]、模式識別[8]、醫(yī)療診斷[5]、多屬性決策[9-10]等領(lǐng)域。為了刻畫猶豫模糊語言信息的不確定性，猶豫模糊語言術(shù)語集的信息測度被引入到了多屬性決策等應(yīng)用中。猶豫模糊語言信息測度，包括距離、相似度和熵等。猶豫模糊語言術(shù)語集的相似度主要用來識別和評價不同的猶豫模糊語言信息。猶豫模糊語言術(shù)語集的熵主要用來度量猶豫模糊語言信息的不確定性程度。

目前，一些學(xué)者對猶豫模糊語言術(shù)語集的信息測度進(jìn)行了研究。Liao等[11]提出了一系列猶豫模糊語言術(shù)語集的距離和相似度；Farhadinia[12]研究了猶豫模糊語言術(shù)語集的熵、相似度和距離間的關(guān)系，提出了猶豫模糊語言術(shù)語集的熵、相似度和距離的具體公式；Tang等[13]研究了猶豫模糊語言術(shù)語集的包含測度及其在聚類算法中的應(yīng)用；Gou等[14]研究了猶豫模糊語言術(shù)語集與猶豫模糊集的關(guān)系及轉(zhuǎn)換函數(shù)，提出了多種猶豫模糊語言術(shù)語集的熵和交叉熵。

然而，現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵?zé)o法區(qū)分與補(bǔ)集相等的猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性，并且在刻畫猶豫模糊語言信息的不確定性時，對猶豫性考慮得相對較少，從而無法全面反映猶豫模糊語言信息的不確定性。

為了克服現(xiàn)有擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵的不足，本文改進(jìn)了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集熵的定義，從模糊性和猶豫性兩方面來刻畫擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性，根據(jù)文獻(xiàn)[14]的猶豫模糊語言術(shù)語集與猶豫模糊集的關(guān)系及轉(zhuǎn)換函數(shù)，分別定義了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵和猶豫熵，給出了模糊熵和猶豫熵的一般公式與生成算法。并且為了描述擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的整體不確定性，定義了一個擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的總熵。

1 猶豫模糊語言術(shù)語集

定義1[15]設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，τ為正整數(shù)。其中，中間項語言術(shù)語s0表示評估值為“無偏差”，剩下的語言術(shù)語對稱地分布于中間項的兩邊，s-τ和sτ為該語言術(shù)語集的下界和上界。并且語言術(shù)語集S滿足：sk

例如評價方案的好壞時，當(dāng)τ=3，下標(biāo)對稱的七值語言術(shù)語集S可取：

定義2[15]設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，Hs={|xj∈X}為論域X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊語言術(shù)語集（Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set，HFLTS）。其中hs(xj)={s(i)(xj)|s(i)(xj)∈S,i=1,2,…,lj},lj為hs(xj)中語言術(shù)語的個數(shù)，hs(xj)為S中的一組連續(xù)的語言術(shù)語集合。稱hs(xj)為猶豫模糊語言術(shù)語元（Hesitant Fuzzy Linguistic Element，HFLE）。δi為語言術(shù)語s(i)(xj)的下標(biāo)。

文獻(xiàn)[14]研究了猶豫模糊語言術(shù)語元和猶豫模糊元（Hesitant Fuzzy Element，HFE）兩者間的關(guān)系，定義了HFE與HFLE的兩個等價變換函數(shù)。

定義3[14]設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是語言術(shù)語集，hs={st|t∈[-τ,τ]}是一個HFLE，hγ={γ|γ∈[0,1]}是一個HFE，與語言變量st等價信息的隸屬度γ由以下函數(shù)獲得：

另外，通過以下函數(shù)得到與隸屬度γ等價信息的語言變量st：

其中，P([0,1])是[0,1]的冪集。

定義4[14]設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，hs(x)={s(i)|i=1,2,…,lx}是一個HFLE，則稱hˉs(x)=為hs的補(bǔ)。

擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集（Extended HFLTS，EHFLTS）的定義與HFLTS的定義類似，區(qū)別在于擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語元（Extended HFLE，EHFLE）中的語言術(shù)語項取消了必須連續(xù)的限制。并且EHFLTS同樣滿足定義3和定義4。

為了便于計算擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵和相似度，本文進(jìn)行以下假設(shè)：

（1）一個EHFLE為hs(xj)，將hs(xj)中的語言術(shù)語按升序排列，s(i)(xj)表示hs(xj)中從小到大的第i個語言術(shù)語。

2 現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵的不足

本文指出了現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵存在的不足，并通過數(shù)值例子進(jìn)行說明。

在文獻(xiàn)[14]中，Gou等提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵公式如下：

然而Gou等[14]提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵存在一些不足，下面通過例1詳細(xì)說明。

例1設(shè)S={st|t=-3,-2,-1,0,1,2,3}為一個語言術(shù)語集是論域X={x1,x2}上的兩個EHFLTS：

利用提出的熵公式得出：

例1說明了現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵公式，不能區(qū)分那些與補(bǔ)集相等的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性，會出現(xiàn)與實際不相符的情況。

此外，在文獻(xiàn)[12]中，F(xiàn)arhadinia提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵公式如下：

Farhadinia[12]提出的猶豫模糊語言術(shù)語集的熵公式，在刻畫猶豫模糊語言信息的猶豫度方面也存在著不足，不能全面地反映某些猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性。下面通過例2詳細(xì)說明。

例2設(shè)S={st|t=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}為一個語言術(shù)語集是論域X={x1,x2}上的兩個EHFLTS：

例2說明了現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵對猶豫模糊語言信息中的猶豫性考慮得相對較少，無法全面刻畫出猶豫模糊語言信息的不確定性，會出現(xiàn)結(jié)果與人們直覺不相符的情況。

3 改進(jìn)的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵

現(xiàn)有的熵公式主要是根據(jù)文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[12]中的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵的公理化定義構(gòu)造的，而現(xiàn)有熵公式的不足的根源是熵的公理化定義存在缺陷。

因此，為了克服現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集熵的定義的缺陷，借鑒猶豫模糊元的二元熵[16]的思想，從模糊性和猶豫性兩方面來刻畫擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性，分別提出了擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵和猶豫熵的公理化定義和一般公式。

3.1 擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵

模糊熵的本質(zhì)是刻畫擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊性，反映決策信息的模糊程度。根據(jù)定義3，給出了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵的公理化定義。

定義5設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE。若EF:Hs→[0,1]滿足：

則稱EF(Hs)為擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集Hs的模糊熵。

3.2 擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集模糊熵的一般公式

基于擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵的公理化定義，提出擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集模糊熵的一般公式。

定理1設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的一個EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，設(shè)

其中cj為正實數(shù)，fi:[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足：

（1）?x,y∈[0,1],fi(1-x,1-y)=fi(y,x)；

（2）fi(0,0)=0；

（3）fi分別關(guān)于x,y在[0,0.5]上嚴(yán)格遞增。

證明（1）若?x∈X,當(dāng)g(hs(x))={0},即g(s(i)(x))=0，或者當(dāng)g(hs(x))={1},即g(s(i)(x))=1,由于fi(0,0)=fi(1,1)=0，有

由EF(Hs)的定義，且D(0)=0，有

反之，當(dāng)EF(Hs)=0，有

由D:[0,a]→[0,1]嚴(yán)格遞增，D(0)=0，有

由fi(0,0)=fi(1,1)=0,有g(shù)(s(i)(xj))=g(s(lj-i+1)(xj))=0,i=1,2,…,lj,即g(hs(x))={0}；或者g(s(i)(xj))=g(s(lj-i+1)(xj))=1,i=1,2,…,lj,即g(hs(x))={1}。

（2）當(dāng)?x∈X，g(hs(x))={0.5}時，有

反之，當(dāng)EF(Hs)=1，有

由D:[0,a]→[0,1]嚴(yán)格遞增，D(a)=1，有

可得EF(Hs)=EF(Hˉs)。證畢。

選取不同的函數(shù)fi和D，可以構(gòu)造多種擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵公式。滿足定理1條件的函數(shù)fi(x,y)和D(x)如下：

基于提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵的一般公式，給出擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵的生成算法，步驟如下：

（1）選取具體的函數(shù)fi(x,y)和D(x)；

（2）驗證函數(shù)fi(x,y)和D(x)是否滿足定理1的條件；

（3）由定理1的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集模糊熵的一般公式，生成具體的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵公式。

利用本節(jié)提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵公式，計算例1中的兩個擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵，結(jié)果如表1所示。

表1 不同的模糊熵公式對應(yīng)的的熵值Table 1 Entropy values of and corresponding to different fuzzy entropy formulas

表1 不同的模糊熵公式對應(yīng)的的熵值Table 1 Entropy values of and corresponding to different fuzzy entropy formulas

?

由表1可以看出，無論采用哪種模糊熵公式，H1s的模糊熵都大于H2s的模糊熵，這與人們的直覺也是相一致的。

因此，本節(jié)提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵很好地克服現(xiàn)有的熵的不足，充分反映了猶豫模糊語言信息的模糊程度，可以很好地區(qū)分與補(bǔ)集相等的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性。

3.3 擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵

猶豫熵的本質(zhì)是刻畫擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語元中的元素的離散程度，反映決策時專家評估的猶豫程度。擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語元中的元素越分散，猶豫熵越大；反之，則猶豫熵越小。

參照文獻(xiàn)[17]，本文給出了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵的公理化定義。

定義6設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE。若EH:H(S)→[0,1]滿足：

則稱EH(Hs)為擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集Hs的猶豫熵。

3.4 擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集猶豫熵的一般公式

基于擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵的公理化定義，提出了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集猶豫熵的一般公式。

定理2設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，設(shè)

其中cj為正實數(shù)[0,1]滿足：

（1）fi(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（2）fi(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng){0,1}?{x,y}≠?；

（3）fi(x,y)=fi(1-y,1-x)；

（4）fi(x,y)≥fi(α,β)，若[0,1]。

證明（1）若?x∈X,g(hs(x))={m},其中m(0≤m≤1)為實數(shù)，有g(shù)(s(i)(xj))=(s(k)(xj))=m,i,k=1,2,…,lj；由fi(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y，有

由G(0)=0，有EH(Hs)=G(0)=0。

反之，當(dāng)EH(Hs)=0，有

由G:[0,a]→[0,1]嚴(yán)格遞增，且G(0)=0，得

由fi(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y，可得出

即?x∈X，g(hs(x))={m}，其中0≤m≤1為實數(shù)。

（2）若?x∈X,g(hs(x))={0,1}，fi(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)且G(a)=1，有EH(Hs)=G(a)=1。

反之，若EH(Hs)=1，有

由G:[0,a]→[0,1]嚴(yán)格遞增，且G(a)=1，有

若lj=2，由條件（2）可得到g(s(1)(xj))=0,g(s(2)(xj))=1，即g(hs(x))={0,1}。若lj≥2,假設(shè)lj=3,可得

則由前兩式有g(shù)(s(1)(xj))=0,g(s(2)(xj))=1,g(s(3)(xj))=1,并由第三式有g(shù)(s(2)(xj))=0,g(s(3)(xj))=1，由此得到的結(jié)果前后不一致。同樣地，可以證得lj>3時，其得到的結(jié)果也是前后不一致的。因此，只能取lj=2，即證得

則EH(Hs)=EH(Hˉs)。證畢。

選取不同的函數(shù)fi和G，可以構(gòu)造多種擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵公式。滿足定理2條件的函數(shù)fi(x,y)和G(x)如下：

此外，還可以利用一個一元函數(shù)來構(gòu)造滿足定理2的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵公式。

定理3設(shè)為一個語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語元，設(shè)

（1）M(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0；

（2）M(x)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=1；

（3）M在[0,1]上單調(diào)遞增。

定理3的證明過程與定理2的證明過程類似。其中，令f(x,y)=M(| |x-y)，0≤f(x,y)≤1，則f(x,y)滿足定理2中的條件。即證得EH(Hs)為擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集Hs的猶豫熵。

選取不同的函數(shù)M和G，可構(gòu)造出多種擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵公式。

綜上，依據(jù)定理2、定理3可以給出猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵的生成算法。

下面給出基于定理2的猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵的生成算法步驟：

（1）選取具體的函數(shù)fi(x,y)和G(x)；

（2）驗證fi(x,y)和G(x)是否滿足定理2的條件；

（3）由定理2提出的猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵的一般公式，生成具體的猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵公式。

基于定理3的猶豫模糊語言術(shù)語集猶豫熵的生成算法步驟與定理2的類似。

利用本節(jié)提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的猶豫熵公式，計算例2中的兩個擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的熵，結(jié)果如表2所示。

表2 不同的猶豫熵公式對應(yīng)的的熵值Table 2 Entropy values of corresponding to different hesitant entropy formulas

表2 不同的猶豫熵公式對應(yīng)的的熵值Table 2 Entropy values of corresponding to different hesitant entropy formulas

?

由表2可以看出，與熵公式Ed1的結(jié)果不同，無論采用哪種猶豫熵公式，H4s的猶豫熵都大于H3s的猶豫熵，這與人們的直覺也是相一致的，很好地區(qū)分了不同的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性。

因此，本節(jié)提出的猶豫熵充分考慮了猶豫模糊語言信息中的猶豫性，能夠很好地克服傳統(tǒng)的猶豫模糊語言術(shù)語集熵的不足，充分刻畫了專家決策時的猶豫程度。

3.5 擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的總熵

為了描述猶豫模糊語言信息的整體不確定性，參照文獻(xiàn)[18]，給出了一個擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的總熵。

定義7設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是一個語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，EF(Hs)為Hs的模糊熵，EH(Hs)為Hs的猶豫熵，若EC(Hs)滿足：

（1）EC(Hs)=0，當(dāng)且僅當(dāng)?x∈X，g(hs(x))={1}或g(hs(x))={0}；

（2）EC(Hs)=1，當(dāng)且僅當(dāng)?x∈X或

（4）EC(Hs)=EC(Hˉs)。

則稱EC(Hs)為擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的總熵。

根據(jù)擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集總熵的公理化定義，提出了擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集總熵的一般公式。

定理4[19]設(shè)S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是語言術(shù)語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，EF(Hs)為Hs的模糊熵，EH(Hs)為Hs的猶豫熵，設(shè)

并且F:[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足：

（1）F(x,y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0；

（2）F(1,0)=F(0,1)=1，F(xiàn)(x,y)=F(y,x)；

（3）F分別關(guān)于x,y在[0,1]上嚴(yán)格遞增。

則EC為擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的總熵。

注F(1,1)是無意義的，因為F(1,1)不能取到。

容易證得提出的總熵滿足其公理化定義。選取不同的函數(shù)F，可構(gòu)造出具體的總熵公式。

（1）當(dāng)F(x,y)=max(x,y)時，有

（2）當(dāng)F(x,y)=min(x+y,1)時，有

（3）當(dāng)F(x,y)=x+y-xy時，有

4 基于猶豫模糊語言熵的多屬性決策應(yīng)用

4.1 教授晉升的優(yōu)選評估實例

某高校有一個晉升教授的名額，現(xiàn)有5位候選教師A1,A2,A3,A4,A5參與評選。分別從政治表現(xiàn)及工作態(tài)度M1、教學(xué)水平M2、外語水平M3、科研水平M4這4個屬性來對這5位教師進(jìn)行評價。

該高校邀請了相關(guān)領(lǐng)域的具有豐富專業(yè)背景、經(jīng)驗以及知識水平的專家，對候選對象進(jìn)行評價。評價因素較多，為了全面準(zhǔn)確地評價，采用擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語元來反映專家的評估信息。

為了更好地表達(dá)專家對評選對象的評價，列出評價語言術(shù)語集S={s-3,s-2,s-1,s0,s1,s2,s3}，其分別表示評價為“很差”“差”“較差”“一般”“較好”“好”“很好”。專家對5位候選對象的評價信息如表3所示。

表3 猶豫模糊語言術(shù)語集評價信息Table 3 Evaluation information of hesitant fuzzy linguistic term set

參照文獻(xiàn)[12]，本文采用猶豫模糊語言術(shù)語集的多屬性決策模型處理教授晉升的優(yōu)選評估問題。

首先，計算評價對象各屬性的權(quán)重。利用本文提出的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵公式，分別從模糊熵和猶豫熵兩方面來描述不確定性，得到各屬性的總熵值。選取，求得各屬性的總熵值Ec(Mj)。

將求得的各屬性的總熵值Ec(Mj)，代入熵權(quán)法公式計算出各屬性的權(quán)重，如表4所示。

表4 各屬性的熵值和權(quán)重Table 4 Entropy and weight of each attribute

根據(jù)專家的評價信息，考慮到屬性M1,M2,M3,M4都為利益型，得到正理想解和負(fù)理想解分別為：

利用猶豫模糊語言術(shù)語集的相似度公式S[14]，計算各方案Ai(i=1,2,…,m)分別與負(fù)理想解和正理想解間的加權(quán)相似度

參照多屬性決策中的滿意度公式[20]，給出了考慮決策者風(fēng)險偏好的貼近度公式，計算各個方案與理想解之間的相對貼近度。各方案貼近度的結(jié)果如表5所示。

表5 各方案與理想解間的加權(quán)相似度和相對貼近度Table 5 Weighted similarity and relative closeness between each scheme and ideal solution

其中，θ(0≤θ≤1)表示風(fēng)險偏好系數(shù)。θ>0.5時，表示決策者是風(fēng)險接受型；θ<0.5時，表示決策者是風(fēng)險規(guī)避型；θ=0.5時，則表示為風(fēng)險均衡型。

由表5可以看出，各方案的貼近度的排序結(jié)果為A3?A2?A1?A5?A4，可知候選對象A3為最優(yōu)的晉升教授的人選。

在決策分析中，風(fēng)險偏好系數(shù)θ的不同可能會影響到?jīng)Q策的結(jié)果，本文進(jìn)一步分析決策結(jié)果對風(fēng)險偏好系數(shù)θ的敏感度。對于風(fēng)險偏好系數(shù)θ(θ∈[0,1])，取一定的變化步長(l=0.02)，各方案的相對貼近度隨風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化情況如圖1所示。

圖1 貼近度隨風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化Fig.1 Closeness change with risk preference coefficient θ

由圖1可以看出，盡管風(fēng)險偏好系數(shù)θ不斷變化，各方案的貼近度的排序結(jié)果始終是A3?A2?A1?A5?A4，與上述的決策結(jié)果是一致的。并且可以看出，各方案的貼近度的排序結(jié)果對于風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化不敏感。其中，隨著風(fēng)險偏好系數(shù)θ靠近0.5，各方案的貼近度的區(qū)分度越好；特別當(dāng)θ=0.5時，各方案的貼近度的排序區(qū)分情況最好。

采用熵權(quán)法來計算各屬性的權(quán)重，得出的各屬性權(quán)重較為客觀。但是當(dāng)決策者根據(jù)自身偏好選取不同的熵公式后，各屬性的權(quán)重可能會發(fā)生改變。為了確定決策結(jié)果是否具有一定的可靠性，下面將選取不同類型的擴(kuò)展猶豫模糊語言熵，對得到的決策結(jié)果進(jìn)行敏感度分析。

圖2 情況1的貼近度隨風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化Fig.2 Closeness change of Case 1 with risk preference coefficient θ

圖3 情況2的貼近度隨風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化Fig.3 Closeness change of Case 2 with risk preference coefficient θ

從圖2和圖3可以看出，隨著風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化，兩種情況下各方案的貼近度的排序結(jié)果沒有發(fā)生變化，說明了兩種情況下各方案的排序結(jié)果對風(fēng)險偏好系數(shù)θ的變化不敏感。

給定風(fēng)險偏好系數(shù)θ=0.5,分別取參數(shù)p=8,p=12,p=15,p=20，采用擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的模糊熵公式猶豫熵公式、總熵公式以及加權(quán)相似度公式S6計算得出各方案與理想解間的貼近度。四種參數(shù)p值下各方案貼近度的結(jié)果如圖4所示。

圖4 方案的貼近度隨參數(shù)p的變化Fig.4 Closeness change of scheme varies with parameter p

從圖4可以看出，分別取不同的參數(shù)p值時，四種情況下各方案的貼近度的排序結(jié)果沒有發(fā)生變化，都為A3?A2?A1?A5?A4。但是隨著參數(shù)p的變化，各方案的貼近度之間的差異更為明顯。特別當(dāng)參數(shù)p=20時，各方案之間的區(qū)分效果最好。

綜合上述結(jié)果，可以得出：盡管采用不同的熵公式，并考慮決策者不同的風(fēng)險偏好，但方案A3始終是最優(yōu)的方案。說明了最終決策結(jié)果具有一定的可靠性，可以選擇候選對象A3作為最后的晉升教授的人選。

4.2 對比分析

文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[12]提出了猶豫模糊語言術(shù)語集的多屬性決策方法。為了說明本文決策方法的可行性與有效性，下面將文獻(xiàn)[14]方法、文獻(xiàn)[12]方法與本文方法進(jìn)行對比分析。

首先，利用文獻(xiàn)[14]的猶豫模糊語言術(shù)語集的多屬性決策方法來進(jìn)行對比分析。

步驟1利用擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的熵和交叉熵公式[14]，計算評價對象各屬性的熵與交叉熵。然后，基于熵權(quán)法公式得出各屬性的權(quán)重為w=(0.269 0,0.362 4,0.122 5,0.246 1)T。

步驟2利用EHFLES的期望值和方差公式，在所有備選方案之間針對每個屬性進(jìn)行配對比較，可以建立相對于每個屬性的0-1優(yōu)先級關(guān)系矩陣。

步驟3根據(jù)步驟2的優(yōu)先級矩陣，計算出總體贊成權(quán)重w(Ai?Ak)，總體反對權(quán)重w(Ai?Ak)和總體無差異權(quán)重w(Ai=Ak)(i,k=1,2,…,m)。其中

步驟4計算關(guān)于方案對(Ai,Ak)的總體優(yōu)劣值。

其中，0≤?≤1，參數(shù)?表示(Ai=Ak)的重要程度。

步驟5給定一個閾值ψ>1，根據(jù)判斷公式得出各方案之間的關(guān)系，然后可以構(gòu)造最終的0-1優(yōu)先級關(guān)系矩陣。

取?=0.8，ψ=1.1，可以得出0-1優(yōu)先級關(guān)系矩陣為：

步驟6根據(jù)最后的0-1優(yōu)先級關(guān)系矩陣，計算出每個方案Ai的排序值：Δ1=2-3=-1，Δ2=4-1=3，Δ3=5-0=5，Δ4=1-4=-3，Δ5=3-2=1。

根據(jù)每個方案Ai的排序值，可以得出各個候選方案的排序結(jié)果為A3>A2>A5>A1>A4,最優(yōu)的方案為A3。

另外，利用文獻(xiàn)[12]的猶豫模糊語言術(shù)語集的多屬性決策方法進(jìn)行對比分析。

步驟1計算方案的各屬性的權(quán)重。采用熵公式計算出各屬性的熵值，然后利用熵權(quán)法，得出各屬性的權(quán)重為w=(0.196 1,0.258 5,0.246 3,0.299 1)T。

步驟2給出猶豫模糊語言正理想解x+與負(fù)理想解x-。

根據(jù)表1中的猶豫模糊語言評價信息，猶豫模糊語言正理想解x+與負(fù)理想解x-分別為：

步驟3計算各方案xi與理想解之間的貼近度：

計算得出各方案的貼近度為RC1=0.587 4，RC2=0.619 9，RC3=0.789 0，RC4=0.429 4，RC5=0.571 6。

步驟4根據(jù)各方案的貼近度結(jié)果，將方案排序為A3?A2?A1?A5?A4，可知候選對象A3為最優(yōu)的晉升教授的人選。

文獻(xiàn)[14]方法、文獻(xiàn)[12]方法與本文方法得出的結(jié)果進(jìn)行對比，具體的結(jié)果如表6所示。

表6 排序結(jié)果對比Table 6 Comparison of ranking results

通過對比可以看出，本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[14]方法、文獻(xiàn)[12]方法得出的結(jié)果中，最優(yōu)的候選對象都是A3，說明了本文決策方法的可行性與有效性。相比較而言，文獻(xiàn)[14]方法的過程更為復(fù)雜，計算量較大，并且采用的熵公式存在不足，無法全面反映專家的決策信息。文獻(xiàn)[12]方法的過程較為簡單，但是定義的熵存在缺陷，可能會造成決策信息的丟失，不能全面地刻畫決策者的意見。

本文采用改進(jìn)的猶豫模糊語言熵公式，從模糊性和猶豫性兩方面來刻畫猶豫模糊語言信息的不確定性，改進(jìn)了文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[12]中猶豫模糊語言熵的缺陷，相比于文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[12]能夠更為全面地反映決策者的意見。此外，本文在決策過程中考慮了決策者的風(fēng)險偏好，進(jìn)行了決策結(jié)果對于風(fēng)險偏好系數(shù)的敏感性分析，并且討論了熵和相似度中的參數(shù)對方案排序結(jié)果的影響，使得本文決策的結(jié)果更為合理準(zhǔn)確。

本文的研究結(jié)果改進(jìn)了現(xiàn)有擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵的不足，從模糊性和猶豫性兩方面刻畫了猶豫模糊語言信息的不確定性，給出了模糊熵和猶豫熵的一般公式與生成算法，并考慮了決策者的偏好對決策結(jié)果的影響，使得多屬性決策的結(jié)果更能符合實際情況。

5 結(jié)束語

本文改進(jìn)了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的熵的定義，從模糊性和猶豫性兩方面刻畫了擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集的不確定性，提出了擴(kuò)展的猶豫模糊語言術(shù)語集的總熵，并且給出了模糊熵和猶豫熵的一般公式與生成算法。本文的研究成果克服了現(xiàn)有的擴(kuò)展猶豫模糊語言術(shù)語集熵的不足，更為全面地刻畫了猶豫模糊語言信息的不確定性，進(jìn)一步發(fā)展了猶豫模糊語言信息測度理論。未來可以對猶豫模糊語言術(shù)語集的其他信息測度及其應(yīng)用進(jìn)行討論與研究。