基于隨機波動率模型的滬深300ETF期權(quán)定價

郁瑞瀾， 商 豪

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

2019年12月23日，滬深300ETF期權(quán)在上海證券交易所上市。滬深300ETF期權(quán)是繼上證50ETF期權(quán)之后我國上市的第二只ETF期權(quán)。它是以華泰柏瑞滬深300ETF為標(biāo)的的歐式期權(quán)，在提高市場穩(wěn)定性和流動性、完善金融市場等方面有重要意義。因此，滬深300ETF期權(quán)定價的合理性至關(guān)重要。1973年，Black和Schole[1]通過大量數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)金融衍生品和標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從含有漂移項的布朗運動。利用無套利理論將歐式期權(quán)的價格表示成股票價格與時間的微分方程，得到歐式看漲期權(quán)價格的解析解。因B-S模型常數(shù)波動率、常數(shù)利率等假設(shè)條件過于理想化，無法處理資產(chǎn)價格帶跳、發(fā)放紅利對其影響等問題，國內(nèi)外學(xué)者不斷對其進行改進以適應(yīng)實際情況。在真實金融市場中，波動率微笑[2]、波動率聚集[3]等現(xiàn)象非常常見，因此學(xué)者們以隨機波動率為重點，改進了一系列新的期權(quán)定價模型。1993年，Heston[4]提出連續(xù)時間波動率的平方根模型，并經(jīng)過大量實證發(fā)現(xiàn)Heston模型比B-S模型的定價結(jié)果更精準(zhǔn)。在實證分析中，馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法(MCMC)實現(xiàn)了抽樣分布隨模擬進行而改變的動態(tài)模擬過程，它既不需要事先估計參數(shù)，也無需對大量數(shù)據(jù)進行擬合優(yōu)化。Jacquier E等(1994)[5]最先將MCMC法引入隨機波動率模型的參數(shù)估計中。Jacquier E發(fā)現(xiàn)MCMC法的參數(shù)估計精度最高。Nilsson(2016)[6]針對隨機波動率模型的參數(shù)估計進行了大規(guī)模的模擬研究，發(fā)現(xiàn)不同樣本量下對不同參數(shù)進行估計時均是MCMC法的誤差最小。張瑤(2020)[7]針對滬深300ETF期權(quán)波動率的隨機性提出AHBS模型、Heston模型，并用最小二乘法進行參數(shù)估計。劉瑩等(2019)[8]用粒子群(PSO)智能算法改善了Heston模型對香港恒生指數(shù)期權(quán)進行定價時的參數(shù)校準(zhǔn)問題。Azencott R , Ren P[9]根據(jù)Heston模型參數(shù)的矩估計建立了選擇時間間隔和收益率數(shù)據(jù)二次采樣頻率的標(biāo)準(zhǔn)。本文基于Black-Scholes期權(quán)定價模型和隨機波動率模型對滬深300ETF期權(quán)的定價問題展開實證研究。

1 模型基礎(chǔ)

1.1 Black-Scholes期權(quán)定價模型

假設(shè)某一資產(chǎn)的價格是S(t)，由經(jīng)典Black-Scholes公式(下稱B-S公式)可知，在一個連續(xù)時間上面，資產(chǎn)價格的波動率方程為：

其中，W(t)表示標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，σ為波動率(σ>0)，μ是漂移項。在經(jīng)典B-S公式中，波動率σ和漂移項μ是與時間無關(guān)的非隨機變量。盡管根據(jù)這個公式可以求出波動率的公式解，但是 “波動率與時間無關(guān)”的假設(shè)顯然不符合實際情況，所以求得的波動率模型與實際波動率相差很大。

1.2 Heston隨機波動率期權(quán)定價模型

隨機波動率模型(Stochastic Volatility Model)的主要思想是在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從維納過程的基礎(chǔ)上，將波動率視為一個隨機過程。Heston模型是SV模型的一種，它假設(shè)資產(chǎn)價格的波動率服從均值回復(fù)平方根過程，也就是CIR(Cox-Ingersoll-Ross)過程。在中性風(fēng)險下，Heston模型的形式：

其中，Ws(t),Wσ(t)是維納過程，它們的相關(guān)系數(shù)記為ρ。模型的參數(shù)為μ,α,β,σ0,ρ，μ有時也取為無風(fēng)險利率r。

為了便于參數(shù)估計，將式寫成：

1.3 馬爾科夫蒙特卡洛方法

假設(shè)θ是一個多維的參數(shù)向量，現(xiàn)希望從分布P(θ|X)中產(chǎn)生一列隨機值。首先，將θ分為幾個幾個部分，即θ=(θ(1),θ(2),θ(3),…,θ(n))，其中P(θ(1)∣θ(2),θ(3),…,θ(n),X)，P(θ(2)∣θ(1),θ(3),…,θ(n),X),…,P(θ(n)∣θ(1),θ(2),…,θ(n-1),X)能夠簡單地得到它的隨機抽樣值，也稱為全條件后驗分布。

Gibbs算法具體的抽樣過程為：

?

最終得到抽樣值θ1,θ2,θ3,…,θN，為了消除初始值θ0的影響，舍去前面M個值。

設(shè)f(θ)是我們感興趣的函數(shù)，令

1.4 Heston模型的貝葉斯估計后驗密度

Heston模型的離散形式為：

其中，ΔWi(tn)=Wi(tn+1)-Wi(tn),i=1,2。

記

Y=(y1,…,yn)T,Δ=(Δ1,…,Δn)T

Zn～N(μn,Σn)

其中

由此，可以得到給定參數(shù)(Y,Δ)的條件分布為

由此，接下來可以計算出Gibbs抽樣所需要的條件密度：

其中

m1=

其中

其中

其中，

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)的選擇與描述性分析

根據(jù)在值程度，期權(quán)可分為虛值期權(quán)、實值期權(quán)和平值期權(quán)。本文選取2019年12月23日至2020年8月31日到期日在兩個月內(nèi)的9只在值程度不同的滬300ETF看漲期權(quán)的日交易數(shù)據(jù)，以日期為y軸，隱含波動率為z軸作出隱含波動率的曲面圖(圖1)。

圖 1 樣本期權(quán)波動率曲面圖

由圖1可見，隱含波動率與在值程度的關(guān)系呈現(xiàn)較為明顯的“波動率微笑”曲線。相對實值期權(quán)和虛值期權(quán)來說，平值期權(quán)的波動率處于低點，也較為穩(wěn)定。由此可見，滬300ETF期權(quán)的隱含波動率不是一個常數(shù)，說明B-S公式中“波動率為常數(shù)”的假設(shè)與現(xiàn)實情況不符。

本文僅選取2019年12月23日至2020年8月31日到期日在兩個月內(nèi)的滬300ETF平值看漲期權(quán)的日交易數(shù)據(jù)用以實證分析，理由如下：第一，平值期權(quán)的隱含波動率較穩(wěn)定；第二，平值期權(quán)的交易較活躍，在交易量較大的情況下，交易價格更貼近其價值；第三，平值期權(quán)的Vega值比較高，期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率敏感，更能體現(xiàn)不同定價模型之間的差異。

本文無風(fēng)險利率使用1個月Shibor利率(即“上海銀行業(yè)同業(yè)拆借利率”)，數(shù)據(jù)來自東方財富網(wǎng)，由爬蟲獲得，其余數(shù)據(jù)均由WIND金融終端導(dǎo)出。

2.2 參數(shù)估計結(jié)果

常見的MCMC法有Metropolis-Hastings(M-H)算法和Gibbs算法。M-H算法有兩個缺點：一是在高維情況下由于接受率的原因?qū)е滤惴ㄊ諗繒r間長，二是有些高維數(shù)據(jù)特征的聯(lián)合分布很難求出來。在M-H算法基礎(chǔ)上發(fā)展而來的Gibbs算法將參數(shù)分為幾個部分，每個部分的抽樣都基于其他參數(shù)的前一個抽樣值，最終可以收斂于真實的后驗值，很好地克服了M-H算法的缺點。鑒于MCMC法的優(yōu)點以及Gibbs算法在高維特征時的優(yōu)勢，本文采用MCMC法中的Gibbs算法對Heston模型的參數(shù)進行估計，結(jié)果如表1所示。

表1 參數(shù)估計結(jié)果

2.3 實證結(jié)果與誤差分析

以日期為x軸，價格為y軸，分別畫出B-S公式、Heston模型和期權(quán)實際價格的折線圖(圖2)。

圖 2 B-S公式、Heston模型和期權(quán)實際價格的折線圖

如圖2所示，B-S模型的價格波動幅度比Heston模型大，這是由于Heston模型假設(shè)資產(chǎn)價格的波動率服從均值回復(fù)平方根過程，所以價格波動幅度相對平穩(wěn)。此外，整體上看，B-S的定價結(jié)果偏高，Heston模型比B-S模型的定價結(jié)果更貼合實際，但是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格大幅波動時，B-S定價結(jié)果比Heston定價更準(zhǔn)確。

記理論價格為yn'，期權(quán)實際價格為yn，樣本總量為N，用平均絕對誤差

平均相對誤差

平均絕對相對誤差

均方誤差

分別計算B-S公式和Heston模型的誤差。

MAE和MAPE主要用于衡量定價誤差的大??；MAPE指明了誤差的方向，即表明了理論價格比實際價格低還是高；MSE強調(diào)數(shù)據(jù)變化程度，MSE越小模型數(shù)據(jù)越精準(zhǔn)。由表2可以看到，在四種誤差衡量方法之下，Heston模型都比B-S公式表現(xiàn)得更好。

表2 不同模型的定價誤差PHam

3 結(jié)束語