付其飛， 李庶民

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院， 云南 昆明 650500)

傳染病一直是危害人類健康的重要因素之一，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，許多流行病都得到了控制，但還有一些流行病沒有得到有效控制，依舊影響著人們的生活。有些流行病具有一定的潛伏期，例如新冠病毒肺炎，因此，對(duì)于具有潛伏期流行病的研究具有重要的意義[1-2]。為了更好地了解各種疾病的傳播速度和方式，對(duì)傳染病的行波解存在性和動(dòng)力行為的討論成了一個(gè)熱門的研究方向。例如，Wang等[3]考慮了Kermack-McKendrick擴(kuò)散模型的行波解存在性問題，Li等[4]研究了非局部擴(kuò)散的傳染病模型。文獻(xiàn)[5]研究了一類復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)傳染模型，本文將其引入到傳染病模型中，研究傳染病模型行波解的存在性，并考慮了因病死亡率、疾病潛伏期和空間的擴(kuò)散[6-9]。

1 模型與假設(shè)

本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上考慮如下的一類具有時(shí)滯的非局部擴(kuò)散傳染病系統(tǒng)：

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件為S(x,t)=ρ1(x,t),I(x,t)=ρ2(x,t)，R(x,t)=ρ3(x,t)，t∈[-τ,0]。

2 行波解的存在性

(2)

令N=S+I+R，則系統(tǒng)(1)變?yōu)?

(3)

如果R0>1，系統(tǒng)(4)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(0,0,0)和(k1,k2,k3)，其中k1=A/d-S*-I*-R*，k2=I*，k3=R*。系統(tǒng)(4)的行波解形式為(N(x,t),I(x,t),R(x,t))=(φ(t),φ(t),ψ(t))，其中t=x+ct。

令fc1=aφ(t)-dφ(t),fc2=βf(A/d-φ(t)-φ(t)-ψ(t))φ(t-cτ)-(r+m+d+a)φ(t),fc3=rφ(t)-dψ(t)。則系統(tǒng)(4)為

(5)

令C[0,M](R,R3)={Φ(t)=(φ,φ,ψ)，t∈C(R,R3),0≤Φ(t)≤M,t∈R},當(dāng)Mi≥ki(i=1,2,3)時(shí)，滿足

下面尋找系統(tǒng)(5)的行波解。

(A2)存在3個(gè)連續(xù)的正數(shù)Li(i=1,2,3)，有|fci(φ1,φ1,ψ1)-fci(φ2,φ2,ψ2)|≤Li‖Φ(t)-Ψ(t)‖，Φ(t)=(φ1,φ1,ψ1)(t),Ψ(t)=(φ2,φ2,ψ2)(t)。因?yàn)?0,0,0)≤(φj(t),φj(t),ψj(t))≤(M1,M2,M3)，j=1,2,t∈[-τ,0],并且Mi≥ki，所以它是正連續(xù)的。

H1(φ,φ,ψ)(t)≥0,H1(φ2,φ2,ψ2)(t)≤H1(φ1,φ1,ψ1)(t),

H2(φ1,φ1,ψ1)(t)≤H2(φ1,φ1,ψ2)(t),H2(φ1,φ2,ψ1)(t)≤H2(φ1,φ1,ψ1)(t),

H2(φ2,φ2,ψ2)(t)≤H2(φ2,φ1,ψ1)(t),H3(φ2,φ2,ψ2)(t)≤H3(φ1,φ1,ψ1)(t),

H3(φ,φ,ψ)(t)≥0,F1(φ2,φ2,ψ2)(t)≤F1(φ1,φ1,ψ1)(t),

F2(φ1,φ1,ψ1)(t)≤F2(φ2,φ1,ψ1)(t),F2(φ1,φ1,ψ1)(t)≤F2(φ1,φ1,ψ2)(t),

F2(φ1,φ2,ψ1)(t)≤F2(φ1,φ1,ψ1)(t),F3(φ2,φ2,ψ2)(t)≤F3(φ1,φ1,ψ1)(t)。

對(duì)任意的t∈R，0≤φ2(t)≤φ1(t)≤M1，0≤φ2(t)≤φ1(t)≤M2，0≤ψ2(t)≤ψ1(t)≤M3。通過證明可得以下結(jié)論：

引理1[10]假設(shè)有(A2)成立，則有F=(F1,F2,F3),在|·|μ范數(shù)意義下連續(xù)。

為了構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳舷陆?，分析下面的函?shù)：

a(k2+ε3)-d(k1+ε1)<0,

βf(A/d-k1+ε2-k2-ε3-k3+ε6)

r(k2+ε3)-d(k3+ε5)<0,

d(k1-ε2)-a(k2-ε4)<0,

r+m+d+a<βf(A/d-k1-ε1-k2+ε4-k3-ε5),

d(k3-ε6)-r(k2-ε4)<0,

證明定義

證明定義

3 結(jié)論

本文研究了一類具有非局部擴(kuò)散的時(shí)滯傳染病模型，通過構(gòu)造一對(duì)上下解和運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了連接無病平衡點(diǎn)E0(A/d,0,0)和地方平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*)行波解的存在性。而文獻(xiàn)[5]只是研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并沒有研究系統(tǒng)的行波解，且沒有考慮潛伏期和空間傳播對(duì)系統(tǒng)的影響。現(xiàn)在研究描述潛伏期的非局部擴(kuò)散項(xiàng)和時(shí)間延遲對(duì)波速c*的影響。根據(jù)系統(tǒng)(3)的第二個(gè)方程，可以得到

cI′(ξ)=D[J*I(ξ)-I(ξ)]+βf(A/d)I(ξ-cτ)-(r+m+a)I(ξ),

通過計(jì)算可得

可以看出，對(duì)于非局部擴(kuò)散速率D,波速c*是單調(diào)增加的，對(duì)于時(shí)間延遲τ，波速c*是單調(diào)遞減的。