基于子結(jié)構(gòu)法的多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

付君健 孫鵬飛 杜義賢 田啟華 高 亮

1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，宜昌，443002 2.華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430074

0 引言

多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化又稱(chēng)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化、結(jié)構(gòu)/材料一體化，是指多孔結(jié)構(gòu)在宏觀層級(jí)和細(xì)觀(或微觀)層級(jí)的并行優(yōu)化，在宏觀層級(jí)優(yōu)化多孔結(jié)構(gòu)的空間分布，在細(xì)觀層級(jí)優(yōu)化多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型。多孔結(jié)構(gòu)細(xì)觀拓?fù)錁?gòu)型決定了其宏觀的等效屬性，會(huì)影響宏觀層級(jí)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化；反之，宏觀結(jié)構(gòu)及邊界條件會(huì)影響細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型。由此，兩個(gè)層級(jí)的并行優(yōu)化可以提高材料利用率，提高周期性多孔結(jié)構(gòu)在特定載荷工況下的力學(xué)性能。多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化是一種從不同層級(jí)空間對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，有利于擴(kuò)大設(shè)計(jì)空間，為結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)提供廣闊的思路和全新的挑戰(zhàn)[1]。

根據(jù)優(yōu)化策略的不同，多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化方法可分為均布、逐層、逐域和逐點(diǎn)的多層級(jí)設(shè)計(jì)方法。均布多孔結(jié)構(gòu)的多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，是目前廣為采用的多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化策略[2-5]。該優(yōu)化策略假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)僅由均勻分布的同一種多孔結(jié)構(gòu)組成，以均勻化方法計(jì)算多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效彈性矩陣，多孔結(jié)構(gòu)作為宏觀結(jié)構(gòu)的基本單元，進(jìn)一步參與宏觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。均布多孔結(jié)構(gòu)的多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)過(guò)程，降低了制造成本，但無(wú)法充分發(fā)揮多孔結(jié)構(gòu)的性能。逐層的多層級(jí)設(shè)計(jì)策略使不同層面的多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型能隨著承載形式產(chǎn)生變化。逐層設(shè)計(jì)適用于夾層結(jié)構(gòu)和功能梯度結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)[6-9]，每一層采用相同的多孔結(jié)構(gòu)來(lái)填充，可顯著降低優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算成本，同時(shí)也便于對(duì)每一層多孔結(jié)構(gòu)屬性進(jìn)行控制。逐域的多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)由多種不同的多孔結(jié)構(gòu)構(gòu)成，每個(gè)區(qū)域中的多孔結(jié)構(gòu)獨(dú)立優(yōu)化。多孔結(jié)構(gòu)在宏觀結(jié)構(gòu)中的相對(duì)位置可以固定不變[10]，也可以在迭代過(guò)程中動(dòng)態(tài)變化[11-12]。理論上講，承載結(jié)構(gòu)在每一點(diǎn)的受力狀態(tài)均不相同，因此每一點(diǎn)的多孔結(jié)構(gòu)屬性均不同才能讓宏觀結(jié)構(gòu)性能達(dá)到最優(yōu)。逐點(diǎn)的多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化提高了多孔結(jié)構(gòu)的多樣性和結(jié)構(gòu)的整體性能[13-16]，但增加了計(jì)算成本和加工難度。

多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化由于采用了均勻化方法，導(dǎo)致宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度分離。若多層級(jí)結(jié)構(gòu)中含有多種類(lèi)型的多孔結(jié)構(gòu)單胞，如逐域和逐點(diǎn)的設(shè)計(jì)策略，則宏觀結(jié)構(gòu)的邊界條件無(wú)法“嚴(yán)格”反映到細(xì)觀或微觀結(jié)構(gòu)，多孔結(jié)構(gòu)之間的連接性無(wú)法保證，需添加額外的幾何約束，如增加動(dòng)力學(xué)連接點(diǎn)[9]、定義梯度變化的微結(jié)構(gòu)[16]、定義連接性約束[17]等。在實(shí)際工程中，良好的連接性是多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的基本保障，在多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化中必須考慮多孔結(jié)構(gòu)之間的連接性。此外，多孔結(jié)構(gòu)增材制造尺度可能大于設(shè)計(jì)尺度，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)性能與制造性能不匹配。因此，在多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化中有必要引入尺度關(guān)聯(lián)的等效屬性計(jì)算方法。

為避免多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化中的尺度分離問(wèn)題，本文提出了一種基于子結(jié)構(gòu)法的多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，采用子結(jié)構(gòu)法建立宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。子結(jié)構(gòu)法具備尺度關(guān)聯(lián)特性[17-19]，可保證宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)力學(xué)分析在同一個(gè)尺度進(jìn)行，細(xì)觀結(jié)構(gòu)的尺寸是其在宏觀層級(jí)的真實(shí)尺寸。當(dāng)考慮多種單胞類(lèi)型時(shí)，基于子結(jié)構(gòu)法的多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法可保證多孔結(jié)構(gòu)的連接性。

1 多層級(jí)結(jié)構(gòu)水平集描述

本文采用隱式水平集函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)邊界描述[20]，并引入虛擬時(shí)間變量t使水平集函數(shù)具備動(dòng)態(tài)演化特性。針對(duì)多層級(jí)結(jié)構(gòu)，如圖1所示，定義宏觀水平集函數(shù)ΦMA和細(xì)觀水平集函數(shù)ΦME如下：

圖1 多層級(jí)結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

式中，上標(biāo)MA、ME分別表示宏觀、細(xì)觀；x為坐標(biāo)向量；Ω為結(jié)構(gòu)域；?Ω為結(jié)構(gòu)邊界；D為設(shè)計(jì)域。

為克服傳統(tǒng)水平集方法的數(shù)值問(wèn)題，便于與梯度優(yōu)化算法結(jié)合[21-23]，本文采用緊支徑向基函數(shù)插值替代離散的水平集函數(shù)，將水平集函數(shù)參數(shù)化。宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)水平集函數(shù)的參數(shù)化形式分別為

(3)

(4)

對(duì)虛擬時(shí)間變量t求導(dǎo)，參數(shù)化水平集函數(shù)動(dòng)態(tài)演化的常微分形式為

(5)

(6)

2 細(xì)觀子結(jié)構(gòu)靜態(tài)凝聚

本文采用子結(jié)構(gòu)法計(jì)算細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效屬性。子結(jié)構(gòu)法又稱(chēng)Guyan縮減[24]或區(qū)域分解法[25]，如圖2所示，在求解有限元平衡方程時(shí)，子結(jié)構(gòu)法的基本思想是“各個(gè)擊破”，將結(jié)構(gòu)域Ω分解為若干細(xì)觀子結(jié)構(gòu)Ωi，對(duì)每個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)分別離散，再求解細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點(diǎn)響應(yīng)，最后求解細(xì)觀子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)響應(yīng)。結(jié)構(gòu)域可表示為

(a)L形結(jié)構(gòu)域 (b)子結(jié)構(gòu)劃分

(7)

式中，M為結(jié)構(gòu)域Ω中細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的數(shù)量。

采用子結(jié)構(gòu)法的優(yōu)勢(shì)在于：①降低有限元求解維度與內(nèi)存消耗，有限元求解被拆分為一個(gè)縮減線(xiàn)性方程組和多個(gè)小型線(xiàn)性方程組的求解[26]；②計(jì)算結(jié)果具備尺度關(guān)聯(lián)特性，宏觀與細(xì)觀結(jié)構(gòu)響應(yīng)在同一個(gè)有限元框架下實(shí)現(xiàn)求解；③計(jì)算結(jié)果再利用率較高，重復(fù)結(jié)構(gòu)特征只需進(jìn)行一次凝聚。采用子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行多孔結(jié)構(gòu)分析與拓?fù)鋬?yōu)化，可提高有限元分析效率，避免多層級(jí)結(jié)構(gòu)中的尺度分離問(wèn)題。

靜力學(xué)問(wèn)題中的子結(jié)構(gòu)法又稱(chēng)為靜態(tài)縮減(static condensation)，假設(shè)結(jié)構(gòu)被離散為有限個(gè)單元和節(jié)點(diǎn)，離散化平衡方程的矩陣形式為

KU=F

(8)

式中，K、U、F分別為結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣、位移向量和載荷向量。

組成離散結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)可分為主節(jié)點(diǎn)和從節(jié)點(diǎn)兩個(gè)部分。主節(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點(diǎn)，如圖2d中的節(jié)點(diǎn)，從節(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)，用下標(biāo)m表示主節(jié)點(diǎn)組成的自由度，s表示從節(jié)點(diǎn)組成的自由度，則式(8)可寫(xiě)為

(9)

由式(9)的第二行可得

(10)

將式(10)代入式(9)的第一行可得

(11)

假設(shè)從節(jié)點(diǎn)的載荷向量為零向量，凝聚后的平衡方程為

KsubUsub=Fsub

(12)

(13)

Usub=Um

(14)

Fsub=Fm

(15)

式中，Ksub、Usub、Fsub分別為凝聚后的剛度矩陣、位移向量和載荷向量。

單個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的凝聚過(guò)程通過(guò)式(11)完成，求解凝聚后的平衡方程式(11)，可得主節(jié)點(diǎn)上的位移向量Um。將Um代入式(10)，可得從節(jié)點(diǎn)上的位移向量Us，隨后可計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變、應(yīng)變能等各種物理量信息。

細(xì)觀層級(jí)結(jié)構(gòu)涉及多個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的凝聚，由于周期性的假設(shè)條件，所有細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型相同，故只需進(jìn)行一次凝聚。凝聚的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)相當(dāng)于一個(gè)擁有多個(gè)節(jié)點(diǎn)的超級(jí)單元，所以又稱(chēng)之為“超單元”。相同幾何構(gòu)型的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)凝聚過(guò)程可通過(guò)對(duì)凝聚子結(jié)構(gòu)的組裝完成，組裝的縮減平衡方程為

K*U*=F*

(16)

式中，K*、U*、F*分別為縮減的全局剛度矩陣、全局位移向量和全局載荷向量。

對(duì)于周期性細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)，縮減剛度矩陣的組裝可表示為

(17)

式中，V為細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)體積域。

靜態(tài)凝聚是一種矩陣的線(xiàn)性變換，對(duì)于單個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的靜態(tài)凝聚，由于不涉及多個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)之間的信息交互，無(wú)論在邊界上保留多少主節(jié)點(diǎn)，只要凝聚前后保持結(jié)構(gòu)的邊界條件不變，則求解位移不存在計(jì)算誤差。對(duì)于多個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的凝聚及組裝，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點(diǎn)必須全部保留為主節(jié)點(diǎn)，方可保證求解位移不存在計(jì)算誤差。如果細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊界上只保留部分主節(jié)點(diǎn)，則會(huì)導(dǎo)致一部分邊界節(jié)點(diǎn)未參與細(xì)觀子結(jié)構(gòu)之間的信息交互，使計(jì)算結(jié)果存在一定誤差。

3 多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于參數(shù)化水平集法，構(gòu)建體積約束下的多層級(jí)結(jié)構(gòu)柔度最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型：

(18)

細(xì)觀水平集函數(shù)ΦME決定了細(xì)觀子結(jié)構(gòu)凝聚的剛度矩陣kMA：

(19)

(20)

式(18)中宏觀平衡方程弱形式的能量雙線(xiàn)性形式aMA(uMA,vMA)和載荷線(xiàn)性形式lMA(vMA)分別表示為

(21)

(22)

由于采用子結(jié)構(gòu)法對(duì)組成宏觀結(jié)構(gòu)的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了縮減，故宏觀平衡方程實(shí)際是一種縮減的平衡方程。

式(18)中細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的彈性平衡方程是一種虛擬的平衡方程，它等效于細(xì)觀子結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移求解方程：

(23)

式中，F(xiàn)ME為細(xì)觀子結(jié)構(gòu)載荷向量。

4 靈敏度分析與數(shù)值實(shí)施

由于目標(biāo)函數(shù)與宏細(xì)觀水平集函數(shù)相關(guān)，故本文采用形狀導(dǎo)數(shù)[27-28]推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的靈敏度。

4.1 宏觀層級(jí)靈敏度分析

推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)、能量雙線(xiàn)性形式、載荷線(xiàn)性形式關(guān)于宏觀時(shí)間變量tMA的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

(24)

ΥMA=(uMA)TkMA(ΦME)uMA

(25)

將參數(shù)化的宏觀速度場(chǎng)式(5)代入式(24)得

(26)

采用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)目標(biāo)函數(shù)J(ΦMA)直接求其關(guān)于宏觀時(shí)間變量tMA的導(dǎo)數(shù)可得

(27)

(28)

和宏觀體積約束GMA(ΦMA)關(guān)于時(shí)間變量tMA的導(dǎo)數(shù)：

(29)

采用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)宏觀體積約束GMA(ΦMA)直接求其關(guān)于時(shí)間變量tMA的導(dǎo)數(shù)可得

(30)

(31)

4.2 細(xì)觀層級(jí)靈敏度分析

為便于求導(dǎo)，將宏觀結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)寫(xiě)成對(duì)單個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)積分的形式：

(32)

δ(ΦME)dΩMEdΩMA

(33)

(34)

5 數(shù)值實(shí)施

多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖3所示，宏觀結(jié)構(gòu)剛度矩陣組裝依賴(lài)于細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的靜態(tài)凝聚，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移求解依賴(lài)于宏觀結(jié)構(gòu)平衡方程的求解，因此多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化具備相互耦合的特性。在優(yōu)化過(guò)程中，宏觀和細(xì)觀結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化均采用優(yōu)化準(zhǔn)則法[29]進(jìn)行設(shè)計(jì)變量更新。由于優(yōu)化模型式(18)中只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，故宏觀和細(xì)觀結(jié)構(gòu)收斂準(zhǔn)則一致，即

圖3 多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

(35)

需要指出，在宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，凝聚的細(xì)觀結(jié)構(gòu)作為宏觀結(jié)構(gòu)的基本單元用于剛度矩陣組裝，得到宏觀結(jié)構(gòu)縮減的全局剛度矩陣。為提高剛度矩陣組裝效率，可采用MATLAB中的sparse函數(shù)進(jìn)行組裝。在細(xì)觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，細(xì)觀結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)與宏觀結(jié)構(gòu)及邊界條件相關(guān)，待縮減的宏觀平衡方程求解完成之后，通過(guò)式(23)計(jì)算細(xì)觀結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移場(chǎng)。每個(gè)細(xì)觀結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)相互獨(dú)立，可通過(guò)CPU并行求解。

6 數(shù)值案例與結(jié)果分析

6.1 二維單類(lèi)型多層級(jí)結(jié)構(gòu)

如圖4所示的宏觀矩形懸臂梁設(shè)計(jì)域，長(zhǎng)寬為24 m×12 m，宏觀設(shè)計(jì)域左端固定，右端中點(diǎn)處受豎直向下的集中載荷(F=-1 N)。宏觀設(shè)計(jì)域離散為60×30個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊長(zhǎng)為0.4 m，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)離散為40×40個(gè)雙線(xiàn)性四邊形單元，單元大小為0.01 m×0.01 m。宏觀設(shè)計(jì)域體積分?jǐn)?shù)fMA=0.8，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域體積分?jǐn)?shù)fME=0.5，假設(shè)單一類(lèi)型的多孔結(jié)構(gòu)在宏觀設(shè)計(jì)域內(nèi)周期性分布。

圖4 懸臂梁設(shè)計(jì)域

為驗(yàn)證本文方法的尺度關(guān)聯(lián)特性，本算例設(shè)置兩種不同的初始化方案。圖5所示為初始的宏觀結(jié)構(gòu)和細(xì)觀結(jié)構(gòu)，其中初始宏觀結(jié)構(gòu)一致，初始細(xì)觀結(jié)構(gòu)不同。首先采用子結(jié)構(gòu)法對(duì)二維細(xì)觀結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)進(jìn)行凝聚，細(xì)觀結(jié)構(gòu)邊界上所有的節(jié)點(diǎn)均為主節(jié)點(diǎn)。經(jīng)過(guò)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)靜態(tài)縮減后，二維細(xì)觀結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量從3362降為320，二維宏觀結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量從約576萬(wàn)降為約29萬(wàn)，自由度數(shù)量降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

圖6和7所示為多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化的最優(yōu)宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)。對(duì)比方案Ⅰ和Ⅱ，宏觀結(jié)構(gòu)基本一致，細(xì)觀結(jié)構(gòu)在拓?fù)錁?gòu)型上有所區(qū)別，其原因在于周期性細(xì)觀結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型依賴(lài)初始化。方案Ⅰ的最優(yōu)細(xì)觀拓?fù)錁?gòu)型在四個(gè)節(jié)點(diǎn)處形成材料，經(jīng)組裝后可有效傳遞載荷。雖然方案Ⅱ的初始細(xì)觀結(jié)構(gòu)在四個(gè)節(jié)點(diǎn)處均無(wú)材料，但最終的優(yōu)化結(jié)構(gòu)在右上角和右下角處聚集了材料，在載荷施加位置形成了材料，實(shí)現(xiàn)了宏觀載荷的有效傳遞，體現(xiàn)了本文方法的尺度關(guān)聯(lián)特性。圖8、圖9分別為方案Ⅰ和方案Ⅱ的優(yōu)化迭代圖?？芍悍桨涪衲繕?biāo)函數(shù)初始值相對(duì)較小，取值為265.365，經(jīng)過(guò)81步迭代后收斂至141.425；方案Ⅱ初始結(jié)構(gòu)由于在載荷點(diǎn)處無(wú)材料，目標(biāo)函數(shù)初始值較大(2435.055)，隨著優(yōu)化的進(jìn)行，細(xì)觀結(jié)構(gòu)在載荷點(diǎn)處逐漸形成材料，目標(biāo)函數(shù)值急劇下降，經(jīng)過(guò)101步后收斂至141.389。雖然兩種方案的最優(yōu)細(xì)觀結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型不同，但都實(shí)現(xiàn)了宏觀載荷的有效傳遞，最終得到的多層級(jí)結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)值較為接近。

圖6 多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(方案Ⅰ)

圖7 多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(方案Ⅱ)

圖8 方案Ⅰ迭代過(guò)程圖

圖9 方案Ⅱ迭代過(guò)程圖

6.2 二維多類(lèi)型多層級(jí)結(jié)構(gòu)

為驗(yàn)證連接性問(wèn)題，本算例將6.1節(jié)的設(shè)計(jì)域劃分為A、B、C和D四個(gè)子區(qū)域，如圖10所示，對(duì)每個(gè)子區(qū)域獨(dú)立優(yōu)化，宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)離散方式、邊界條件、體積分?jǐn)?shù)均與6.1節(jié)保持一致，進(jìn)行多類(lèi)型多層級(jí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

圖10 分區(qū)域懸臂梁設(shè)計(jì)域

對(duì)圖10中四個(gè)子區(qū)域的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)分別凝聚。圖11a和圖11b分別為初始宏觀結(jié)構(gòu)和細(xì)觀結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)211步迭代后，宏細(xì)觀體積分?jǐn)?shù)分別收斂到0.8和0.5，最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值為127.2945。圖12a所示為經(jīng)過(guò)優(yōu)化的宏觀結(jié)構(gòu)即細(xì)觀結(jié)構(gòu)在宏觀的分布情況。圖12b所示為四種最優(yōu)的細(xì)觀結(jié)構(gòu)單胞，每個(gè)細(xì)觀結(jié)構(gòu)在對(duì)應(yīng)的子區(qū)域內(nèi)周期性分布。其中，A與C、B與D區(qū)域的最優(yōu)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型相互對(duì)稱(chēng)。

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

圖13所示是經(jīng)過(guò)組裝后的多層級(jí)結(jié)構(gòu)，可知，雖然四個(gè)子區(qū)域的細(xì)觀結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過(guò)程中相互獨(dú)立，但優(yōu)化后的四種細(xì)觀結(jié)構(gòu)之間具備較好的連接性，保證了載荷的有效傳遞。由于子結(jié)構(gòu)法不存在尺度分離問(wèn)題，故不需要施加任何額外約束即可保證連接性。

圖13 優(yōu)化的多層級(jí)結(jié)構(gòu)

由于分區(qū)域后多層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化具備更大的設(shè)計(jì)自由度，四個(gè)子區(qū)域的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)都獨(dú)立優(yōu)化以實(shí)現(xiàn)多層級(jí)結(jié)構(gòu)的剛度最大化，因此，分區(qū)域多層級(jí)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)比均布多層級(jí)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)有更好的力學(xué)性能。從優(yōu)化迭代圖(圖14)可知，在同樣的材料用量下，分區(qū)域多層級(jí)結(jié)構(gòu)的柔度值為127.2945，小于單一類(lèi)型多層級(jí)結(jié)構(gòu)的柔度值。

圖14 迭代過(guò)程圖

6.3 三維多類(lèi)型多層級(jí)結(jié)構(gòu)

圖15所示為左端固定的三維懸臂梁結(jié)構(gòu)，懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域長(zhǎng)寬高為2.4 m×1.2 m×0.48 m，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域右端下邊界中心處施加有F=-1 N的集中載荷。將宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域劃分為A、B、C和D四個(gè)子區(qū)域，由20×10×4個(gè)三維細(xì)觀子結(jié)構(gòu)組成，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊長(zhǎng)0.12 m，每個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域離散為12×12×12個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體單元，單元大小為0.01 m×0.01 m×0.01 m，宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域體積分?jǐn)?shù)fMA=0.8，四個(gè)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域體積分?jǐn)?shù)fME=0.3，在該宏觀設(shè)計(jì)域內(nèi)進(jìn)行三維多類(lèi)型多層級(jí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

圖15 三維分區(qū)域懸臂梁設(shè)計(jì)域

對(duì)圖15四個(gè)子區(qū)域的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)分別凝聚。該宏觀結(jié)構(gòu)由約138萬(wàn)個(gè)三維單元組成，自由度數(shù)量約達(dá)428萬(wàn)。采用子結(jié)構(gòu)法對(duì)三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)凝聚，三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)邊界主節(jié)點(diǎn)的選取規(guī)則為每間隔一個(gè)節(jié)點(diǎn)選取一個(gè)主節(jié)點(diǎn)，三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)邊界剩余節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)定義為從節(jié)點(diǎn)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，這種主從節(jié)點(diǎn)定義規(guī)則對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型影響較小。經(jīng)過(guò)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)靜態(tài)縮減后，三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量從6591降為654，三維宏觀結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量從約428萬(wàn)降為約25萬(wàn)，自由度的數(shù)量分別降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖16所示為經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的三維宏觀結(jié)構(gòu)和三維細(xì)觀子結(jié)構(gòu)，由于四個(gè)子區(qū)域獨(dú)立優(yōu)化，最終所得子結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型各不相同，但四種子結(jié)構(gòu)之間都保持了一定的連接性，保證了載荷在多層級(jí)結(jié)構(gòu)中的有效傳遞。圖17展示了優(yōu)化迭代過(guò)程，宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)分別收斂到0.8和0.3，最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值為10.649。

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

圖17 三維多層級(jí)結(jié)構(gòu)迭代過(guò)程圖

7 結(jié)論

本文提出了基于子結(jié)構(gòu)法的多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過(guò)構(gòu)造一種尺度關(guān)聯(lián)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了多層級(jí)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。數(shù)值算例表明，所提方法可實(shí)現(xiàn)二維、三維多層級(jí)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并有效避免了多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的連接性問(wèn)題。