周期分數階傅里葉變換域多分量LFMCW 信號間的分辨研究*

張玉靈，李 坤，錢志升，朱健東

（1.鄭州升達經貿管理學院，河南 鄭州 451191；2.復雜電磁環(huán)境效應國家重點實驗室，河南 洛陽 471003）

0 引言

分數階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，FRFT）作為傅里葉變換的一種廣義形式，可以理解為線性調頻（Linear Frequency Modulation，LFM）基分解，對LFM 信號具有良好的能量聚集性[1]，非常適合于對其進行檢測與參數估計。文獻[2]基于Newton 法減少了FRFT 對LFM 信號檢測和參數估計的計算量；文獻[3]提出了一種基于分數階功率譜的LFM 信號檢測新因子；文獻[4]對FRFT 域多分量LFM 信號的分辨問題進行了研究；文獻[5]提出了一種分數階域的交疊LFM 信號的分離方法；文獻[6]討論了分數階域的濾波問題。FRFT 雖然對LFM 信號可以實現最佳的匹配檢測，但是對針對線性調頻連續(xù)波（Linear Frequency Modulated Continuous Wave，LFMCW）信號的檢測卻存在很多不足。在實際中接收機往往能夠接收到多個周期的LFMCW 信號，但FRFT 對其處理增益僅局限在一個周期內，并且多個周期對應多個峰值也不利于信號的檢測。為了解決上述問題，Geroleo 等人[7-8]在2010 年提出了周期Wigner-Hough 變換（Wigner-Hough Transform，WHT）算法，實現了WHT 對LFMCW 信號的最大似然檢測，但由于是二次處理，計算復雜度高，不利于實時應用。借鑒其相關積累思想，朱健東[9]和黃宇[10]等人從FRFT 出發(fā)，于2013 年分別獨立提出了周期分數階傅里葉變換（Periodic Fractional Fourier Transform，PFRFT）的概念。該方法在保持與周期WHT 相當的檢測性能的同時，利用FRFT 線性特性和快速算法大大降低了檢測估計時的運算量。文獻[11]進一步提出了一種基于PFRFT 的LFMCW 信號的自適應門限檢測與參數估計方法。但是，針對PFRFT 域多分量LFMCW 信號的分辨和分離問題，現有文獻沒有開展進一步深入研究。當LFMCW 信號在PFRFT 域的尖峰相距較近無法分辨時，會導致目標信號被漏檢。

本文首先從LFMCW 信號在PFRFT 域的頻譜分布特征出發(fā)，對離散PFRFT 計算時單個LFMCW 信號的能量譜近似表達式進行了數學推導；其次根據多分量LFMCW 信號在離散PFRFT 域檢測估計時的幅度疊加特性，研究它們在參數平面的分辨問題；最后研究了通過的量綱歸一化因子的合理調整，提高在PFRFT 域分辨多分量信號的能力。

1 PFRFT 的定義

信號x(t)的PFRFT 定義式為[9]：

式中，mod(·)為取模算子，=pπ/2 為PFRFT 的旋轉角度，p為PFRFT 的階數，為任意實數。、分別表示時間偏移和調制周期搜索參數。PFRFT 核函數的參數集為，比傳統(tǒng)的FRFT 參數和多了2 維和。

2 LFMCW 信號離散PFRFT 頻譜

2.1 LFMCW 信號的PFRFT

單分量LFMCW 信號s(t)可表示為：

假設信號的初始頻率和初始相位均為0，則信號形式如下所示：

則信號的時頻分布線與頻率軸交于原點0。將信號表達式（1）代入PFRFT 變換表達式（4），可推導出信號的PFRFT 為：

式中：n為LFMCW 信號的周期數；T為周期。當T→+∞時，，說 明LFMCW 信號在一個周期內等效為LFM 信號，其最佳PFRFT 域的頻譜服從sinc 函數分布。

2.2 LFMCW 信號周期分數階譜的量綱歸一化分析

Ozaktas 等人提出的快速離散FRFT 算法[12]精度高且計算復雜度低，因此得到廣泛應用；而PFRFT 離散算法一般基于離散FRFT 算法來構造，從本質上講，它們的量綱歸一化相同。離散FRFT算法的量綱歸一化基本原理如下：設s(t)在時間軸和頻率軸上都是緊支撐的，時域區(qū)間和頻域區(qū)間分別為[-Δt/2,Δt/2]和[-Δf/2,Δf/2]，量綱歸一化因子定義為s=(Δt/Δf)1/2，量綱歸一化后新的坐標系為(x,v)，量綱歸一化后的坐標記為x=t/s，v=fs。

離散尺度化法和數據補零/截取法是兩種實用化的量綱歸一化方法[13]。本文采用前一種方法，過程為：令信號的時寬Δt=Td，信號的帶寬Δf=fs，則s=(Td/fs)1/2。信號的時域和頻域區(qū)間變?yōu)閇-Δx/2,Δx/2]，其中Δx=(Td fs)1/2，新的坐標系實現了量綱歸一化，此時采樣間隔變?yōu)?/Δx。

離散尺度化法量綱歸一化會改變原有的LFMCW 信號的數字域參數值。LFMCW 信號s(t)經量綱歸一化后的調頻率、初始頻率、最佳旋轉角度和最大值的坐標分別為，則它們之間的量化關系式可以表示為：

根據文獻[13]，LFMCW 信號的實際參數值與歸一化后的參數關系為：

聯(lián)立上述兩式可得峰值坐標與信號參數的關系式為：

從量綱歸一化后的調頻率、初始頻率、最佳旋轉角度和最大值坐標的關系式（7）可以看出，通過量綱歸一化可以改變信號尖峰的坐標位置。歸一化后，變換域中支撐區(qū)的寬度與中點坐標如下：

式中，n表示調頻周期數。

2.3 信號離散PFRFT 的近似表示能量譜

對于連續(xù)信號s(t)如（4）式所示，從信號的PFRFT 推導值式（6）出發(fā)，取u～=0 時，可以得到s(t)的PFRFT 頻譜最大值為：

量綱歸一化后，s(t)的PFRFT 頻譜最大值[13]變?yōu)椋?/p>

由式（12）和峰值坐標與信號參數的關系式（9）可知，量綱歸一化還會改變信號頻譜的最大值，其最大值為：

3 多分量LFMCW 信號的分辨能力

多分量LFMCW 信號模型為：

式中：Am為信號幅度；φm為隨機初相；fm為初始頻率；gm為調頻率；Tm為調制周期；τm為時延；M為信號數目；Td表示觀測時間。在PFRFT 域內，分辨多個能量相近、參數相近的LFMCW 信號，由于能量譜的疊加，會導致多個信號尖峰重疊無法分辨。

4 量綱歸一化因子的選取

由量綱歸一化后的調頻率、初始頻率、最佳旋轉角度和最大值坐標的關系式（7）可知，在離散PFRFT 計算條件下，sr的尖峰與sl的尖峰在p軸上的距離為：

在軸上的距離為：

由式（16）、式（17）可知，兩個尖峰的距離受歸一化因子s影響。下面仿真分析兩個信號尖峰之間的距離隨s的變化關系。當fr=20 Hz、fl=22 Hz、gr=20 Hz/s 與gl=24 Hz/s 時，ΔRp與ΔRu隨s=(Td/fs)1/2的變化曲線如圖1 所示。

圖1 兩個信號尖峰在軸和p 軸上的距離隨s 的變化

由圖1 可知：

何東出的這檔子事兒，讓本來就心不甘情不愿去相親的何西更有理了，他去找老爸商量，希望能找個理由把明天的相親給推了，沒想到老爸不買這帳。何西只好試著以理服爸：“爸，咱能與時俱進嗎，二十一世紀都過去十年了，咱能不包辦嗎？”

（1）兩個LFMCW 信號在軸和p軸上的尖峰距離與s取值有關，并且能在某個s處取得極大值；

（2）兩個信號的尖峰在軸上的距離隨s變化的動態(tài)范圍比在p軸上的動態(tài)范圍要大得多；

（3）兩個信號尖峰在軸和p軸上的距離隨著s的變化不能同時取得最大值。

在實際操作中，只要滿足采樣定理，就可以通過量綱歸一化因子的合理選擇，增大兩個信號在參數(p,)平面上的距離ΔR，進而達到分辨兩個信號的目的。當ΔR最大時，分辨能力達到最佳，即為：

因此當兩個信號無法分辨時，可以選擇一個合理的量綱歸一化因子s=(Td/fs)1/2，盡可能地擴大ΔR，實現信號分辨。

仍以上述仿真數據為例，對信號幅度為的sr與sl，驗證選擇量綱歸一化因子s=(Td/fs)1/2對信號的分辨效果。對前面的仿真數據：取Td=4 s，fs=1 000 Hz，調制周期數n=4 時，s=(Td/fs)1/2=0.063 2，兩個信號在(T=1,τ=0)處的三維分布切片如圖2 所示。當Td=4 s，fs=200 Hz，n=4 時，s=(Td/fs)1/2=0.141 4，兩個信號在(T=1,τ=0)處的三維分布切片如圖3 所示。

圖2 s=0.063 2 時，信號的PFRFT 三維切片

比較圖2 和圖3 可以看出，在圖2 中兩個信號混雜在一起無法分辨，圖3 中通過增大量綱歸一化因子s使兩個信號尖峰的距離增大，從而使兩個信號得以分辨，也證明了圖1 中距離變化曲線的合理性。由此可知，兩個LFMCW 信號的臨界分辨距離與信號的調頻率、初始頻率、觀測時間、采樣頻率和調頻周期數有關，同時受到量綱歸一化因子的影響。由于接收信號的調頻率、初始頻率和調頻周期數不受控制，而本文采取量綱歸一化因子為s=(Td/fs)1/2，因此在不破壞信號采樣定理的情況下，可以通過合理選擇采樣時間和采樣頻率，增大信號尖峰距離，提高PFRFT 對多個LFMCW 信號的分辨效果。

圖3 s=0.141 4 信號的PFRFT 三維切片

5 結語

本文立足于LFMCW 信號在PFRFT 域的頻譜分布特的分析，推導了LFMCW 信號在離散PFRFT 計算條件下的近似能量譜，研究了多分量LFMCW 信號在PFRFT 域的分辨問題。通過研究發(fā)現臨界分辨距離與信號的調頻率、初始頻率、觀測時間、采樣頻率和調頻周期數以及量綱歸一化因子有關。研究成果豐富了多分量LFMCW 檢測估計分離理論。