基于層次分析法的大學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績影響因素分析

連高社， 陳小彪

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，太原030008)

1 引 言

高等數(shù)學(xué)是理工科專業(yè)普遍都會開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)課程.高等數(shù)學(xué)不僅僅對于學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程有一定的重要基礎(chǔ)作用，而且對于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)、理性思維的創(chuàng)建、應(yīng)用意識的提高、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)等同樣有著不可估量的作用.

然而，近幾年來很多高校大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中出現(xiàn)了很多的問題.比如，部分學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效果差、考試掛科現(xiàn)象屢見不鮮，更有甚者，有些高校的某些班級考試通過率竟然不到50%.從出現(xiàn)的各種問題來看，無論是各個高校，或者高等數(shù)學(xué)老師，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生，盡可能充分了解高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響因素已經(jīng)成為當(dāng)下的首要任務(wù)[1]，只有這樣，才能找準病因，對癥下藥，幫助大學(xué)生提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績.同時，對傳統(tǒng)課堂下影響成績的因素進行分析，也可以為后續(xù)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的明確主要方向[2-3].通過數(shù)學(xué)模型對高等數(shù)學(xué)成績影響因素進行量化分析，可以幫助老師和學(xué)生找到提高成績的主要因素，提高教學(xué)質(zhì)量，一些專家學(xué)者進行了相關(guān)研究.錢超[4]采用分層線性模型分析了高考數(shù)學(xué)成績和高等數(shù)學(xué)成績的關(guān)系.孫茜，蔡擇林[5]選取學(xué)生性別、學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對專業(yè)的有用性、高考成績等 12 個因素，建立了多元線性回歸分析模型進行線性回歸分析.吳國榮等[6]通過多重響應(yīng)分析高等數(shù)學(xué)成績影響因素，主要包括學(xué)習(xí)興趣、課上聽課狀態(tài)、課下學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)計劃、學(xué)習(xí)習(xí)慣.線性回歸模型可以分析變量之間的相關(guān)關(guān)系和影響系數(shù)，但對于變量之間的因果關(guān)系缺乏深層次的理解.層次分析法[7]可以根據(jù)研究目標(biāo)的性質(zhì)和要達到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，相較回歸模型能更好結(jié)合老師的教學(xué)經(jīng)驗和學(xué)生的切身感受進行有效的問卷調(diào)查和權(quán)重的設(shè)計，真實的反映學(xué)生自身的學(xué)習(xí)狀況和困擾，判斷影響因素對于目標(biāo)層的影響方式.

2 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績影響因素

以太原工業(yè)學(xué)院在校2018級大一學(xué)生為研究對象，對大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的情況進行問卷調(diào)查.設(shè)計問卷時按照主題明確、結(jié)構(gòu)合理、通俗易懂、適當(dāng)控制問卷長度、方便資料的校驗、整理和統(tǒng)計[8]等原則進行.

針對于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響因素進行問卷調(diào)查，總共分為五個層次，分別是個人、班級、學(xué)校、家庭和社會，每個層次里邊設(shè)置相應(yīng)的各個具體影響因素，數(shù)量不等，本次問卷調(diào)查設(shè)置的問題內(nèi)容，如下表1.

表1 問卷調(diào)查問題表

問卷主要從五個方面進行調(diào)查，每個方面包含大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響的具體因素，一共有24個問題因素.

本次調(diào)查共回收問卷225份，經(jīng)過后期對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與整理，篩選出25份無效試卷，最終有200份數(shù)據(jù)可以作為本次調(diào)查的數(shù)據(jù)來源，對問卷數(shù)據(jù)進行了信度和效度檢驗，表現(xiàn)良好.

3 高等數(shù)學(xué)成績層次分析模型的建立和求解

3.1 高等數(shù)學(xué)成績影響因素層次結(jié)構(gòu)的建立

將大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響因素按照層次結(jié)構(gòu)劃分為3個層次：目標(biāo)層A、準則層Bi和子準則層Cj.目標(biāo)層為大學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績的影響因素，準則層分為五個因素，即為個人、班級、學(xué)校、家庭以及社會對大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響因素，對五個準則層分解出更多的子準則層，例如個人層次考慮性別、專業(yè)類別、課程接受度、課堂上是否做筆記、對高等數(shù)學(xué)這門的興趣度等；班級層次考慮宿舍的學(xué)習(xí)風(fēng)氣、學(xué)風(fēng)建設(shè)以及互幫小組的成立是否有效，學(xué)校層次考慮高等數(shù)學(xué)課程的授課模式、學(xué)校的學(xué)術(shù)氛圍、課程學(xué)習(xí)資料的共享程度、獎勵機制等；家庭層次中家風(fēng)建設(shè)、家庭經(jīng)濟水平以及父母的期望；社會層次中社會就業(yè)壓力、考研壓力以及政府的教育政策.如下表2.

表2 影響大學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績因素層次表

準則層中的因素對上一層的因素有影響，子準則層中的所有因素對于目標(biāo)層都有影響，但是對于上一層來說，只對從屬于上一層的因素有影響，但是子準則層中的各個因素相互獨立，互不影響.

3.2 判斷矩陣一致性檢驗及層次單排序

通過對大學(xué)生高等數(shù)學(xué)影響因素的分析，對五個準則層即個人、班級、學(xué)校、家庭和社會，以及相對應(yīng)的子準則層的因素分析，分別建立準則層對目標(biāo)層、方案層對準則層的判斷矩陣，利用數(shù)學(xué)軟件 Matlab計算出判斷矩陣的最大特征值及特征向量，將特征向量進行歸一化，最后再做一致性檢驗:

(i) 判斷矩陣A-Bi

該矩陣的最大特征值λmax=5.1984，其對應(yīng)的特征向量為

W1=(0.8388，0.4649，0.2332，0.0856，0.1362)T.

將W1歸一化可得到對應(yīng)的權(quán)重為

WA=(0.4769，0.2643，0.1326，0.0487，0.0774)T.

一致性檢驗，一致性檢驗的指標(biāo)：

平均一致性指標(biāo)為

一致性比率CR1<0.1，矩陣A-Bi通過一致性檢驗.說明矩陣A-Bi構(gòu)造合理，無需二次構(gòu)造.

根據(jù)以上歸一化的權(quán)重WA可知：特征值0.0487最小，即家庭因素對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度最小；特征值0.4769最大，即個人因素對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度最大.

(ii) 判斷矩陣B1-Cj

由以上矩陣能夠得出

λmax=7.6323，W2=(0.0692，0.1356，0.2595，0.3829，0.5017，0.5683，0.4353)T.

歸一化后可得到的向量為

WB1=(0.0294，0.0576，0.1103，0.1627，0.2132，0.2416，0.1851)T.

進而得到一致性檢驗指標(biāo)

一致性比率CR2<0.1，矩陣B1-Cj通過一致性檢驗，說明矩陣B1-Cj構(gòu)造合理，無需二次構(gòu)造.

根據(jù)以上歸一化的權(quán)重WB1可知：特征值0.0294最小，即性別因素對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度最??；特征值0.2416最大，即考前復(fù)習(xí)因素對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度最大，其次是權(quán)重占0.2132的課程興趣，學(xué)習(xí)興趣同樣對大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著重要的作用.

(iii) 判斷矩陣B2-Cj

由以上矩陣能夠得出

λmax=3.0735，W3=(0.3943，0.1722，0.9027)T.

歸一化后可得到的向量為

WB2=(0.2683，0.1172，0.6144)T.

進而得到一致性檢驗指標(biāo)：

一致性比率CR3<0.1，矩陣B2-Cj通過一致性檢驗.說明矩陣B2-Cj構(gòu)造合理，無需二次構(gòu)造.

根據(jù)以上歸一化的權(quán)重WB2可知：特征值0.1172<0.2683<0.6144，由此可知班級內(nèi)部的互幫小組對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度所占比重最大，宿舍的學(xué)習(xí)風(fēng)氣次之，班級學(xué)風(fēng)建設(shè)對于班級層次的影響程度最小.

互幫小組不僅將學(xué)生個體間的學(xué)習(xí)競爭關(guān)系改變?yōu)椤敖M內(nèi)合作”“組間競爭”的關(guān)系，還將傳統(tǒng)教學(xué)中的師生之間的單向或雙向交流改變?yōu)閹熒?、生生之間的多向交流，學(xué)生有更多的機會發(fā)表自己的看法，為他們提供一個較為輕松、自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，提高了學(xué)生創(chuàng)造思維的能力，而且還將學(xué)生課內(nèi)學(xué)習(xí)延伸到課外，使他們在參與學(xué)習(xí)的活動中得到愉快的情感體驗，從而更有利于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對于提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績有很大的影響.

(iv) 判斷矩陣B3-Cj

由以上矩陣能夠得出

λmax=7.1067，W4=(-0.8703，-0.3073，-0.2807，-0.1383，-0.1357，-0.1357，-0.1159)T.

歸一化后可得到的向量

WB3=(0.4387，0.1549，0.1415，0.0697，0.0684，0.0684，0.0584)T.

進而得到一致性檢驗指標(biāo)：

一致性比率CR4<0.1，矩陣B3-Cj通過一致性檢驗.說明矩陣B3-Cj構(gòu)造合理，無需二次構(gòu)造.

根據(jù)以上歸一化的權(quán)重WB3可知：特征值

0.0584<0.0684=0.0684<0.0697<0.1415<0.1549<0.4387，

由此可知學(xué)校層次中學(xué)風(fēng)建設(shè)所占權(quán)重最大，老師的授課模式次之，其次是考試時的資源共享程度，而學(xué)校的設(shè)備資源對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度最低.

(v) 判斷矩陣B4-Cj

由以上矩陣能夠得出為

λmax=3.0889，W5=(0.8500，0.4287，0.3061)T.

歸一化后可得到的向量為

WB4=(0.5363，0.2705，0.1931)T.

進而得到一致性檢驗指標(biāo)：

平均一致性指標(biāo)為

一致性比率CR5<0.1，矩陣B4-Cj通過一致性檢驗.說明矩陣B4-Cj構(gòu)造合理，無需二次構(gòu)造.

根據(jù)以上歸一化的權(quán)重WB4可知：特征值0.1931<0.2705<0.5363，由此可知：在家庭層次中，家風(fēng)建設(shè)對于大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響程度最高，其次是家庭的經(jīng)濟水平，而父母的期望反而對于大學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)影響程度較低，所以一個家庭的家風(fēng)建設(shè)也是尤為重要的，對于學(xué)生學(xué)習(xí)的狀態(tài)也有一定的影響.

(vi) 判斷矩陣B5-Cj

由以上矩陣能夠得出為

λmax=3.0889，W6=(0.8500，0.4287，0.3061)T.

歸一化后可得到的向量為

WB5=(0.5363，0.2705，0.1931)T.

進而得到一致性檢驗指標(biāo)：

平均一致性指標(biāo)為

一致性比率CR6<0.1，矩陣B5-Cj通過一致性檢驗.說明矩陣B5-Cj構(gòu)造合理，無需二次構(gòu)造.

根據(jù)以上歸一化的權(quán)重WB5可知：特征值0.1931<0.2705<0.5363，由此可知：在社會層次中，社會就業(yè)壓力對于大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響程度最高，其次是考研壓力，而政府政策對于大學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)影響程度反而較低，而且根據(jù)權(quán)重占比，社會就業(yè)壓力所占比重基本一半還多，可見社會就業(yè)壓力對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度有著不可估量的作用.

綜合對以上六個矩陣的計算，可得到如下高等數(shù)學(xué)大學(xué)生影響因素的層次單排序及一致性檢驗：

從表3可以看出，6個層次單排序的CR值均小于0.1，該六個層次單排序都通過一致性檢驗.其中矩陣B3-Cj的一致性檢驗比率最低，最高的比率是0.0775；特征值最大的為矩陣B1-Cj，同樣，一致性指標(biāo)最大的也為矩陣B1-Cj.

表3 層次單排序計算及一致性檢驗

由上面的的單層次排序可知，單層次的權(quán)重排序比較單一，不能整體全面對大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績影響因素進行分析，還需要經(jīng)過層次總排序才能直觀了解到所有的因素對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的影響程度.

3.3 層次總排序及其一致性檢驗

構(gòu)造成對比較矩陣，利用Matlab求得矩陣的最大特征值和對應(yīng)的特征向量，將特征向量進行歸一化處理，進而得到權(quán)重W，WA是準則層對于目標(biāo)層即高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績影響因素的權(quán)重，WB是子準則層對于其相對應(yīng)的準則層的權(quán)重，WC是所有的子準則層對于目標(biāo)層的權(quán)重，計算各層次所有因素對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的合成權(quán)重，將各層次進行總排序，各個矩陣的CR值都小于0.1，一致性檢驗通過.進行層次總排序后的合成權(quán)重結(jié)果見表4.

表4 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績影響因素的合成權(quán)重表

經(jīng)層次總排序后發(fā)現(xiàn)：在個人層次中考前復(fù)習(xí)時間的權(quán)重值最高；班級層次中互幫小組的權(quán)重值最高；家庭層次中家風(fēng)建設(shè)的權(quán)重值最高；社會層次中社會就業(yè)壓力的權(quán)重值最高.

4 結(jié)果分析與建議

根據(jù)上述層次結(jié)構(gòu)分析結(jié)果，對于影響大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響因素，提出如下結(jié)論和改進學(xué)習(xí)成績的具體措施：

(i) 在個人層次中，對于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響因素，最重要的是每次考試前的復(fù)習(xí)時間(權(quán)重：0.2012)，考前復(fù)習(xí)對于一個考生來說，可謂是有著巨大的促進作用.平時的學(xué)習(xí)都是像蓋房子一樣，一磚一瓦慢慢堆積而成的，是一個基礎(chǔ)，如果地基打不好，那么最后的房子裝修的再華麗，都沒有用，也就是說，平時學(xué)習(xí)再多，如果考前不復(fù)習(xí)，不對所有的知識進行梳理的話，那么最后的結(jié)果還是不盡如人意.由此考前復(fù)習(xí)對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)也有著及其重要的作用.其次是學(xué)生對于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，興趣是點燃智慧的火花，是探索知識的動力，如果學(xué)生慢慢培養(yǎng)起學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，那么學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)將不再僅僅只是一件學(xué)習(xí)知識的枯燥無趣的事，更是一件充實自己的事情，在學(xué)習(xí)中找到樂趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動性，從而提高大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的成績[3]，學(xué)生的課程興趣(權(quán)重：0.1144)、課堂接受度(權(quán)重：0.1105)、課堂筆記(權(quán)重：0.1065)和上課座位選擇(權(quán)重：0.0876)也對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有一定影響.

(ii) 在班級層次中，互幫小組(權(quán)重：0.1423s)對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著重要的作用，平時上課都是一位老師講課，下面一個班級的學(xué)生聽課，這樣的一對多教學(xué)，要想做到針對性很難.如果給一個班級成立幾個互幫小組，每個小組選取一位負責(zé)人，只負責(zé)該組成員的高等數(shù)學(xué)，給高等數(shù)學(xué)老師減壓，同時提高效率，方便學(xué)生一對一輔導(dǎo)學(xué)習(xí)，查漏補缺，自覺主動的去學(xué)習(xí).所以大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，在班級中成立互幫小組也是尤為重要，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績有很大的促進作用.班級的學(xué)風(fēng)建設(shè)(權(quán)重：0.0563)也影響著高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績，如果一個班級有著良好的學(xué)習(xí)氛圍那么學(xué)生也會主動自覺的去學(xué)習(xí)，如果一個學(xué)校每個班級的課堂出勤率都是100%的話，學(xué)生的學(xué)習(xí)通常會很好，但是如果一個班級的到課率都不到50%，那么老師看著稀稀拉拉的座位，會降低老師授課的熱情，同樣，學(xué)生也沒有一個很好的學(xué)習(xí)氛圍體驗，在這樣的狀態(tài)下，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率一定不會很高，進而高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績也不會很高，這樣會陷入惡性循環(huán)，結(jié)果是越來越差.

(iii) 在學(xué)校層次中，學(xué)習(xí)資源的豐富程度和學(xué)習(xí)資源的共享程度對高等數(shù)學(xué)成績有一定影響.

(iv) 在家庭層次中，家庭的家風(fēng)建設(shè)對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)起到一定的促進作用.家庭是每個人的第一個課堂也是終身學(xué)堂，父母是孩子的第一任老師.家庭是教育的起點，家庭教育涉及很多方面，但最重要的是品德教育，是如何做人的教育[9].在學(xué)好做人的前提下，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，積極主動地學(xué)習(xí)，那么把這種好習(xí)慣運用到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)上，最后的結(jié)果一定不會差強人意.

(v) 在社會層次中，大學(xué)生的社會就業(yè)壓力對于大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)同樣起著舉足輕重的作用.隨著每年大學(xué)畢業(yè)生的增加，大學(xué)畢業(yè)生的就業(yè)壓力越來越大，部分應(yīng)屆畢業(yè)生選擇繼續(xù)深造，讀研，還有部分畢業(yè)生直接選擇進入社會，步入工作崗位，但是面對崗位少，擇業(yè)人多的情況，大學(xué)生的壓力也越來越大，同等條件下，畢業(yè)生上交單位的成績單也占很大的比重，所以需要大學(xué)生在上學(xué)期間，認真學(xué)習(xí)，努力提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績.由此，雖然就業(yè)是大學(xué)畢業(yè)之后的事情，但是在上大學(xué)期間，甚至從大一開始，就需要大學(xué)上努力學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，為之后的就業(yè)提前做好準備.

(vi) 在目標(biāo)層中，占比最高的是準則層中的個人層(權(quán)重：0.4769)，其次是班級層(權(quán)重：0.2643)，排名第三的學(xué)校層(權(quán)重：0.1326)，家庭和社會層影響較小(權(quán)重均小于0.1).

5 結(jié) 論

提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，需要重視影響教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)成績的因素，本文的研究表明，個人、班級、學(xué)校、家庭和社會，對于大學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績都有影響，其中起主要作用的是學(xué)生個人和班級層面.個人因素中關(guān)注學(xué)生對課程的興趣、課堂接受度、課堂筆記和上課座位選擇，班級因素中關(guān)注互幫小組和班級學(xué)風(fēng).高等數(shù)學(xué)任課教師可以在課程教學(xué)組織和課堂教學(xué)管理方面參與、組織和改進這些要素，提高教學(xué)質(zhì)量.研究結(jié)論為今后進行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革提供了思路和方向.

致謝本文的出發(fā)點在于研究影響大學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績的因素，為改進高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供幫助，感謝太原工業(yè)學(xué)院2015級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生武文娜和趙志新同學(xué)在調(diào)查問卷發(fā)放、數(shù)據(jù)搜集和初步整理等方面的給予文章的幫助，感謝本文審稿專家提出的寶貴意見.