任書鋒，楊 丹，余海東，王 皓,b

(上海交通大學(xué) a.上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點實驗室；b.機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

機(jī)械手靈巧操作和球形機(jī)器人的規(guī)劃控制是機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點，涉及到與物體的接觸與滑動接觸，純滾動接觸能量損耗小，構(gòu)成一類非完整系統(tǒng)[1]，可使用較少的驅(qū)動器實現(xiàn)靈巧操作，有利于降低成本并提高系統(tǒng)可靠性.然而，系統(tǒng)狀態(tài)變量之間難以解耦帶來了控制和規(guī)劃上的困難，同時，滾動約束系統(tǒng)不能轉(zhuǎn)為鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，不具備微分平坦的良好特性，且該系統(tǒng)不滿足冪零條件[2]，無法使用相關(guān)的控制算法.因此，建立一種可以用于實際機(jī)器人系統(tǒng)的滾動約束運(yùn)動規(guī)劃方法十分重要.

國內(nèi)外學(xué)者對于非完整系統(tǒng)的研究主要可分為基于最優(yōu)化的方法和增量隨機(jī)采樣的方法.前者通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和非線性約束，將運(yùn)動規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換成非線性優(yōu)化問題，代表方法有打靶法、直接配點法、迭代線性二次調(diào)節(jié)器(iLQR)和最優(yōu)動作控制(SAC)[3-6].其中，直接配點法通過設(shè)置配點將運(yùn)動規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，對初始狀態(tài)量和控制量的取值不敏感，算法較為穩(wěn)定.iLQR將非線性系統(tǒng)線性化，然后使用梯度下降的方法，迭代計算得到最優(yōu)軌跡.SAC算法可以實現(xiàn)快速在線運(yùn)動規(guī)劃.增量隨機(jī)采樣方法的代表為快速搜索隨機(jī)樹(RRT)[7]及其改進(jìn)算法.例如：RRT*，Bi-RRT和Goal-bias RRT等，基于采樣的方法具有效率低、規(guī)劃路徑不連續(xù)的缺點，同時對于非完整約束，基于控制狀態(tài)空間采樣的方法可能導(dǎo)致不收斂，而基于運(yùn)動狀態(tài)空間采樣的方法在擴(kuò)展子節(jié)點時仍需解決兩點邊值問題[8].

滾動約束系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)劃方法按照接觸模型可分為針對球-平面間的滾動接觸模型的控制方法[9-12]，如冪零近似迭代驅(qū)動[9]、基于高斯-博內(nèi)定理的分階段控制方法[10]和基于同倫延拓法[11]的數(shù)值優(yōu)化方法.針對兩個球之間滾動接觸模型的控制方法，文獻(xiàn)[13]利用球的運(yùn)動封閉性質(zhì)提出了球在一般三維物體上滾動的運(yùn)動規(guī)劃算法，文獻(xiàn)[14]提出了球與具有恒定曲率物體滾動接觸的控制方法，文獻(xiàn)[15]將球-平面模型運(yùn)動規(guī)劃方法拓展到高維球體在高維歐式空間中.上述研究成果針對某一特定模型建立，并且都沒有考慮實際機(jī)器人系統(tǒng)中的在線控制，這些方法通過離線一次性完成運(yùn)動規(guī)劃，如果應(yīng)用到實際機(jī)械系統(tǒng)的實時控制，由于計算效率的問題，重新計算的控制輸入可能已經(jīng)不適用于當(dāng)前狀態(tài).

針對已有研究成果的局限性，本文建立了滾動約束系統(tǒng)的實時運(yùn)動規(guī)劃算法，分別選取常見的球-平面模型和球-球模型作為仿真對象，通過傳感器的反饋更新系統(tǒng)狀態(tài)，使用滾動優(yōu)化的方式滿足對實時規(guī)劃的要求，同時改進(jìn)了SAC算法中滾動預(yù)測的迭代方法，以適用于系統(tǒng)變量高度耦合的滾動約束系統(tǒng).另外，結(jié)合球-平面模型和球-球模型的仿真模擬，驗證了算法對這兩類常見滾動約束機(jī)器人系統(tǒng)的有效性.

1 滾動約束運(yùn)動學(xué)模型

1.1 接觸模型坐標(biāo)系系統(tǒng)

兩個剛體點接觸模型如圖1所示，圖中：Oxsyszs為整體坐標(biāo)系；Ox1y1z1、Ox2y2z2分別為固連在兩個剛體上的正交坐標(biāo)系；Oxc1yc1zc1、Oxc2yc2zc2分別為接觸點在物體1、2上的正交坐標(biāo)系；nc1、nc2分別為物體1、2上接觸點坐標(biāo)系的法向量；ψ為接觸點處坐標(biāo)系Oxc1yc1zc1和Oxc2yc2zc2之間的相對轉(zhuǎn)角，將坐標(biāo)系Oxc2yc2zc2繞著坐標(biāo)系Oxc1yc1zc1的n軸轉(zhuǎn)動ψ角度后，兩坐標(biāo)系的x軸重合.在Oxc2yc2zc2中定義2個物體間的相對線速度V=[vxvyvz]，相對角速度Ω=[ωxωyωz].

圖1 接觸模型坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of contact model

建立三維物體曲面W?R3的參數(shù)表達(dá)式，存在二維平面上的開子集U?R2到該曲面W的一個可逆坐標(biāo)映射f:U?R2→W?R3，使用(u,v)表示該二維平面參數(shù)坐標(biāo)，定義(f,U)為曲面W的參數(shù)化表達(dá)，對于球面的正交坐標(biāo)系可為

f:U→R3:(u,v)

(ρsinucosv,ρsinusinv,ρcosu)

(1)

式中：ρ為球半徑；0

基于正交坐標(biāo)系，定義曲面上某一點f(U)處的單位高斯坐標(biāo)系為

(2)

1.2 滾動約束運(yùn)動方程

兩個三維剛體滾動接觸運(yùn)動模型如圖2所示，考慮空間物體1受到與物體2的距離為ρ1+ρ2(ρ1為物體1Ox1y1z1到Ox1y1z1的距離；ρ2物體2Ox2y2z2到Oxc2yc2zc2的距離)的約束，因此物體1相對于物體2有5個自由度，該位形空間可用q=[u1v1u2v2ψ]5個參數(shù)表示，并使用U1=[u1v1]表示接觸點在物體1曲面上的位置，U2=[u2v2]表示接觸點在物體2曲面上的位置.

圖2 空間剛體滾動接觸運(yùn)動模型Fig.2 Model of rolling contact motion for space rigid bodies

根據(jù)文獻(xiàn)[16]的結(jié)果，2個三維物體純滾動的一階運(yùn)動學(xué)方程為

(3)

同時，保持兩物體接觸的約束條件為

vz=0

(4)

兩物體間純滾運(yùn)動的約束條件為

vx=0,vy=0,ωz=0

(5)

式(3)可表示為如下的控制仿射形式：

(6)

式中：t為控制時間；q(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量；c(t)=[-ωyωx]T為系統(tǒng)控制輸入.

(7)

2 滾動約束運(yùn)動規(guī)劃算法

2.1 問題的描述

非完整系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制問題：尋找滿足非完整約束式(6)的一個最優(yōu)c*(t)(t∈[0,T]，T為控制結(jié)束時間)，并滿足起終點狀態(tài)約束：

q(0)=qstart，q(T)=qgoal

(8)

式中：qstart為起點的位形；qgoal為終點的位形.

同時使如下二次型性能指標(biāo)函數(shù)為極?。?/p>

(9)

l(q(t),c(t))=0.5[q(t)-qd(t)]T×

Q(q(t)-qd(t))+0.5c(t)TRc(t)dt

(10)

m(q(T))=0.5[q(T)-qd(T)]T×

P1[q(T)-qd(T)]

(11)

式中：m[q(T)]為對終點狀態(tài)偏差的權(quán)重；Q為動態(tài)軌跡跟蹤偏差的半正定權(quán)重矩陣；qd(t)為通過離線規(guī)劃獲得的參考軌跡；R為系統(tǒng)控制能量輸入的正定權(quán)重矩陣；P1為計算與目標(biāo)點偏差的半正定權(quán)重矩陣.

除起終點約束外，對于三維空間流形，需要解決奇異點的問題，一種可行的方法是用多個坐標(biāo)映射構(gòu)建一個圖冊.為簡化問題，通過引入不等式約束避免奇異點，例如對式(1)中球面參數(shù)坐標(biāo)系在極點位置u=0和u=π存在2個奇異點，可設(shè)置如下約束：

0

(12)

同時，對兩物體的相對角速度幅值c建立如下約束：

cmin≤c≤cmax

(13)

式中：cmin為最小控制輸入向量；cmax為最大控制輸入向量.

為簡化表達(dá)，使用ξ(t)代表(q(t),c(t))，上述最優(yōu)控制問題可表示為如下形式.

輸入：物體曲面模型、qstart及qgoal.

輸出：滿足式(8)、(12)及(13)約束且使性能指標(biāo)函數(shù)式(9)最小的最優(yōu)c*(t)(t∈[0,T])，即

(14)

式中：h(ξ(t))包括式(6)非完整約束和式(8)起終止?fàn)顟B(tài)約束方程；g(ξ(t))包括式(12)的奇異點約束和式(13)的控制變量約束方程.

2.2 運(yùn)動規(guī)劃算法

針對上述建立的最優(yōu)控制問題，建立如圖3所示的在線控制算法框圖，實現(xiàn)系統(tǒng)的在線控制，圖中c1為名義控制輸入.

圖3 在線控制算法框圖Fig.3 Online motion planning algorithm

第一階段為離線運(yùn)動規(guī)劃，使用配點法快速獲得名義軌跡.將運(yùn)動規(guī)劃過程分為N-1段，每段兩端節(jié)點稱為配點，子區(qū)間表示為[ti,ti+1],i=0,1,2,…,N-1，hi=ti+1-ti表示區(qū)間時長，使用qi代表ti時刻的系統(tǒng)狀態(tài).對每個區(qū)間，采用多項式樣條描述軌跡，使用辛普森積分求解運(yùn)動微分約束方程和成本函數(shù)的積分來平衡對計算效率和精確度的要求.具體實現(xiàn)方法如下：

(15)

式中：c0～c3為多項式系數(shù).

同時在區(qū)間端點處滿足：

(16)

式中：fi為式(7)中非線性方程在第i點計算得到的當(dāng)前接觸點位形速度.

求解式(15)和(16)構(gòu)成的線性方程組，可以獲得c0～c3的表達(dá)式，并將t=(ti+ti+1)/2代入式(15)，獲得區(qū)間中點的狀態(tài)變量的表達(dá)式為

(17)

使用辛普森積分計算性能指標(biāo)函數(shù)：

(18)

在每個子區(qū)間上使用辛普森積分計算非完整約束：

(19)

式(18)中l(wèi)i+1/2和(19)中fi+1/2均為式(17)中點狀態(tài)qi+1/2的函數(shù).

因此，式(14)表達(dá)的系統(tǒng)離線運(yùn)動規(guī)劃問題可以表示為如下的非線性規(guī)劃問題：

s.t.h(q(ti)∶q(tN);c(t0)∶c(tN-1))=0

g(q(ti)∶q(tN);c(t0)∶c(tN-1))≤0

(20)

針對上述非線性規(guī)劃問題，使用與目標(biāo)軌跡的距離作為性能指標(biāo)，為獲得軌跡最短的優(yōu)化結(jié)果，使用初始點和目標(biāo)點間的線性插值作為配點法的目標(biāo)軌跡.

在使用配點法優(yōu)化軌跡時，迭代初值的選取對最終的求解結(jié)果有很大影響，在實際應(yīng)用中，常對5個狀態(tài)變量軌跡有不同要求，例如球形機(jī)器人在平面滾動，期望平面上的接觸點軌跡最短，而對球面接觸點軌跡和物體間相對轉(zhuǎn)角軌跡要求滿足起終點約束即可，應(yīng)選擇使得平面上接觸點軌跡為直線的控制輸入作為配點法的初始值.圖3中兩狀態(tài)控制法的目的即是通過控制5個系統(tǒng)狀態(tài)中兩個狀態(tài)軌跡為起終點間線性插值，使用式(3)反向求解獲得對應(yīng)的控制輸入ctc(t).具體實現(xiàn)方法如下：

(21)

式中：[1]、[2]分別表示提取q的第1、第2個元素.

由式(3)的第1個方程可得：

c(ti)=[K1(ti)+Rψ(ti)K2(ti)Rψ(ti)]

(22)

由式(3)的其余兩個方程，使用歐拉法得到其余3個狀態(tài)變量軌跡的計算公式為

RψK2(ti)Rψ]-1c(ti)

(23)

從i=0,1,2,…,M-1交替使用式(22)和(23)得到c(ti)和q(ti)，獲得兩狀態(tài)控制下的軌跡qtc(t)和控制輸入ctc(t).

使用兩狀態(tài)控制法的結(jié)果ξtc=[qtcctc]作為初始值，求解式(20)的非線性規(guī)劃問題，可以獲得維度為5(N+1)優(yōu)化軌跡qdc矩陣和維度為2(N+1)的控制輸入cdc.

首先將非線性模型式(6)線性化：

(24)

式中：

在預(yù)測區(qū)間內(nèi)，最優(yōu)控制律可以表達(dá)為

(25)

對應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)變量求解形式為

q(t)=

(26)

式中：f1(s)=f[q(s)c1(s)],f2(s)=f[q(s)c2(s)].

構(gòu)建預(yù)測區(qū)間內(nèi)運(yùn)動規(guī)劃的二次型函數(shù)J1：

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：η(t)為梯度方向；ε為步長.由此得

(31)

(32)

(33)

式中：Jτ為關(guān)于時間的單變量函數(shù).使Jτ最小的控制介入時間即為最優(yōu)控制介入時間τ.

步驟3通過線搜索迭代求解最優(yōu)控制時長λ：

λ=ωkΔtinit

(34)

式中：ω為搜索速率；k為迭代次數(shù)；Δtinit為控制時長的初值.將獲得的最優(yōu)控制律作用在[t0,t0+ts]，在獲得反饋更新后，根據(jù)反饋結(jié)果更新狀態(tài)，重新計算預(yù)測窗口內(nèi)的最優(yōu)控制律并應(yīng)用到下一個采樣周期內(nèi)，直到控制任務(wù)結(jié)束.

3 仿真計算及結(jié)果分析

3.1 仿真參數(shù)

基于上述建立的滾動約束系統(tǒng)在線規(guī)劃算法，通過MATLAB軟件實現(xiàn)球-平面模型和球-球模型的仿真，仿真程序運(yùn)行環(huán)境為：i7-4770MQ CPU@3.40 GHz 12 GB RAM.規(guī)劃周期均設(shè)置為1 s，使用序列二次規(guī)劃(SQP)算法實現(xiàn)非線性規(guī)劃問題式(20)的求解，獲得參考軌跡和名義控制輸入，在實時運(yùn)動規(guī)劃過程中應(yīng)用四階龍格庫塔法求解非完整約束式(7).

離線規(guī)劃中配點法使用表1中的參數(shù)，配置41個配點，設(shè)置相應(yīng)的控制變量幅值約束，對Q,P1和R的選取主要考慮軌跡與起終點直線軌跡qd的動態(tài)跟蹤誤差最小，因此使用較大的Q和較小的R，P1用于增加目標(biāo)點的權(quán)重，可根據(jù)對不同系統(tǒng)變量的要求在對角線位置選擇不同的數(shù)值.

使用表2中的參數(shù)作為在線運(yùn)動規(guī)劃的仿真參

表1 滾動接觸模型離線運(yùn)動規(guī)劃參數(shù)Tab.1 Parameters for offline planning of rolling contact model

表2 滾動接觸模型在線運(yùn)動規(guī)劃參數(shù)Tab.2 Parameters for online planning of rolling contact model

數(shù)，模擬反饋控制頻率為50 Hz，設(shè)置預(yù)測時間窗口為0.5 s，求解式(7)預(yù)測模型運(yùn)動，并將模擬結(jié)果作為傳感器的反饋輸入.表中kmax為迭代次數(shù)的最大值.

3.2 滾動約束系統(tǒng)的可控性

在真實系統(tǒng)中，應(yīng)建立具有可控性的滾動約束模型，對于滾動約束非完整系統(tǒng)的可控性，已有學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究.文獻(xiàn)[17]給出任意兩個空間三維物體滾動約束系統(tǒng)可控性的一般性結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)兩個物體的曲面空間是非等距同構(gòu)時，任意兩個空間三維物體滾動約束系統(tǒng)是完全可控的.

應(yīng)用上述結(jié)論，在任意模型參數(shù)下，球模型和平面模型是非等距同構(gòu)的，因此球-平面滾動接觸模型是完全可控的.對于球-球接觸模型，當(dāng)且僅當(dāng)兩球的半徑不同時，兩個球為非等距同構(gòu)，因此需要建立不同球半徑的接觸模型，即ρ1≠ρ2.

3.3 球-平面接觸模型運(yùn)動規(guī)劃仿真

對于球在平面滾動的運(yùn)動規(guī)劃仿真，標(biāo)記平面模型為物體1，標(biāo)記球模型為物體2，使用式(1)作為球參數(shù)表達(dá)式，選擇球半徑ρ=0.5.設(shè)置起點位形為qstart=[π/4 0 π/2 0 0]，目標(biāo)點位形為qgoal=[π/2 π/2 π/2 0 0].

圖4所示為該仿真案例中，滾動接觸模型在t=0，0.25，0.75，1 s時刻的狀態(tài)，并標(biāo)注兩個物體上接觸點的最終優(yōu)化軌跡.對比起終點位置處球模型上固連坐標(biāo)系的狀態(tài)，證明球面接觸點的位置[u2v2]以及ψ保持一致，圖中灰色平面表示接觸平面，紫色球體表示運(yùn)動過程中的接觸球體.

圖4 球-平面滾動接觸運(yùn)動規(guī)劃結(jié)果Fig.4 Planning results of sphere-plane rolling contact motion

圖5所示為球-平面模型仿真結(jié)果，模型的5個位形坐標(biāo)在t=0.9 s附近提前達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)位置，圖例中qg(i)(i=1,2,…,5)表示目標(biāo)點的5個位形坐標(biāo)，其中球面接觸點軌跡構(gòu)成一條閉合曲線以滿足起終點位置相同的要求，并且軌跡上的箭頭標(biāo)明了球面接觸點閉合軌跡的運(yùn)動方向.由于離線規(guī)劃采用低階的方法求解非完整約束方程，所以獲得的參考軌跡在真實機(jī)器人系統(tǒng)中并不能滿足非完整約束，而在實時控制中采用高階方法求解約束獲得的軌跡與真實系統(tǒng)更加接近，因此離線與在線規(guī)劃結(jié)果存在一定差異，同時在線規(guī)劃中通過調(diào)整預(yù)測窗口長度的方式可以快速得到下一采樣區(qū)間的優(yōu)化控制輸入，并在獲得新的反饋后修正結(jié)果，不斷滾動迭代.

圖5 球-平面模型優(yōu)化控制輸入和狀態(tài)空間曲線Fig.5 Optimized control input and state space curves of sphere-plane model

圖6 球-平面模型計算時間曲線Fig.6 tc versus t of sphere-plane model

圖6所示為球-平面模型的每步的計算時間tc與仿真時間(即前文控制時間)的關(guān)系，在該案例中，計算時間為6.5～8.9 ms，單步平均求解時長為7.1 ms.在仿真中，采樣時間為20 ms，考慮到使用MATLAB軟件計算效率較其他編譯型語言低，建立的控制器可用于中低速運(yùn)動的場景.

3.4 球-球接觸模型運(yùn)動規(guī)劃仿真

對于球在另一個球面滾動的運(yùn)動規(guī)劃仿真，標(biāo)記半徑較大的球模型為物體1，另外一個球模型為物體2，設(shè)置兩個球模型的半徑參數(shù)分別為ρ1=4，ρ2=1，同樣使用式(1)作為球參數(shù)表達(dá)式.設(shè)置起點位形為qstart=[π/4 0 π/2 0 0]，目標(biāo)點位形為qgoal=[π/2 π/4 π/2 0 0].

圖7所示為該仿真案例中，滾動接觸模型在t=0，0.25，0.75,1 s時刻的狀態(tài)，并顯示兩個物體上接觸點的最終優(yōu)化軌跡，終點處物體2上接觸點位置與起點處相同，并且達(dá)到物體1上的目標(biāo)位置.

圖8所示為球-球模型仿真結(jié)果，5個位形坐標(biāo)在t=1 s時刻達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)位置，由于對物體1上接觸點參考軌跡設(shè)置的權(quán)重較大，在線規(guī)劃的最終軌跡與物體1上的參考軌跡有較高的重合度.

圖7 球-球滾動接觸仿運(yùn)動規(guī)劃結(jié)果Fig.7 Planning results of sphere-sphere rolling contact simulation motion

實際上，如果SAC算法直接使用起終點的線性插值作為目標(biāo)軌跡，會出現(xiàn)無法到達(dá)目標(biāo)點的情況，因此離線規(guī)劃的目的是為在線規(guī)劃提供一條較好的參考軌跡，使得在線規(guī)劃每一次滾動優(yōu)化的目標(biāo)值都具有一定可行性，并且離線規(guī)劃可以根據(jù)實際情況調(diào)整配點數(shù)量和積分方法平衡參考軌跡的精度和計算時間.

圖9所示為球-球模型的每步的計算時間與仿真時間的關(guān)系，在該案例中，計算時間為6.7～13.0 ms，單步平均求解時長為8.1 ms，計算效率較球-平面模型低.

圖8 球-球模型優(yōu)化控制輸入和狀態(tài)空間曲線Fig.8 Optimized control input and state space curves of sphere-sphere model

圖9 球-球模型計算時間曲線Fig.9 Calculation time curve of sphere-sphere model

4 結(jié)語

本文基于純滾動接觸運(yùn)動學(xué)模型，構(gòu)建了含滾動約束這一類非完整系統(tǒng)的在線運(yùn)動規(guī)劃算法框架.針對已有的研究成果受限于特定的模型且提出的算法只適用于離線的、全局的運(yùn)動規(guī)劃的問題，改進(jìn)了SAC算法，采用離線運(yùn)動規(guī)劃結(jié)合在線運(yùn)動規(guī)劃的方式，建立了通用性更強(qiáng)的在線運(yùn)動規(guī)劃算法.通過配點法快速獲得低精確度的參考軌跡，在實時規(guī)劃過程中通過反饋校正和滾動優(yōu)化獲得下一步的優(yōu)化控制輸入.將算法用于球-平面模型和球-球模型的仿真，結(jié)果證明該算法可用于解決球形機(jī)器人地面運(yùn)動控制和機(jī)械手指操作物體的實時運(yùn)動規(guī)劃問題，也為其他滾動接觸機(jī)器人系統(tǒng)的控制算法提供了可行的解決方案.