基于陀螺效應(yīng)的異軸二輪自平衡車控制研究

謝韻清 韋永恒 田杰

摘 要：根據(jù)陀螺儀的工作原理，應(yīng)用歐拉方程對(duì)異軸二輪自平衡車建立了動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)計(jì)了模糊PID（Proportion Integration Differentiation）控制策略，并搭建MATLAB仿真模型研究了自平衡車直行受到外力作用時(shí)的穩(wěn)定性。本文對(duì)當(dāng)今二輪自平衡車的控制研究具有一定的指導(dǎo)意義，也可為其他車輛的控制研究提供理論依據(jù)和指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：陀螺儀; 異軸二輪自平衡車; 模糊PID控制; MATLAB仿真模型

中圖分類號(hào)：TP2? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：1006-3315（2021）10-211-002

二輪自平衡車因其節(jié)能、環(huán)保、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作靈活等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。二輪自平衡車可以分為兩種類型：同軸式和異軸式自平衡車。不同于同軸式自平衡車，異軸二輪自平衡車的兩個(gè)車輪前后放置且旋轉(zhuǎn)軸不同。相比于同軸式自平衡車，異軸自平衡車的異軸雙輪設(shè)計(jì)擁有更強(qiáng)的可操作性，陀螺儀系統(tǒng)保持車體自身平衡，全封閉的車體也保證了車輛的安全性能[1]。

基于陀螺效應(yīng)的異軸二輪自平衡車是一種采用陀螺儀穩(wěn)定技術(shù)使車輛本身具有自動(dòng)平衡能力的二輪前后置全封閉式電動(dòng)汽車。該車搭載了兩個(gè)自轉(zhuǎn)方向相反的陀螺儀，當(dāng)車輛直行過(guò)程中受到外力矩作用而發(fā)生側(cè)傾時(shí)，自平衡車上的傳感器將信息傳送到汽車的電控單元，電控單元經(jīng)過(guò)計(jì)算將控制信號(hào)傳送到陀螺系統(tǒng)，使陀螺儀的傾角發(fā)生相應(yīng)變化。也就是說(shuō)，車輛需要控制[2-3]才能使得陀螺儀產(chǎn)生一定的扭矩作用于車身，并使之恢復(fù)直立行駛。

1.陀螺儀工作原理

陀螺儀一般是指繞對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的軸對(duì)稱剛體，其旋轉(zhuǎn)軸在空間中的方位可以自由改變的機(jī)械裝置。其中，高速旋轉(zhuǎn)的剛體稱為轉(zhuǎn)子。它相對(duì)旋轉(zhuǎn)軸上某個(gè)固定點(diǎn)具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，此轉(zhuǎn)動(dòng)自由度由支承裝置保證，因此陀螺儀為包括高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子和支承裝置在內(nèi)的機(jī)械系統(tǒng)。本文研究的陀螺儀支承裝置是由外環(huán)和內(nèi)環(huán)組成的萬(wàn)向支架。

陀螺儀具有進(jìn)動(dòng)性和定軸性，是異軸二輪自平衡車保持平衡的基礎(chǔ)。進(jìn)動(dòng)性是指當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)子以高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，如果施加的外力矩是沿著除自轉(zhuǎn)軸以外的其它軸向，陀螺并不順著外力矩的方向運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度方向與外力矩作用方向互相垂直。定軸性是指當(dāng)高速旋轉(zhuǎn)的陀螺遇到外力時(shí)，它的極軸方向不會(huì)隨著外力方向而發(fā)生改變，而是圍繞一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)動(dòng)[4]。自由陀螺在受到?jīng)_擊后，極軸在平衡位置附近作一定頻率的橢圓錐運(yùn)動(dòng)，這種借助慣性維持的運(yùn)動(dòng)稱為陀螺的章動(dòng)。當(dāng)正在行駛的異軸二輪自平衡車突然受到某一外力的作用而發(fā)生車身側(cè)傾時(shí)，車身會(huì)先發(fā)生一定頻率的晃動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后才實(shí)現(xiàn)回正，繼而穩(wěn)定行駛，這就是由于陀螺儀的章動(dòng)現(xiàn)象而產(chǎn)生的車身傾角的變化。

2.異軸二輪自平衡車動(dòng)力學(xué)方程

異軸二輪自平衡車工作原理是：當(dāng)給陀螺儀一個(gè)垂直于其旋轉(zhuǎn)軸的扭矩時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)垂直于旋轉(zhuǎn)軸且垂直于扭轉(zhuǎn)軸的進(jìn)動(dòng)力矩，這個(gè)進(jìn)動(dòng)力矩足夠大時(shí)可使自平衡車恢復(fù)直立。該車所搭載的兩個(gè)陀螺儀自轉(zhuǎn)方向相反，以消除旋轉(zhuǎn)質(zhì)量對(duì)二輪自平衡車偏航動(dòng)力學(xué)的不利影響。當(dāng)正在直行的異軸二輪自平衡車突然受到外力作用而發(fā)生車身傾斜時(shí)，陀螺儀能夠讓使車輛產(chǎn)生適當(dāng)?shù)幕卣?，并使回正力矩沿同一個(gè)方向[5]，使異軸二輪自平衡車在直線行駛過(guò)程中保持平衡不倒。

2.1參考坐標(biāo)系

萊查坐標(biāo)系是一種特殊的極軸坐標(biāo)系，它僅指示極軸的方位卻不參與轉(zhuǎn)子的高速旋轉(zhuǎn)，用作軸對(duì)稱剛體的參考坐標(biāo)系時(shí)可使計(jì)算簡(jiǎn)化。將陀螺儀內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的角速度及位矢向動(dòng)坐標(biāo)系上投影，可以計(jì)算出剛體的主慣性矩和動(dòng)量矩在動(dòng)坐標(biāo)系上的投影表達(dá)式。當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系各軸與剛體的慣性主軸重合時(shí)，陀螺儀對(duì)各坐標(biāo)系的慣性積均為零，此時(shí)可以得到適用于陀螺儀的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)量矩表達(dá)式。

令萊查坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，并固結(jié)于陀螺儀本身。剛體在平動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)任意點(diǎn)的動(dòng)量矩變化率等于外力和慣性力對(duì)該點(diǎn)的合力矩，將此方程在外環(huán)坐標(biāo)系內(nèi)向各個(gè)方向投影，得出剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，即歐拉方程。

2.2整車動(dòng)力學(xué)方程

由萬(wàn)向支架支承的陀螺儀是由轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)、外環(huán)等三個(gè)剛體以軸和軸承相聯(lián)系組成的系統(tǒng)。它的力學(xué)模型是由這3個(gè)剛體組成的多剛體系統(tǒng)。我們將內(nèi)環(huán)與轉(zhuǎn)子的組合稱為內(nèi)環(huán)組合體，外環(huán)、內(nèi)環(huán)與轉(zhuǎn)子的組合體稱為外環(huán)組合體。整個(gè)小車系統(tǒng)便被簡(jiǎn)化成三個(gè)部分，即轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)組合體與外環(huán)組合體，這樣再對(duì)三個(gè)部分分別建立動(dòng)力學(xué)方程。

在萊查坐標(biāo)系中，由于萊查坐標(biāo)系并不固結(jié)于轉(zhuǎn)子，它不參與陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)，因此萊查坐標(biāo)系上的角速度與轉(zhuǎn)子角速度有相同的x、y軸分量，但有不同的極軸分量。將內(nèi)環(huán)的角速度向萊查坐標(biāo)系投影，即可得出轉(zhuǎn)子的角速度。由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩表達(dá)式可分別得出陀螺轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)組合體、外環(huán)組合體的動(dòng)量矩。其中，內(nèi)環(huán)組合體的動(dòng)量矩為內(nèi)環(huán)的動(dòng)量矩與陀螺轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩之和;外環(huán)、內(nèi)環(huán)、轉(zhuǎn)子的組合體為外環(huán)組合體，因此外環(huán)組合體的動(dòng)量矩為這三個(gè)部分的動(dòng)量矩之和。將三者角速度和動(dòng)量矩分別帶入歐拉方程組后，可以得到陀螺轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)組合體、外環(huán)組合體沿x、y、z方向上的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

在理想的情況下，萬(wàn)向支架遵循以下基本假定：內(nèi)環(huán)、外環(huán)的軸承約束均為理想約束。且約束力垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸，僅能傳遞垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩矢量;內(nèi)環(huán)、外環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸與剛體的慣性主軸重合，轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)軸與極軸重合;內(nèi)環(huán)、外環(huán)的轉(zhuǎn)軸之間，內(nèi)環(huán)與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)軸之間相互正交，三根轉(zhuǎn)軸交匯于陀螺的支點(diǎn)。在此理想假設(shè)下，根據(jù)動(dòng)力學(xué)分析，取陀螺轉(zhuǎn)子沿z方向的動(dòng)力學(xué)方程、內(nèi)環(huán)組合體沿y方向的動(dòng)力學(xué)方程以及外環(huán)組合體沿x方向的動(dòng)力學(xué)方程，構(gòu)成系統(tǒng)整體沿x、y、z方向的動(dòng)力學(xué)方程組。由此，我們得到了異軸二輪自平衡車整車的動(dòng)力學(xué)方程。

3.模糊PID控制器設(shè)計(jì)

異軸二輪自平衡車是一種要求具有快速響應(yīng)性并能夠在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)的非線性系統(tǒng)。傳統(tǒng)的PID控制器本質(zhì)為線性調(diào)節(jié)器，而對(duì)于具有強(qiáng)非線性特性的被控對(duì)象，其對(duì)調(diào)整時(shí)間的改善能力有限，而模糊控制技術(shù)具有適用范圍廣、對(duì)時(shí)變負(fù)載具有一定的魯棒性的特點(diǎn)。所以本文選用模糊PID的控制方法來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，并通過(guò)建模仿真研究模糊PID控制器對(duì)異軸二輪平衡車直行受到外力作用時(shí)的車身傾斜的回正情況。

模糊PID控制本質(zhì)上仍然是PID控制，它是在傳統(tǒng)PID控制過(guò)程中設(shè)置模糊控制器實(shí)現(xiàn)的，我們需要先明確傳統(tǒng)PID的控制策略，再進(jìn)行模糊PID控制器的設(shè)計(jì)。

3.1傳統(tǒng)PID控制策略

傳統(tǒng)PID控制器的運(yùn)算是由比例、積分、微分三個(gè)環(huán)節(jié)組成。其中，比例環(huán)節(jié)是對(duì)偏差的直接調(diào)整。通過(guò)比例的調(diào)節(jié)來(lái)減少偏差，比例系數(shù)會(huì)快速的起到控制作用，使得作用結(jié)果向我們的預(yù)期目標(biāo)快速變化;積分環(huán)節(jié)能在比例的基礎(chǔ)上消除余差，它能對(duì)穩(wěn)定后有積累誤差的系統(tǒng)進(jìn)行誤差修整，減小穩(wěn)態(tài)誤差;微分具有超前作用，對(duì)于具有容量滯后的控制通道，引入微分參與控制，對(duì)于提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，有著顯著效果，它可以使系統(tǒng)的超調(diào)量減小，穩(wěn)定性增加，動(dòng)態(tài)誤差減小。通過(guò)對(duì)比例、積分、微分系數(shù)的調(diào)節(jié)得到使得異軸二輪自平衡車傾角達(dá)到預(yù)設(shè)定值的電機(jī)控制量。

3.2模糊PID控制器

模糊PID控制是在傳統(tǒng)PID算法的基礎(chǔ)上，以誤差和誤差變化率作為輸入，利用確定的模糊規(guī)則進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，將得出的修正量分別輸入到PID調(diào)節(jié)器中，對(duì)比例、積分、微分系數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)在線修正，從而滿足不同時(shí)刻的誤差和誤差變化率PID參數(shù)自整定的要求[6]。本文設(shè)計(jì)的模糊PID控制器，以外力矩作用產(chǎn)生的車身傾角的偏差和車身傾角的偏差變化率作為模糊控制器的輸入變量，以的依據(jù)模糊規(guī)則整定的修正量作為輸出變量，構(gòu)成了二維模糊控制器，然后輸入到傳統(tǒng)PID調(diào)節(jié)器中，對(duì)車輛進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制。模糊PID控制器能夠更快響應(yīng)、更為準(zhǔn)確地對(duì)異軸二輪自平衡車進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制。

模糊PID控制需要確定隸屬度函數(shù)，隸屬度函數(shù)是模糊控制的應(yīng)用基礎(chǔ)，是否正確地構(gòu)造隸屬度函數(shù)是能否用好模糊控制的關(guān)鍵之一。隸屬度函數(shù)的確定過(guò)程，本質(zhì)上說(shuō)應(yīng)該是客觀的，但每個(gè)人對(duì)于同一個(gè)模糊概念的認(rèn)識(shí)理解又有差異，因此，隸屬度函數(shù)的確定又帶有主觀性。

模糊控制規(guī)則是模糊控制器中知識(shí)庫(kù)的一部分，模糊控制規(guī)則是建立在語(yǔ)言變量的基礎(chǔ)上。模糊控制規(guī)則是模糊控制器的核心，它的正確與否直接影響到控制器的性能，其數(shù)目的多寡也是衡量控制器性能的一個(gè)重要因素。建立模糊控制規(guī)則，需要將基本論域上的精確值依據(jù)隸屬函數(shù)歸并到各模糊子集中，從而用語(yǔ)言變量值（大、中、小等）代替精確值。將模糊PID控制器的輸入、輸出變量均劃分為7個(gè)模糊等級(jí)，分別是NB、NM、NS、Z、PS、PM、PB，即負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大。其中，輸入變量和輸出變量的變化范圍均為[-6，+6]，各變量都取三角形隸屬度函數(shù)。根據(jù)PID參數(shù)模糊自整定原理，建立模糊控制規(guī)則。

4.仿真分析

本文重點(diǎn)研究直行過(guò)程中的異軸二輪自平衡車在在受到外力矩作用后車身傾斜的回正情況，分別采用傳統(tǒng)PID和模糊PID對(duì)自平衡車進(jìn)行直立控制，并對(duì)這兩種控制方法的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以保證車輛能夠自動(dòng)回正的同時(shí)具有良好的魯棒性。

根據(jù)整車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，在MATLAB中搭建出系統(tǒng)仿真模型。在該仿真模型中，外力矩為輸入信號(hào)，在外力矩作用下，自平衡車的車身傾角和其搭載的陀螺儀的進(jìn)動(dòng)角為該模型的仿真結(jié)果[7]，輸出仿真圖像。通過(guò)對(duì)仿真圖象分析，可以較為直觀的觀察出車身傾角和陀螺儀進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間的變化。

4.1模型驗(yàn)證

實(shí)際情況中，當(dāng)行駛中的異軸二輪自平衡車突然受到一個(gè)外力的作用時(shí)，倘若不加控制，車輛只能依靠陀螺儀自轉(zhuǎn)與進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的強(qiáng)大扭矩來(lái)維持自身平衡，此時(shí)陀螺儀會(huì)因?yàn)檫@個(gè)外力矩先產(chǎn)生章動(dòng)現(xiàn)象，并伴隨著進(jìn)動(dòng)，一段時(shí)間后進(jìn)動(dòng)停止。與此同時(shí)，車身由于陀螺儀的章動(dòng)會(huì)產(chǎn)生一定頻率的晃動(dòng)，并在一個(gè)角度下保持穩(wěn)定。

我們將一個(gè)力矩信號(hào)輸入MATLAB模型中進(jìn)行仿真，結(jié)果發(fā)現(xiàn)車體的傾角和陀螺儀的進(jìn)動(dòng)角在力矩信號(hào)處發(fā)生震蕩，且振蕩的幅度隨時(shí)間變得越來(lái)越小，最后趨于穩(wěn)定值。這與實(shí)際情況相同，說(shuō)明所搭建的MATLAB模型較為準(zhǔn)確。

4.2穩(wěn)定性仿真分析

將一個(gè)力矩信號(hào)輸入MATLAB模型中，加入傳統(tǒng)PID控制器進(jìn)行仿真。在傳統(tǒng)PID控制下，相比于無(wú)PID控制器，車體傾角和陀螺儀進(jìn)動(dòng)角產(chǎn)生的震蕩幅度相對(duì)減小，且震蕩能夠更快得趨于一個(gè)穩(wěn)定值。說(shuō)明傳統(tǒng)PID控制器具有一定的控制效果，使傾斜的自平衡車更快回正。

將一個(gè)相同的力矩信號(hào)輸入模型中，加入模糊PID控制器進(jìn)行仿真，并與傳統(tǒng)PID控制下的自平衡車仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。相比傳統(tǒng)PID控制，模糊PID大大降低了自平衡車車身傾角震蕩幅度，并使其在更快恢復(fù)直立狀態(tài)，同時(shí)陀螺儀進(jìn)動(dòng)角也相對(duì)小于傳統(tǒng)PID控制之下的進(jìn)動(dòng)角度。由此可見(jiàn)，模糊PID控制對(duì)異軸二輪自平衡車的直立控制比傳統(tǒng)PID控制更有效。

4.3魯棒性仿真分析

為了進(jìn)一步研究模糊PID控制器的魯棒性，本文還分別通過(guò)改變車身質(zhì)量、車身質(zhì)心高度并進(jìn)行仿真。首先，改變車身的質(zhì)量，輸入一個(gè)力矩信號(hào)進(jìn)入模型中，在有模糊PID控制器下進(jìn)行仿真，觀察仿真圖象。經(jīng)過(guò)模糊PID控制，異軸二輪自平衡車能在短時(shí)間內(nèi)快速回正。這表明當(dāng)車身質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)，模糊PID也能較好地控制自平衡車達(dá)到理想的穩(wěn)態(tài)。在同樣的初始條件下，改變車身質(zhì)心高度進(jìn)行上述仿真，結(jié)果表明：無(wú)論是改變車身質(zhì)量還是質(zhì)心高度，經(jīng)過(guò)模糊PID控制異軸二輪自平衡車能夠在極短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)快速回正并且維持直立穩(wěn)定的狀態(tài)。

綜上所述，模糊PID控制相比于傳統(tǒng)PID控制能夠使自平衡車更快速響應(yīng)，并且在恢復(fù)直立狀態(tài)后能夠維持車身穩(wěn)定，且具有良好的魯棒性能。

基金項(xiàng)目：南京林業(yè)大學(xué)2021年大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（2021NFUSPITP0744）1

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