一個(gè)不等式與兩道數(shù)學(xué)競賽題的拓廣

江西省共青城市國科共青城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (332020) 姜坤崇 黃立才

本文給出一個(gè)帶兩個(gè)參數(shù)的三元不等式，并應(yīng)用它簡潔證明兩道數(shù)學(xué)競賽不等式問題的拓廣結(jié)論.

設(shè)三個(gè)正數(shù)變?cè)莤,y,z,p,q是非負(fù)參數(shù)，則有如下一個(gè)不等式：

命題設(shè)x,y,z>0,p≥0,q≥0,且p、q不全為零，s=x+y+z,則

證明：當(dāng)p=0或q=0時(shí)不等式①顯然成立，以下設(shè)p>0,q>0.①式等價(jià)于

由柯西不等式知以上不等式成立，故不等式①得證.

下面用不等式①給出兩道數(shù)學(xué)競賽不等式試題拓廣結(jié)論的證明.

題1 (2000年澳門數(shù)學(xué)競賽試題)已知a,b,c∈R+,且abc=1,求證：

將以上不等式拓廣，可得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，③式等號(hào)成立.

令p=λ-1≥0,q=1,則由不等式①得

從以上證明可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)上式中等號(hào)成立，故③式成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.

說明：(1)在不等式③中，令λ=1即得不等式②.

(2)結(jié)論1亦即《中等數(shù)學(xué)》數(shù)學(xué)奧林匹克問題高343，供題人提供的解答較繁，且不易推廣.

(3)根據(jù)不等式③及以上證明，不難將結(jié)論1推廣為：

而由柯西不等式知上式成立，即⑤式成立，從而不等式④得證.

將以上不等式拓廣，可得：

說明：(1)在不等式⑦中，令λ=4即得不等式⑥；

(2)以上結(jié)論3不但改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論1，而且這里借助①式給出的證明也較文獻(xiàn)[1]給出的結(jié)論1的證明簡潔得多.