條件轉(zhuǎn)化法在數(shù)學(xué)解題中的運用舉隅

江西省吉安市第一中學(xué) (343000) 郭天平 李作濱

條件轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，我們?nèi)裟苷莆者@種轉(zhuǎn)化策略，在遇到一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、隱蔽而難以解決的問題時，就可使生疏的問題熟悉化、抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，從而順利解決問題[1].常見的條件轉(zhuǎn)化方法有直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法等，本文列舉幾例予以說明.

例1 已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，它的最小值為1，且對任意x∈R，都有f(1+x)=f(1-x)成立，又f(0)=3.求f(x)的解析式.

評注：本題就是把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或者基本圖形問題，由問題直接轉(zhuǎn)化，得出結(jié)論.

評注：本題是運用換元法，使生疏的問題熟悉化，把無理式轉(zhuǎn)化為有理式或者使整式降冪等，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換成簡單問題，從而解決問題.

例3 若對任意的k∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零，求x的取值范圍.

析解1：本題給的已知條件是k的范圍，應(yīng)用函數(shù)換元思想，可以把式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元一次不等式g(k)=(x-2)k+x2-4x+4>0，在k∈[-1,1]時恒成立.只需要g(-1)>0且g(1)>0，即x2-5x+6>0且x2-3x+2>0，解得x<1或x>3.

析解2：本題也可以從另外一個角度進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)圖形來分析.考慮畫出函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k=(x-2)[x-(2-k)]的圖像，圖像與x軸有兩交點分別是2和2-k，結(jié)合k∈[-1,1]，2-k∈[1,3]，知函數(shù)圖像隨著k取值變化而變動.作出拋物線圖像，易得要使得能夠滿足函數(shù)取值恒大于零的條件為x<1或x>3.

析解3：本題還可轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題來處理.函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零，即為x2-4x+4>k(2-x)對任意的k∈[-1,1]恒成立，也即函數(shù)y=x2-4x+4的圖像恒在y=k(2-x)圖像上方，所以滿足條件的x值為x<1或x>3.

評注：在研究函數(shù)問題時，常借助函數(shù)的圖像特征，對判別式、給定區(qū)間端點的函數(shù)值、對稱軸與該區(qū)間的相對關(guān)系進(jìn)行全面綜合應(yīng)用.

圖1

析解：本題常規(guī)解法可以利用求根公式，也可以結(jié)合函數(shù)的圖形來分析，但要特別注意條件之間轉(zhuǎn)換的等價性，如果轉(zhuǎn)換不等價，就會出錯.

圖2

評注：等價轉(zhuǎn)化法就是把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題和結(jié)論都適合原問題.分析發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化的過程中，要進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，圖像之間的轉(zhuǎn)化也是等價的，對于重合的圖像，要單獨分析，從而確保解的個數(shù)不重不漏.

綜上可見，一個數(shù)學(xué)問題的解決，關(guān)鍵就在于如何合理使用條件轉(zhuǎn)化解決問題，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決問題的一般策略.