陳永高 鐘振宇

摘要： 隨機子空間算法作為時域模態(tài)分析的常用算法之一，存在系統(tǒng)定階需人為參與這一缺陷。基于此，針對奇異值跳躍法難以確定高階系統(tǒng)階次這一問題，提出了將其與“對數(shù)化處理”進行融合以便快速確定奇異值的明顯跳躍點;通過構(gòu)建頻率置信因子和振型置信因子用于確定真實階次的取值范圍;采用線性加權(quán)平均法構(gòu)建置信系數(shù)以確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的真實階次;將所提算法運用于某大型斜拉橋的模態(tài)參數(shù)識別，并將識別結(jié)果與現(xiàn)場試驗值和有限元結(jié)果進行對比分析。結(jié)果表明，所提算法能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)階次的自動化確定和模態(tài)參數(shù)的自動化識別，且識別結(jié)果具有較好的精度和可靠性。

關(guān)鍵詞： 橋梁結(jié)構(gòu); 參數(shù)識別; 模態(tài)振型; 隨機子空間算法; 系統(tǒng)定階

引 ?言

模態(tài)分析[1]作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測[2]的重要環(huán)節(jié)之一，能夠為結(jié)構(gòu)振動[3]控制、受損程度、運行狀態(tài)提供可靠的依據(jù)。模態(tài)分析[4]大致分為三大類，分別是時域模態(tài)分析、頻域模態(tài)分析以及時頻域模態(tài)分析。隨機子空間算法[5]作為時域模態(tài)分析中的主要算法之一，具有無需高階模型、輸入?yún)?shù)少和結(jié)果收斂性好的優(yōu)點而被廣泛運用于橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別中。隨著該識別算法被人們所熟知，其缺點也逐漸凸顯，其主要缺陷在于需人工參與系統(tǒng)階次的確定，導(dǎo)致定階結(jié)果具有人為主觀性;同時由于噪聲信號的影響，以致人工定階的結(jié)果難以滿足實際工程的需求。為了克服基于隨機子空間算法在模態(tài)參數(shù)識別過程中出現(xiàn)的人為定階問題，提出了一種新的系統(tǒng)階次自動辨識算法以實現(xiàn)模態(tài)參數(shù)結(jié)果的智能化識別，有效地提高橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的工作效率。

1 常用定階算法

隨機子空間算法分為協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間算法（Covariance?driven Stochastic Subspace Identification， COV?SSI）和數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間算法（Data?driven Stochastic Subspace Identification， DATA?SSI），兩種算法均需人工參與系統(tǒng)階次的確定。就系統(tǒng)階次的定義而言，可以理解為：模態(tài)分析的本質(zhì)是求矩陣的特征值問題，“階數(shù)”代表特征值的個數(shù)，將特征值從小到大排列就是階次;系統(tǒng)階次與自由度相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)為N自由度系統(tǒng)，則系統(tǒng)有N階固有頻率;同時階數(shù)與振型相對應(yīng)，有多少個階數(shù)就有多少個振型。

現(xiàn)階段常用的定階算法有以下兩種：

（1）奇異值跳躍法定階[6]：首先以結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號為輸入數(shù)據(jù)，以得到相應(yīng)的奇異值;其次繪制奇異值與狀態(tài)矩陣階次[7]的曲線圖;再經(jīng)人工辨識跳躍點;最后確定結(jié)構(gòu)的真實階次為狀態(tài)矩陣階次（跳躍點之前奇異值數(shù)總和）的一半[8]。

（2）穩(wěn)定圖法定階[9]：首先根據(jù)結(jié)構(gòu)的自身特點假定一個階次（需大于真實階次）;其次分別計算各階次對應(yīng)的參數(shù)結(jié)果（包括：頻率值、阻尼比以及振型系數(shù)）;再對比分析相鄰階次各參數(shù)結(jié)果間的差異，當(dāng)差異值滿足預(yù)設(shè)的最小限值時，將該點歸為穩(wěn)定點;并構(gòu)建穩(wěn)定軸組成最終的穩(wěn)定圖;最后將穩(wěn)定軸對應(yīng)的系統(tǒng)階次作為結(jié)構(gòu)的真實階次。

2 自動化定階原理

為實現(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)階次的自動化確定，本文首先對奇異值跳躍法進行改進用于尋找明顯的跳躍點，以確定真實階次的大致范圍;其次基于頻率穩(wěn)定的原則，構(gòu)建頻率置信因子用于確定真實階次的范圍;再基于模態(tài)置信準則構(gòu)建振型置信因子再次確定真實階次的范圍;最后采用線性加權(quán)平均法構(gòu)建置信系數(shù)用于確定結(jié)構(gòu)的最終真實階次。以下將詳細分析系統(tǒng)階次的自動化定階流程。

2.1 奇異值跳躍法的辨識

奇異值跳躍法的基本原理是根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號構(gòu)建Toplitz矩陣，并進行奇異值分解得到正交矩陣和對角矩陣，計算式如下

（1）

為對角矩陣中對角線上的元素，其元素個數(shù)即為系統(tǒng)階次。實際運用中，因結(jié)構(gòu)處于環(huán)境激勵下以致傳感器采集的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號內(nèi)往往含有一定的噪聲信號，導(dǎo)致中奇異值的跳躍現(xiàn)象有時并不明顯。研究結(jié)果表明[10]，大部分高階系統(tǒng)隨著系統(tǒng)階次的增加，跳躍現(xiàn)象會越來越不明顯。

圖1為某大型斜拉橋?qū)?yīng)的奇異值與狀態(tài)矩陣階次的曲線圖，根據(jù)該圖可知跳躍點僅存在于系統(tǒng)的前幾階中;隨著階次增大，跳躍點的辨識顯得很困難。由于奇異值跳躍法定階的辨識量并非相鄰階次對應(yīng)的奇異值差值，所以并不能根據(jù)圖1中相鄰階次奇異值的差值大小來辨識結(jié)構(gòu)的真實階次。為了直觀地辨識高階系統(tǒng)中奇異值的跳躍現(xiàn)象，可引入統(tǒng)計學(xué)中的“對數(shù)化”處理[11]，即通過對奇異值向量進行對數(shù)化處理以便發(fā)現(xiàn)奇異值的跳躍現(xiàn)象。選擇對數(shù)化處理主要是基于如下三方面的原因：

（1）對數(shù)化處理后能縮小數(shù)據(jù)的絕對數(shù)值，方便計算;

（2）向量對數(shù)化處理后并不會改變數(shù)據(jù)的性質(zhì)和相關(guān)關(guān)系，卻能很好地壓縮變量的尺度;

（3）向量對數(shù)化處理后得到的數(shù)據(jù)易消除異方差問題。

圖2為奇異值對數(shù)化處理后與狀態(tài)矩陣階次的關(guān)系圖，根據(jù)該圖可發(fā)現(xiàn)明顯的跳躍點發(fā)生在階左右，即可假定該系統(tǒng)的真實模態(tài)（真實階次）大致為。但考慮到橋梁結(jié)構(gòu)一般處于環(huán)境激勵下，以致傳感器采集的加速度響應(yīng)信號內(nèi)均存在噪聲影響，因此，基于奇異值對數(shù)化所得跳躍點確定的系統(tǒng)階次可能并非最真實的階次。針對噪聲影響系統(tǒng)階次這一問題，所在項目組做過專門的試驗，即分析不同結(jié)構(gòu)在不同信噪比下奇異值跳躍點的存在規(guī)律。經(jīng)過對近1000組數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的真實階次一般在跳躍點的前后一定范圍內(nèi);將真實階次的范圍定為具有可靠性。

2.2 頻率置信因子

相比COV?SSI算法，DATA?SSI在計算投影矩陣時僅需進行一次QR分解，具有更高的計算效率，因此本文以DATA?SSI為識別算法進行結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別。以下將詳細分析如何通過構(gòu)建頻率置信因子來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)階次范圍的確定。

（1）基于2.1節(jié)提出的奇異值對數(shù)化法確定系統(tǒng)真實階次的大致范圍;

（2）利用DATA?SSI對結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進行參數(shù)識別，得到系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸出矩陣，并對進行特征值分解，得到對角矩陣和特征向量矩陣，并最終求得頻率值，計算式如下

（6）實際運用中，因結(jié)構(gòu)處于環(huán)境激勵下以致傳感器采集的響應(yīng)信號內(nèi)含有一定程度的噪聲信號等，導(dǎo)致求解得到的頻率置信因子最大值（）可能并不是真正意義上的真實模態(tài)，真實階次應(yīng)該為一個范圍?；谙嚓P(guān)系數(shù)的基本理論[13]，選取對應(yīng)的階次范圍作為真實模態(tài)階次。

2.3 模態(tài)置信準則

為了保證確定的系統(tǒng)真實階次不僅能滿足頻率的穩(wěn)定性，還應(yīng)滿足振型的穩(wěn)定性，可基于模態(tài)置信準則（Modal Assurance Criterion，MAC）構(gòu)建振型置信因子，從階次范圍中選擇最合理的階次作為結(jié)構(gòu)的真實階次。具體步驟如下：

（4）對于結(jié)構(gòu)而言，其頻率值和振型系數(shù)具有同等的重要性，則通過線性加權(quán)平均法構(gòu)建置信系數(shù)（），從中選取對應(yīng)的模態(tài)為結(jié)構(gòu)的真實階次。

2.4 自動化定階流程

基于奇異值對數(shù)化處理、頻率置信因子和振型置信因子的系統(tǒng)自動化定階算法，其具體步驟歸結(jié)如下：

（1）利用MATLAB軟件求解得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號對應(yīng)的奇異值向量，并對其進行對數(shù)化處理，找到明顯的跳躍點，確定系統(tǒng)真實階次的大致范圍為;

（2）基于DATA?SSI算法求解得到結(jié)構(gòu)各階次對應(yīng)的頻率值，構(gòu)建頻率下三角矩陣，基于相似系數(shù)的原理求解出頻率置信因子（），進而確定系統(tǒng)階次范圍;

（3）構(gòu)建振型置信因子（）確定系統(tǒng)階次范圍;

（4）求解和的交集部分，并基于線性加權(quán)平均法求解用于篩選真實階次的系數(shù)?置信系數(shù)（），選取最大置信系數(shù)對應(yīng)的模態(tài)階次為結(jié)構(gòu)的真實階次。

梳理上述流程，可得流程圖如圖4所示。

3 實際工程算例

3.1 工程概況

為證明所提系統(tǒng)定階算法能夠運用于實際橋梁結(jié)構(gòu)中，以某大型斜拉橋為識別對象進行系統(tǒng)階次的確定和模態(tài)參數(shù)的識別。該橋為雙塔扇形雙索面的塔梁分離懸浮體系斜拉橋，邊跨和主跨跨度分別為130 m和360 m，邊跨距索塔中心線98.7 m處設(shè)置輔助墩，橋面凈寬15 m+2×1.5 m人行道。汽車荷載為超20級，人群荷載為，設(shè)計水位為三峽正常蓄水位，設(shè)計洪水頻率為1/300。橋上共布置11組加速度傳感器用于采集加速度響應(yīng)信號，全橋布置圖和傳感器布置圖（紅圈部分為傳感器位置）如圖5所示。信號采樣頻率為20 Hz，圖6為某傳感器采集到的響應(yīng)信號時程圖，對應(yīng)時長為200 s，采樣點共計4000個。

3.2 奇異值-對數(shù)化定階

基于2.1節(jié)算法流程，分別運用奇異值跳躍法和奇異值?對數(shù)化法進行系統(tǒng)階次的確定，分析的響應(yīng)信號為11組傳感器在1 h內(nèi)采集的加速度響應(yīng)信號數(shù)據(jù)，即每組傳感器對應(yīng)的數(shù)據(jù)點為72000，結(jié)果如圖7所示。由圖7可知對于大型斜拉橋這種高階系統(tǒng)，并不能根據(jù)奇異值跳躍法辨識系統(tǒng)的階次;但對奇異值取對數(shù)化之后發(fā)現(xiàn)在狀態(tài)矩陣階次等于300階時奇異值發(fā)生了明顯地跳躍，即該橋梁結(jié)構(gòu)的真實系統(tǒng)階次大致范圍為[120，180]。

3.3 自動化定階

根據(jù)頻率置信因子確定階次范圍為[143，159]，根據(jù)振型置信因子確定的階次范圍為[147，153]，兩者的交集階次范圍為[147，153]，各階次對應(yīng)的置信系數(shù)如表1所示。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，該橋梁結(jié)構(gòu)的真實階次為150。

4 模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

利用DATA?SSI算法識別得到該橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定圖，如圖8所示。為驗證所提算法能實現(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的自動化識別，以下將該識別結(jié)果與真實的動載試驗結(jié)果以及MIDAS有限元模型所得結(jié)果進行對比。

在橋梁結(jié)構(gòu)的主跨跨中采用跳車激振的方式對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生激勵，并利用加速度傳感器采集結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號，最后對該響應(yīng)信號進行分析識別其自振頻率，跳車自振頻譜圖如圖9所示。

利用MIDAS軟件建立全橋模型，其中斜拉索和主梁的材質(zhì)為鋼材，彈性模量為，泊松比取值為0.3;主塔采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，對應(yīng)彈性模量為，泊松比取值為0.17。其邊界條件為：橋墩底和索塔底均固結(jié);主梁結(jié)構(gòu)與橋墩連接處采用剛性連接，且釋放梁端約束;主梁結(jié)構(gòu)對應(yīng)的節(jié)點間為彈性連接。全橋節(jié)點數(shù)為1104個，單元數(shù)為1028。利用特征值分析得到該斜拉橋的前5階頻率值。

4.1 頻率識別結(jié)果

將本文識別所得頻率結(jié)果和跳車試驗結(jié)果以及MIDAS有限元結(jié)果進行對比，結(jié)果如表2所示。由表中數(shù)據(jù)可知：

（1）前5階頻率值與跳車自振頻率值間的差值百分比最大值為1.9%;

（2）前5階頻率值與MIDAS有限元頻率值間的差值百分比最大值為4.6%;

（3）三種算法所得結(jié)果間的差值均很小，起到了很好的相互驗證效果，也進一步證明所提自動化識別算法能夠很好地運用于實際橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別。

4.2 各階次所得識別結(jié)果

為驗證所提定階算法所得的階次為最佳階次，假定該橋梁結(jié)構(gòu)的真實階次分別為147，148，149，150，151，152及153，并基于隨機子空間算法識別出各階次對應(yīng)的前5階頻率值，具體結(jié)果如表3所示。

將各階次所得結(jié)果與跳車自振頻率值做對比分析，結(jié)果如表4所示;表5為各階次所得結(jié)果與MIDAS有限元頻率值間的對比。

對比表4和5可知：

（1）該橋梁結(jié)構(gòu)的真實階次數(shù)為150階時，其所得前5階頻率值結(jié)果與跳車自振頻率值間的平均誤差百分比是階次范圍[147，153]中最小的，僅為0.8%;

（2）該橋梁結(jié)構(gòu)的真實階次數(shù)為150階時，其所得前5階頻率值結(jié)果與MIDAS有限元頻率值間的平均誤差百分比是階次范圍[147，153]中最小的，僅為2.5%;

（3）進一步驗證了3.3節(jié)所得結(jié)論具有可靠性，即該橋梁結(jié)構(gòu)的真實階次為150階。

4.3 穩(wěn)定圖定階算法識別結(jié)果

將穩(wěn)定圖定階算法所得頻率結(jié)果和跳車試驗結(jié)果以及MIDAS有限元結(jié)果進行對比，結(jié)果如表6所示。由表中數(shù)據(jù)可知：

（1）識別得到的前5階頻率值與跳車自振頻率值間的差值百分比最大值為10%;

（2）識別得到的前5階頻率值與MIDAS有限元頻率值間的差值百分比最大值為11.7%;

對比表2和表6可知，穩(wěn)定圖定階算法所得前5階頻率值與跳車自振頻率結(jié)果和MIDAS頻率值間的差距值均大于本文所提定階算法所得結(jié)果與理論值間的差距值，可知本文所提定階算法比穩(wěn)定圖定階算法具有更好的識別效率。

4.4 模態(tài)振型識別結(jié)果

為進一步驗證所提識別算法不僅能精確地識別得到頻率值，還能識別出模態(tài)振型。利用MIDAS模型識別得到該斜拉橋前5階模態(tài)振型如圖10所示。圖11是所提識別算法所得各傳感器節(jié)點對應(yīng)的二維模態(tài)振型圖和三維模態(tài)振型圖。對比圖10和圖11可知，所提算法識別得到的前3階模態(tài)振型與MIDAS所得振型圖具有很高的相似度，表明所提算法能夠很好地識別出實際橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。

5 結(jié) ?論

（1）傳統(tǒng)的奇異值跳躍法無法精確地找到高階系統(tǒng)的跳躍點，經(jīng)對數(shù)化處理后，能較為明顯地確定跳躍點的位置;

（2）自動化定階的步驟：首先對奇異值進行對數(shù)化處理以尋找明顯的跳躍點，并求得系統(tǒng)階次的大致范圍;其次通過構(gòu)建頻率置信因子和振型置信因子分別求得真實階次的取值范圍;最后采用線性加權(quán)平均法構(gòu)建置信系數(shù)來最終確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的真實階次;

（3）所提定階算法比穩(wěn)定圖定階算法具有更好的識別效率;

（4）所提算法能很好地運用于實際橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)自動化識別，且識別得到的頻率值和模態(tài)振型均具有可靠性。

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