毛晨濤 張翔 祖洪飛

摘要： 傳統(tǒng)校準方法只能辨識空載工況下機器人桿件及關(guān)節(jié)誤差，當機器人在大負載工況下由于變形會導致末端精度顯著下降。提出了大負載機器人在重載條件下關(guān)節(jié)變形的模型，通過激光跟蹤儀測量辨識機器人關(guān)節(jié)剛度系數(shù)，并優(yōu)化控制律設計。該方法基于指數(shù)積（POE）模型和微分誤差模型，在空載工況下計算出結(jié)構(gòu)參數(shù)，零位誤差，將補償結(jié)果寫回機器人控制器;在滿載條件下基于之前的坐標準直，辨識機器人關(guān)節(jié)剛度系數(shù)，完成校準過程。本算法在新松、埃斯頓等多家機器人公司的產(chǎn)品上進行了驗證。結(jié)果表明：該校準方法能夠使大負載機器人在重載工況下的絕對定位精度與空載工況下接近。

關(guān)鍵詞： 工業(yè)機器人; 剛度辨識; 關(guān)節(jié)變形; 重載; 指數(shù)積

引 ?言

工業(yè)機器人的零部件在加工裝配過程中不可避免地會引入桿長、零位等結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，通常的解決方法是通過測量機器人末端的定位誤差來辨識其結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過結(jié)構(gòu)參數(shù)校準能夠極大地提升機器人性能，其絕對定位精度指標通常能夠達到1 mm以內(nèi)[1?4]。然而通過大量試驗發(fā)現(xiàn)，機器人在大負載工況下，由于關(guān)節(jié)的變形，只通過結(jié)構(gòu)參數(shù)校準并不能很好地提升機器人精度。通過辨識各關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)，補償由于變形導致的關(guān)節(jié)角度偏差，可以有效提升機器人在重載條件下的絕對定位精度。通常焊接、激光切割和噴涂等機器人末端都會加載大負載工裝，同時這些操作對機器人的絕對精度要求比較嚴格，所以對大負載機器人的關(guān)節(jié)剛度系數(shù)辨識是很必要的。對于工業(yè)機器人的剛度校準，國內(nèi)外提出了很多理論和方法，如通過機器人三維模型進行有限元分析得到末端的變形量[5];對電機?減速器?連桿的變形?力矩關(guān)系建立了數(shù)學傳遞模型[6];基于CCT理論將機器人末端所受力?力矩分解到各個關(guān)節(jié)上，分析變形?力矩關(guān)系[7?10];包含平衡缸的機器人剛度校準等[11]。但是先前研究大部分都是基于理論計算得到機器人各關(guān)節(jié)克服末端及自身重力所要提供的力矩，而這部分力矩沒有考慮克服減速器齒輪之間的摩擦力所要提供的力矩，使得最后計算得到的剛度系數(shù)偏小;而且之前的研究大部分都基于機器人的DH模型，當前后兩關(guān)節(jié)平行時DH模型會存在奇異的問題。

機器人建模理論方面，Denavit?Hartenberg首先提出了DH模型，該模型能夠使用最小參數(shù)集表示各關(guān)節(jié)坐標系。Hayati通過引入繞y軸旋轉(zhuǎn)的冗余參數(shù)消除DH模型中的奇異性問題，提出了MDH模型[12]。之后，Brockett提出基于指數(shù)積（POE）的機器人模型也很好地解決了DH模型中存在的奇異性問題[13]，而且更直觀地描述了關(guān)節(jié)角度和末端位姿變化的關(guān)系。Li等基于POE模型對SCARA機器人誤差進行了辨識[14]。之前還沒有學者使用POE模型對機器人剛度參數(shù)進行辨識。

通過上述分析，本文基于POE模型，考慮機器人空載下幾何構(gòu)型誤差及重載下的關(guān)節(jié)變形誤差，建立機器人的誤差微分模型、測量并分析點位數(shù)據(jù)、辨識出相關(guān)誤差量并對控制器參數(shù)補償以提升機器人絕對定位精度性能。本文提出的算法通過試驗驗證了剛度系數(shù)辨識和變形補償方法的有效性。

1 機器人校準問題描述

1.1 機器人-傳感器系統(tǒng)

機器人測量系統(tǒng)搭建如圖1所示，其中機器人末端實到位置通過激光跟蹤儀測量安裝在機器人末端的靶標球得到。本試驗所采用的測量設備是Faro Vantage激光跟蹤儀（精度為10 μm+2.5 μm/m），試驗對象是新松的重載機器人SR210（最大負載為210 kg）。大負載機器人通常使用RV減速器進行減速增矩，其傳動齒輪表面通常進行修形或硬化處理。通過大量試驗發(fā)現(xiàn)當機器人負載較小時，減速器扭轉(zhuǎn)變形可以忽略不計。而在大負載工況運動時，減速器變形處于近似線性的區(qū)域。

基于以上分析，分兩步分別對機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)和剛度系數(shù)進行辨識，其測試流程如圖2所示?？蛰d結(jié)構(gòu)參數(shù)校準時，機器人末端依次運動到笛卡爾空間的任意50個位型，測量并記錄下其位置數(shù)據(jù)及相應的關(guān)節(jié)角度值，辨識得到測量坐標到基坐標系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣，機器人桿長零位等結(jié)構(gòu)參數(shù)值和工具中心點坐標值。將機器人在空載條件下辨識得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)補償回機器人控制器，然后在機器人末端加上210 kg質(zhì)量塊;同樣地，機器人運動到之前的50個位型，記錄各個位型對應的末端位置信息、關(guān)節(jié)角度值和各關(guān)節(jié)的電流值，辨識得到各關(guān)節(jié)由于負載變形的剛度系數(shù)。

由于測量坐標系到機器人基坐標系的坐標轉(zhuǎn)換是未知的，需要辨識坐標轉(zhuǎn)換矩陣進行坐標對齊。本文將空載結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識得到的坐標準直作為后續(xù)性能測量與剛度校準的基準，用于對比驗證校準前后的精度提升情況。

1.2 機器人前向運動學

考慮一個n自由度的串聯(lián)機器人，其末端點在笛卡爾空間中可以描述為非線性映射關(guān)系

式中 ?映射f（）描述了關(guān)節(jié)角度值θ，待辨識參數(shù)x到機器人末端位置P的關(guān)系。由Brockett提出的應用于機器人運動學POE模型，基于旋量理論和線性代數(shù)將每個關(guān)節(jié)軸以旋量的形式表達在空間中。由于POE模型從幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)微分空間到模型參數(shù)微分空間是連續(xù)映射關(guān)系，能夠避免DH模型存在奇異的問題，同時也更直觀地描述末端誤差與關(guān)節(jié)角度誤差的關(guān)系，所以本文基于POE模型對機器人進行建模。根據(jù)POE參數(shù)模型的定義，在測量坐標系下表示的機器人末端坐標為

式中 ?M為從測量坐標系到機器人基坐標系的坐標變換，，為機器人各軸關(guān)節(jié)角，為各關(guān)節(jié)的旋量表示，為在零初始條件下從機器人基坐標到末端坐標的齊次變換。

1.3 校準問題描述

機器人校準問題可視為以末端絕對定位誤差為目標函數(shù)的優(yōu)化問題，不斷搜索得到使定位誤差減小的結(jié)構(gòu)參數(shù)解。將多組測量并計算得到的定位誤差描述為最小二乘誤差形式，則目標函數(shù)可寫為

式中 ?向量r為m組位型對應的機器人末端定位誤差序列，為第j組位型對應的機器人末端位置測量值。對于結(jié)構(gòu)參數(shù)校準問題，待辨識參數(shù)x表現(xiàn)為機器人桿長零位等參數(shù);對于剛度系數(shù)校準問題，待辨識參數(shù)x表現(xiàn)為各個關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)。

2 校準問題的求解

通過上一部分對機器人校準問題的分析，將其抽象為一個最小化優(yōu)化問題。下面結(jié)合機器人運動學相關(guān)理論，對上述校準問題進行求解。

2.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)校準

高斯?牛頓法使用泰勒展式近似代替非線性回歸模型公式，不斷迭代使待辨識參數(shù)逼近非線性回歸模型的真實值。其迭代過程可以表示為

2.2 剛度系數(shù)校準

通過先前學者的研究，發(fā)現(xiàn)機器人桿件剛度系數(shù)遠大于機器人關(guān)節(jié)剛度。同時，由于機器人控制的實時性需要，補償關(guān)節(jié)角度變形更容易實現(xiàn)。所以，只考慮機器人電機?減速器?連桿重載變形中減速器的變形。直流伺服電機的電磁特性公式為

式中 ?為電機的輸出力矩，為電機電勢常數(shù)，為磁通量，I為電機的控制電流，其可以直接從機器人的控制器中讀取。將減速器作為研究對象，作用在各關(guān)節(jié)的力矩關(guān)系如下式所示

從上式可以看到各關(guān)節(jié)的輸入力矩不僅要克服自身的等效重力矩，還要克服減速器之間的摩擦力矩和加載在末端的力?力矩等效在各關(guān)節(jié)上的力矩。由于在靜止條件下進行測試，所以不存在科氏離心力矩和。先前的研究對關(guān)節(jié)剛度系數(shù)辨識時只考慮了自重力矩和外力矩，而忽略了存在非線性的摩擦力矩，導致計算理論力矩時存在誤差。注意到電機的輸出力矩等于減速器的輸入力矩，直接讀取伺服電機的電流值計算減速器克服外力矩的等效力矩，可以更精確地辨識剛度系數(shù)。

將減速器近似為線性扭簧模型，桿件近似為剛體，則減速器的角度變形量與輸入力矩成正比。減速器的輸入力矩與變形量存在以下關(guān)系。

3 實驗驗證與結(jié)果分析

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)解耦

對于六轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)機器人，結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3.2 剛度系數(shù)辨識與補償

如圖4所示，通過在機器人末端加載力?力矩，使機器人的關(guān)節(jié)產(chǎn)生變形。使用跟蹤儀測量機器人末端的定位誤差，通過控制器讀取各關(guān)節(jié)電流值及相應的關(guān)節(jié)角度，可以辨識出柔度系數(shù)向量。

3.3 實驗過程及結(jié)果

機器人空載校準結(jié)果如表1所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)校準前后的精度如圖6所示，可以看到經(jīng)過結(jié)構(gòu)參數(shù)的校準，機器人的絕對定位精度從2.36 mm提升到0.82 mm，精度提升了65.25%。

機器人滿載校準結(jié)果如表2所示，剛度系數(shù)校準前后的精度如圖7所示。經(jīng)過剛度系數(shù)校準，機器人的絕對定位精度從10.09 mm提升到2.42 mm，精度相對于結(jié)構(gòu)參數(shù)校準的結(jié)果提升了76.01%。

有一點需要說明，由于本實驗設計的過程中只加載了重力負載，重力方向與機器人第一轉(zhuǎn)軸的方向一致，根據(jù)機器人靜力學的理論可知，重力分解到第一轉(zhuǎn)軸的力矩為0，從實驗的數(shù)據(jù)上也可以驗證第一軸的電機控制電流很小。由于第一軸減速器輸出力矩幾乎為0，所以不對第一軸的柔度系數(shù)進行辨識。同樣地，從圖1可以看到，末端加載的質(zhì)量負載是中心對稱的，所以第六軸的輸出力矩也幾乎為0，所以也不對第六軸的柔度系數(shù)進行辨識。

為了進一步驗證剛度校準的效果，根據(jù)GB12642對機器人選定工作立方體中的5個點進行性能測量驗證，驗證的結(jié)果如圖8和表3所示。剛度校準能夠極大地提升重載時機器人末端的絕對定位精度，但精度還是略低于空載結(jié)構(gòu)參數(shù)校準后的數(shù)據(jù);在空載狀態(tài)下對剛度參數(shù)進行校準，絕對定位精度的結(jié)果卻下降了，原因可能是在空載狀態(tài)下減速器的齒輪變形不明顯，還處于硬化區(qū)域，在重載辨識的剛度系數(shù)并不適用于空載的情況。

對圖8中空載減速器齒輪變形處于硬化區(qū)域進行進一步研究，驗證不同負載率條件下辨識的剛度系數(shù)的適用情況。不同負載率條件下補償?shù)膭偠认禂?shù)均是在機器人滿載情況下辨識得到的。實驗結(jié)果如表4所示，可以看出當負載率達到25%以上，對關(guān)節(jié)變形補償后，機器人末端的位置準確度與距離準確度都有明顯提升，滿載時補償效果最好。

4 結(jié) ?論

本文通過建立基于POE理論的微分運動誤差模型，對空載工況下的機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進行校準，得到坐標準直和工具TCP信息，在滿載工況下對機器人各個關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)進行辨識，補償回機器人控制器，進而提高機器人的絕對定位精度。該算法有以下優(yōu)勢：

（1）基于機器人POE模型，從幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)微分空間到模型參數(shù)微分空間是連續(xù)映射關(guān)系，避免了DH模型位型奇異性的問題;

（2）先前學者研究基于POE模型的校準只修正旋量的誤差，而旋量誤差不能與機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)對應補償回控制器，本文引入解耦矩陣B分離各個結(jié)構(gòu)參數(shù)，使得校準結(jié)果能夠直接提升機器人性能;

（3）激光跟蹤儀能夠方便采集機器人末端位置，對于機器人廠家而言，固定機型的機器人跑兩遍50個點的位置，就能完成結(jié)構(gòu)參數(shù)與剛度參數(shù)的校準，整體校準時間可以縮減至20 min，極大地提高生產(chǎn)效率，節(jié)約人力成本;

（4）本算法極大地提升了機器人重載工況下的絕對定位精度，使得機器人即使在較大負載情況下（如汽車制造業(yè)）也能滿足生產(chǎn)需求。

該算法沒有考慮機器人桿件變形對末端絕對定位精度的影響，絕對定位精度還有進一步提高的空間。

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A joint deformation compensation method for heavy-load industrial robots

MAO Chen?tao1， ZHANG Xiang2，4， ZU Hong?fei3， CHEN Zhang?wei1

（1.State Key Laboratory of Fluid Power and Mechatronic Systems， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China; 2.Computer and Softwere School， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China; 3.School of Mechanical Engineering & Automation， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China; 4.Zhejiang Premax Technologies， Ningbo 315000， China）

Abstract： The traditional robot calibration method can only identify the errors of geometric parameters under no-load conditions. When the robot is deformed under heavy load conditions， the positioning accuracy is significantly reduced. This paper proposes a model of joint deformation for robots under heavy load conditions， the robot joint stiffness matrix is identified by the laser tracker and the control law design is optimized. Based on the POE model and the differential error model， the structural parameters are calculated under no-load conditions， and the result is written back to the robot controller. Under the heavy load conditions， the robot stiffness matrix is identified based on the previous transformation. The algorithm has been verified on the products of many robot companies. The results show that the calibration method can improve the absolute positioning accuracy of large load robots under heavy load conditions.

Key words： industrial robot; stiffness identification; joint deformation; heavy load; product of exponentials （POE）

作者簡介： 毛晨濤（1993-），男，博士研究生。電話：13606629086; E-mail： mct@zju.edu.cn

通訊作者： 陳章位（1965-），男，教授，博士生導師。電話：13805793651; E-mail： chenzw@zju.edu.cn