項 帆，王雨時，聞 泉，王光宇

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

剛體外彈道學(xué)在19世紀隨著線膛火炮和圓柱形旋轉(zhuǎn)彈丸的成功研制而誕生，屬于剛體動力學(xué)，重點研究彈丸繞質(zhì)心運動規(guī)律及其對質(zhì)心運動的影響[1-2]。我國從20世紀60年代開始研究彈丸的繞質(zhì)心運動[3]，包括彈丸的自轉(zhuǎn)和攻角變化規(guī)律，然而受限于計算機仿真技術(shù)和氣動力參數(shù)測試條件，無法給出剛體外彈道方程的數(shù)值解，只能通過實驗測試其大致規(guī)律[4]。直到20世紀80年代，彈丸氣動力參數(shù)測試方法成熟后[5]，剛體外彈道學(xué)模型才被應(yīng)用到彈丸的飛行分析中。通過對彈丸剛體外彈道方程的數(shù)值解算，可定量分析彈丸剛體彈道諸元，從而在全彈道上準確判斷出彈丸飛行穩(wěn)定性。因此，剛體外彈道學(xué)是彈道諸元理論計算、外彈道設(shè)計、彈丸結(jié)構(gòu)設(shè)計等方面的重要計算工具[6]。

目前，剛體外彈道學(xué)模型已日趨完善，其應(yīng)用范圍不再限于經(jīng)典的彈道計算，在彈丸飛行故障查找、射擊精度分析[7]、全彈實物仿真、大擾動條件下控制系統(tǒng)設(shè)計[8]、彈丸飛行落點預(yù)報[9-10]等方面都有涉及。本文簡要介紹無控彈丸剛體外彈道學(xué)發(fā)展過程，對比分析準剛體外彈道學(xué)模型和剛體外彈道學(xué)模型差異，詳細介紹旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸和尾翼穩(wěn)定彈丸的6自由度剛體運動方程，總結(jié)剛體外彈道學(xué)模型數(shù)值算法、氣動力參數(shù)獲取方式以及應(yīng)用，試圖為剛體外彈道學(xué)在引信技術(shù)中的應(yīng)用特別是解決引信彈道炸問題提供參考。

1 剛體外彈道學(xué)發(fā)展概況

1.1 剛體外彈道學(xué)的特點和任務(wù)

無控彈丸外彈道學(xué)是研究無控彈丸在空氣中運動規(guī)律及總體性能的科學(xué)，研究對象包括槍彈、炮彈、航空炸彈和火箭彈等“彈丸”(或“彈頭”即飛行體)[11]，其最終目的是通過技術(shù)途徑輔助這些“彈丸”更好地命中目標。目前，無控彈丸外彈道學(xué)在彈道計算、飛行穩(wěn)定性評估、起始擾動分析、散布理論、總體優(yōu)化設(shè)計、實驗技術(shù)及參數(shù)辨識等研究領(lǐng)域都有應(yīng)用[9]。

外彈道學(xué)可分為質(zhì)點外彈道學(xué)和剛體外彈道學(xué)。質(zhì)點外彈道學(xué)是在一定假設(shè)條件下，忽略對彈丸運動影響較小的一些力和全部力矩，把彈丸當(dāng)成一個質(zhì)點，研究其在重力、空氣阻力和火箭推力作用下的運動規(guī)律。質(zhì)點外彈道學(xué)的使命在于研究在此簡化條件下的彈道計算問題，分析影響彈道的因素，并初步分析形成散布和射擊誤差的原因[12]。

剛體外彈道學(xué)則是考慮彈丸所受的所有力和力矩，把彈丸當(dāng)作剛體研究其質(zhì)心運動、圍繞質(zhì)心運動(亦稱角運動)及其對質(zhì)心運動的影響。彈丸的真實運動為6自由度的剛體運動，因此很多文獻中也把剛體外彈道學(xué)模型稱作6自由度剛體外彈道學(xué)模型[12](簡稱6D彈道模型)。一般認為剛體外彈道學(xué)的主要使命在于解釋彈丸飛行中出現(xiàn)的各種復(fù)雜現(xiàn)象，研究彈丸穩(wěn)定飛行條件、形成散布的機理以及減小散布的途徑[13]，還可用于精確計算彈道[14]。

1.2 4D、5D彈道模型及其特點

在20世紀50年代人們就意識到在炮口處受到的擾動會使彈丸在外彈道上受多種力和力矩作用[15-16]，然而限于理論和實驗條件，無法計算所有力和力矩；因此早期外彈道學(xué)模型是經(jīng)過一定簡化的，忽略了對彈丸飛行穩(wěn)定性和射擊精度影響較小的力和力矩。例如文獻[13]在研究彈丸質(zhì)心運動和繞質(zhì)心運動時，就忽略了馬格努斯力和馬格努斯力矩。

此外，剛體外彈道學(xué)模型的初始參數(shù)和未知量比較多，其解算速度非常慢，無法滿足實時性要求。通過適當(dāng)減少對結(jié)果影響不大的未知量個數(shù)，可大幅度提升計算效率，這樣簡化后的剛體外彈道學(xué)模型稱為準剛體外彈道學(xué)模型。按假設(shè)條件和氣動力參數(shù)的不同，準剛體外彈道學(xué)模型分為4自由度外彈道學(xué)模型(簡稱4D彈道模型)和5自由度外彈道學(xué)模型(簡稱5D彈道模型)。

1.2.14D彈道模型

4D彈道模型由3自由度質(zhì)點彈道模型改進而來，在其基礎(chǔ)上增加了一個彈丸自轉(zhuǎn)方程(即彈丸繞過質(zhì)心的彈軸角運動方程)，從而在彈丸落點的側(cè)偏中包含了因彈丸自轉(zhuǎn)形成的偏流[17-18]。4D彈道模型中考慮了誘導(dǎo)阻力、升力、馬格努斯力、極阻尼力矩和馬格努斯力矩，并用動力平衡角(或者角運動穩(wěn)態(tài)解)來代替攻角。4D彈道模型的作用是為了精確計算彈丸動力平衡角，并同時快速解算外彈道方程，其積分步長可達到1 s甚至數(shù)秒，且當(dāng)全彈道上最大攻角較小時(2°～5°)，其解算結(jié)果較為接近6自由度剛體外彈道模型結(jié)果[19]。

4自由度旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸的彈道計算，是Lieske最早(1966年)提出修正質(zhì)點彈道模型，給出了平衡攻角方程[20]。應(yīng)用該理論開發(fā)的4自由度外彈道計算軟件(LOB和LOBS)大幅度改善了射擊精度，目前在射表編制、炮兵火控系統(tǒng)中應(yīng)用較為廣泛[5]。

1.2.25D外彈道學(xué)模型

在較大射高的情況下，空氣密度的影響使得彈重引起的攻角運動幅值增大，4D彈道模型在射程、偏流的計算結(jié)果上與6D彈道模型相差在1%以上[24]。因此需要在4D彈道模型和6D彈道模型之間找出一個折衷模型，既能改善4D彈道模型的結(jié)果又比6D彈道模型解算顯著加快，由此推動了5D彈道模型的研究。

5D彈道模型又稱為降6D彈道模型。在6D彈道模型中，彈軸運動可分為進動和章動。進動屬于慢圓運動，章動屬于快圓運動。5D彈道模型在計算旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的彈道時忽略了攻角運動中的快圓運動。對于無控彈丸而言，在外彈道上不會受到額外的擾動，此時攻角中的慢圓運動遠遠大于快圓運動，因而快圓運動對彈道的影響幾乎完全可以忽略，反映在彈道方程上就是假設(shè)6D外彈道方程中的角加速度在彈軸坐標系y軸和z軸上投影為零[21]。

1.2.34D、5D彈道模型優(yōu)點

相比于6D剛體外彈道學(xué)模型，準剛體外彈道學(xué)模型與質(zhì)點外彈道學(xué)模型的差異在于外彈道方程的解算速度和精度。射高較小的情況下，在射角不是很大(小于65°)時，4D彈道模型、5D彈道模型和6D彈道模型的落點諸元幾乎一致，而質(zhì)點彈道方程則相差很大。當(dāng)射高較大且射角也很大(大于65°)時，4D彈道模型相比于5D彈道模型和6D彈道模型會產(chǎn)生一定偏差[22]。

在計算速度上，質(zhì)點彈道模型最快，6D彈道模型最慢。若以2自由度外彈道學(xué)模型(后面簡稱2D彈道模型)為標準，則6D彈道模型解算時間是2D彈道模型的數(shù)百倍，5D彈道模型是2D彈道模型的幾十倍，4D彈道模型解算時間是2D彈道模型的2～3倍[23]。

文獻[24]以155 mm口徑低阻遠程底排彈為例，在初速795 m/s、射角72°、最大攻角28°、計算機為IBM/PC XT條件下，對比4D彈道模型、5D彈道模型和6D彈道模型的解算結(jié)果，見表1。

表1 不同彈道模型對155 mm口徑低阻遠程底排彈計算結(jié)果

由表1可以看出，4D彈道模型計算速度最快，但是在偏流上與6D彈道模型誤差較大，而5D彈道模型在4D彈道模型和6D彈道模型之間做了很好的折中，在精度上與6D彈道模型相比誤差小于1%，在時間上僅是4D彈道模型的5～6倍。

1.3 剛體外彈道學(xué)模型

1.3.1基本假設(shè)

6D彈道模型考慮了彈丸外形尺寸。對于常規(guī)火炮彈丸，其射擊距離和飛行高度有限，可忽略地球曲率的影響，也可不考慮高度對彈丸重力的影響[25]。一般有如下基本假設(shè)：

1) 氣象條件為標準氣象條件；

2) 地表面是平面，重力加速度恒定，方向垂直向下；

3) 忽略地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科氏慣性力；

4) 不考慮氣動燒蝕[26]；

5) 彈丸質(zhì)量分布均勻[27]；

6) 彈丸是軸對稱體，即關(guān)于縱軸對稱。

1.3.2基本坐標系

剛體外彈道學(xué)重點研究彈丸繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運動，然而其彈軸擺動規(guī)律和自轉(zhuǎn)規(guī)律不易在地面坐標系中體現(xiàn)，因此需要建立其他坐標系。在以往的外彈道文獻中，對彈丸繞質(zhì)心運動規(guī)律是在速度坐標系、彈軸坐標系、彈體坐標系和第二彈軸坐標系中進行分析的。彈軸坐標系和速度坐標系由基準坐標系兩次旋轉(zhuǎn)而來，如圖1和圖2所示。彈體坐標系由彈軸坐標系繞彈軸旋轉(zhuǎn)一個自轉(zhuǎn)角得到，第二彈軸坐標系由速度坐標系兩次旋轉(zhuǎn)得到。

圖1 速度坐標系與基準坐標系的關(guān)系Fig.1 The relationship between the speed coordinate system and the reference coordinate system

圖2 彈軸坐標系與基準坐標系的關(guān)系Fig.2 The relationship between the bullet axis coordinate system and the reference coordinate system

彈丸6D外彈道學(xué)模型各坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3所示。

圖3 彈丸6D外彈道學(xué)模型各坐標系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.3 Transformation relationship between coordinate systems of projectile 6D exterior ballistics model

1.3.3旋轉(zhuǎn)彈剛體外彈道學(xué)模型

彈丸在外彈道上受到的力包括阻力、升力、重力和馬格努斯力。其中，阻力方向與彈丸速度方向相反，升力垂直于速度方向向上，馬格努斯力垂直于攻角平面。彈丸受到的力矩包括馬格努斯力矩、極阻尼力矩、赤道阻尼力矩和翻轉(zhuǎn)力矩。其中，馬格努斯力矩垂直于彈軸，極阻尼力矩方向與轉(zhuǎn)速方向相反，赤道阻尼力矩與擺動角速度方向相反，翻轉(zhuǎn)力矩垂直于彈軸向上，用于保持彈丸平衡。圖4為彈丸在外彈道上所受到的各種力和力矩[28-33]。其中Rx為阻力、Ry為升力，v為來流速度，xc為彈丸質(zhì)心，xp為彈丸壓力中心，δ為攻角，My為馬格努斯力矩、Mxz為極阻尼力矩、Mz為翻轉(zhuǎn)力矩、Mzz為赤道阻尼力矩。由彈丸運動和外彈道受力情況即可列出旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸的外彈道剛體運動方程。

圖4 旋轉(zhuǎn)彈丸在外彈道上所受的力和力矩Fig.4 The force and moment of the rotating projectile on the outer trajectory

1.3.4尾翼彈剛體外彈道學(xué)模型

低速旋轉(zhuǎn)的尾翼穩(wěn)定彈在飛行過程中所受的力及力矩有：重力、升力、阻力、馬格努斯力、穩(wěn)定力矩、赤道阻尼力矩、馬格努斯力矩以及尾翼穩(wěn)定彈所特有的尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩。尾翼穩(wěn)定彈丸在飛行過程中，基本不發(fā)生自轉(zhuǎn)運動或者只有較低的轉(zhuǎn)速，因此，在標準大氣條件下其彈道彎曲是彈軸偏離速度方向的唯一根源[32]。

另外，如果彈丸低速旋轉(zhuǎn)，則攻角的變化將不止是在平面內(nèi)擺動，而是擺動和進動的綜合運動。但經(jīng)計算分析[34]，由于尾翼形成的控制力對彈丸的控制為末端控制，其進動運動非常小，故可以將其近似為平面內(nèi)的擺動。

尾翼穩(wěn)定彈剛體外彈道學(xué)模型通常有如下基本假設(shè)[35]：

1) 彈丸在縱向平面內(nèi)運動，z坐標(側(cè)偏)為零；

2) 彈丸發(fā)射時，擾動導(dǎo)致產(chǎn)生的初始攻角很小，在解算中假設(shè)為一小值。飛行中，穩(wěn)定力矩和赤道阻尼力矩將使攻角作衰減的正弦振蕩，直至穩(wěn)定。在忽略攻角的振蕩對速度矢量影響的前提下，所建立的攻角擺動方程與質(zhì)心運動方程之間沒有直接聯(lián)系；

3) 彈丸不滾轉(zhuǎn)，攻角只在所在平面內(nèi)擺動，因而在模型中，只建立攻角所在平面內(nèi)的方程，不需要分析其他分量。

在以上假設(shè)基礎(chǔ)上可得尾翼穩(wěn)定彈丸剛體外彈學(xué)道模型[36-37]?？紤]到馬格努斯力在合力中所占比例很小，而科氏慣性力僅對射程較遠的彈丸才值得考慮，故尾翼穩(wěn)定彈丸剛體外彈學(xué)道模型忽略了馬格努斯力和科式慣性力[38-39]。

尾翼彈6D彈道模型應(yīng)用很廣：文獻[40]用來分析尾翼穩(wěn)定脫殼穿甲彈彈托的運動規(guī)律，對比了不同攻角、側(cè)滑角條件下彈托的質(zhì)心運動軌跡，揭示了彈托在分離過程中對彈丸的作用過程；文獻[41]在分析地對地戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈再入速度時，應(yīng)用6D彈道模型研究了尾翼子彈速度衰減規(guī)律，對比了不同初始彈道傾角、不同尾翼尺寸的子彈以及無尾翼子彈速度隨高度變化規(guī)律；文獻[42]在分析微型擾流片的控制機理和控制效果時，以尾翼彈為研究對象建立了考慮微型擾流片引起的力和力矩的6D彈道模型，解算并對比了不同初速、不同時刻打開擾流片時彈丸側(cè)偏隨距離變化規(guī)律。

1.4 剛體外彈道學(xué)模型求解

1.4.1剛體外彈道學(xué)模型解算初始條件

質(zhì)點外彈道學(xué)模型只需要極少的初始參量(包括彈徑、阻力系數(shù)、彈重、初速、射角)就可以得出彈丸的質(zhì)心外彈道運動規(guī)律，而剛體外彈道學(xué)模型需要參量較多，分為三類：彈丸剛體模型參量、發(fā)射初始條件和彈丸氣動力系數(shù)。

彈丸剛體模型參量包括：彈徑、彈長、彈重、極轉(zhuǎn)動慣量、赤道轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心距彈底距離。發(fā)射初始條件包括：初速、炮口轉(zhuǎn)速、射角、重力加速度、火炮纏度、初始章動角。外彈道氣動力系數(shù)包括：零攻角阻力系數(shù)和存在一定攻角時的升力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)、翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、極阻尼力矩系數(shù)、赤道阻尼力矩系數(shù)。

1.4.2剛體外彈道學(xué)模型解算數(shù)值方法

常微分方程組的數(shù)值解法有：歐拉法、龍格-庫塔法、阿當(dāng)姆斯-預(yù)報矯正法和吉爾法等。歐拉法在計算機未發(fā)明之前應(yīng)用較多，但不易滿足精度要求；阿當(dāng)姆斯-預(yù)報矯正法需要知道前三個函數(shù)值才能計算下一個函數(shù)值，因此在計算之前需要用其他方法(如龍格-庫塔法)解出前三個函數(shù)值。用阿當(dāng)姆斯-預(yù)報矯正法解算時只需要計算微分方程組右端函數(shù)值，能大幅度提升求解速度，但是不便于改變積分步長。對于剛性較嚴重的變系數(shù)、非線性、需變維以及初始值分段加入的常微分方程組的數(shù)值求解，可采用吉爾法。該方法容易改變階和步長，且每積分一步解隱式方程組所需的工作量較小[43]。吉爾法缺點是計算復(fù)雜，有時引入的微分次數(shù)多。

求解外彈道方程最常用的數(shù)值方法是龍格-庫塔法[44]。該方法是泰勒級數(shù)的改進版，是工程計算中廣泛應(yīng)用的高精度單步算法，適用于多數(shù)連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)。四階龍格-庫塔法能夠滿足6D剛體外彈道學(xué)模型解算的精度要求，其求解精度正比于積分步長的五次方。理論上積分步長越小精度越高，但積分誤差會累積，因此積分步長也不宜過小[45]。龍格-庫塔法易于程序化，在求解6D外彈道方程時運用最廣的是四階五階龍格-庫塔法，它用四階方法提供候選解，五階方法控制誤差，是一種自適應(yīng)步長(變步長)的常微分方程數(shù)值解法[46-47]。龍格-庫塔法從誕生至今一直能在外彈道微分方程組求解上得到應(yīng)用，在于以下優(yōu)點:

1) 具有同一形式的計算流程圖；

2) 不需要進行“起始”計算；

3) 計算過程中容易改變步長；

4) 能很好地適應(yīng)方程右端函數(shù)為間斷函數(shù)的情形。

龍格庫塔法缺點也很明顯，即不適用于剛性微分方程組的求解。文獻[48]曾驗證，龍格-庫塔法不適用于未知數(shù)過多的剛性微分方程組求解，用龍格-庫塔法求解戰(zhàn)略導(dǎo)彈的6D彈道模型(包含數(shù)百個變量和數(shù)百個微分方程)時會出現(xiàn)嚴重病態(tài)現(xiàn)象，對這類彈道模型解算應(yīng)采用高精度的龍格-庫塔轉(zhuǎn)阿當(dāng)姆斯法以保證仿真精度，積分步長取為2 ms。

此外，吉爾法對解決剛性微分方程組有很高的穩(wěn)定性，并且在同樣的求解精度下求解時間最短，文獻[49]對比了四階龍格-庫塔法和吉爾法在隨機軌道模型(顆粒相模型)計算中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)吉爾法在計算穩(wěn)定性和計算速度上顯著優(yōu)于四階龍格-庫塔法。目前還未發(fā)現(xiàn)吉爾法已經(jīng)應(yīng)用于無控彈丸剛體外彈道學(xué)模型解算。

1.4.3氣動力參數(shù)獲取

獲取彈丸氣動力參數(shù)的方式有四種：理論計算、實驗測試、實彈射擊和計算流體力學(xué)軟件仿真。理論計算誤差大，實彈射擊成本高，目前很少單獨采用。當(dāng)前獲取彈丸氣動力參數(shù)的方式主要為實驗測試和計算流體力學(xué)軟件仿真。

實驗測試包括靶道實驗和風(fēng)洞實驗。靶道試驗主要采用偏航紙靶和閃光陰影照相技術(shù)，獲得的攻角精度為0.016°～ 0.12°，獲得質(zhì)心坐標精度為0.025～3 mm[50]。將靶道實驗得到的數(shù)據(jù)通過概念-知識(C-K)技術(shù)[51]應(yīng)用到彈道方程上，就可得出各氣動力參數(shù)。風(fēng)洞實驗可以很好模擬彈丸在亞音速和跨音速階段的氣動力參數(shù)，能精確測量尾翼彈的俯仰力矩系數(shù)和偏航力矩系數(shù)[52]。

測試結(jié)果說服力較強，但受限于苛刻的實驗條件和成本。目前更多的是使用計算流體力學(xué)軟件仿真。計算流體力學(xué)方法具有易獲取流場數(shù)據(jù)和成本低的優(yōu)點，并且可模擬不同尺寸的物理模型，可較為精確地預(yù)測物理模型的流場特性及現(xiàn)象，在無法完成實驗的情況下能夠較為準確地得到模型的氣動力參數(shù)[53]。文獻[54—56]介紹了通過FLUENT流體力學(xué)軟件仿真旋轉(zhuǎn)彈和尾翼彈在不同馬赫數(shù)下氣動力參數(shù)的過程。對旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈而言，仿真初始條件包括彈丸外形尺寸、飛行速度、空氣密度和攻角。通過仿真可直接得到彈丸的阻力系數(shù)、升力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)、翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、極阻尼力矩系數(shù)、赤道阻尼力矩系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)。

2 剛體外彈道學(xué)應(yīng)用情況

2.1 剛體外彈道學(xué)在非引信技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用

剛體外彈道學(xué)在現(xiàn)代武器研制中已有應(yīng)用，例如射表編制、火控系統(tǒng)設(shè)計、火炮測試與實驗。伴隨20世紀80年代后期外彈道實驗技術(shù)快速發(fā)展，剛體外彈道學(xué)已應(yīng)用于各彈種(末敏彈、彈道修正彈等智能彈藥)的彈道特性分析，而不再局限于常規(guī)彈藥領(lǐng)域。這些彈丸的彈道主要部分還是無控飛行，適合用剛體外彈道學(xué)模型進行分析[57]。目前剛體外彈道學(xué)在以下幾個方面已投入使用或正在研究[48]：

1) 大擾動、大姿態(tài)偏差條件下的彈丸控制系統(tǒng)設(shè)計；

2) 飛行器系統(tǒng)質(zhì)量評估和飛行落點預(yù)報；

3) 彈頭再入段的誤差分析；

4) 常規(guī)彈丸非常規(guī)飛行故障分析；

5) 導(dǎo)彈系統(tǒng)作戰(zhàn)仿真和作戰(zhàn)效能分析；

6) 彈道導(dǎo)彈精度分析和鑒定；

7) 基于6自由度的全彈道可視化仿真研究[58]。

2.1.1剛體外彈道學(xué)在射表編制中的應(yīng)用

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭對炮兵提出首發(fā)命中要求的情況下，提高射表精度并正確使用射表具有更加重要的意義[59]。在測試技術(shù)和計算工具不發(fā)達的過去，只能使用質(zhì)點外彈道學(xué)模型編制射表。由于數(shù)學(xué)模型不精確，故編制射表要消耗大量彈藥，而且編制周期很長，精度也不高。目前計算機技術(shù)已高速發(fā)展，可采用精度更高的6D彈道模型改進編制方法，尤其是對彈丸初始階段，其攻角對彈道有很大影響，使用剛體外彈道學(xué)模型更為合適[28]。20世紀60年代初期，中國常規(guī)兵器試驗中心曾嘗試用6D彈道模型編制射表，后因耗用機時太長、占用容量太大、起始擾動無法給出等原因，以失敗告終。1991年，我國就5D彈道模型編制射表的可行性作了進一步論證，在中國常規(guī)兵器試驗中心太極-2220計算機上計算射角為65°、初速為700 m/s、射程為17 km的一條彈道約需機時88.45 s，而整個射表大約需要71 140條彈道，至少耗時296天，時間過長[60]。到目前為止尚未見有文獻涉及起始擾動的確定問題。

一般射表編制是在標準氣象條件下完成的。我國炮兵的射表形式參照了前華約射表[61]，是以低海拔靶場的實驗結(jié)果為基礎(chǔ)編制的。炮兵部隊在高原使用過程中發(fā)現(xiàn)，采用這種方法編制的高原射表與實際存在明顯差異。文獻[62]給出了一種基于5自由度外彈道學(xué)模型的新型射表編制方法，并以155 mm口徑底凹彈為例，分析其在高原環(huán)境下用傳統(tǒng)方法(2D彈道模型)和新方法(5D彈道模型)編制的射表計算出的射程，見表2。從表2可看出，在射角為20°和50°、海拔1 423 m條件下，5D彈道模型比2D彈道模型的計算精度高很多。

表2 在高原環(huán)境下用2D彈道模型和5D彈道模型編制的射表計算結(jié)果比較[62]

2.1.2剛體外彈道學(xué)在火控系統(tǒng)中的應(yīng)用

在火控系統(tǒng)中，火控彈道模型對火炮射擊精度影響很大?；鹂貜椀滥Ｐ驼`差在火控系統(tǒng)所有誤差中占比較大。對于地面火炮，距離誤差占20%～50%，方向誤差占15%～30%[2]。

隨著測試手段和計算機技術(shù)的發(fā)展，火控系統(tǒng)彈道模型也在不斷發(fā)展，相繼出現(xiàn)了質(zhì)點外彈道模型、修正質(zhì)點外彈道模型、剛體外彈道模型和準剛體外彈道模型。一般形式的剛體外彈道模型計算時間過長，影響火控系統(tǒng)的反應(yīng)時間。目前降階的準剛體外彈道模型已可滿足精度和實時性要求[63]，尤其是4D彈道模型，北約已把4D彈道模型作為射表和火控計算機數(shù)據(jù)處理的標準模型[61,64]。然而應(yīng)用4D彈道模型迭代運算動力平衡角繁瑣費時，而現(xiàn)代戰(zhàn)爭中為準確、快速地求解射擊裝定諸元和進行偏差修正，通常要求火炮計算機解算時間不超過5 s[65]。為此，文獻[66]給出求解動力平衡角的另一種算法，稱為快4D模型，與原算法相比計算結(jié)果精度不變，速度提升40%以上。

2.1.3剛體外彈道學(xué)在155 mm口徑榴彈彈丸外彈道解算中的應(yīng)用

目前，剛體外彈道學(xué)模型已應(yīng)用在多種彈丸模型的外彈道計算中，其中以155 mm口徑榴彈彈丸居多[67-70]。表3給出了幾種155 mm口徑榴彈彈丸模型初始參數(shù)，表4給出了三篇參考文獻中155 mm口徑榴彈彈丸模型6自由度彈道計算用氣動力參數(shù)，彈1為底凹彈，其三維模型見文獻[74]，彈2和彈3均為平底彈。

由表3和表4可知，155 mm口徑榴彈彈丸氣動力參數(shù)中零升阻力系數(shù)、升力系數(shù)、極阻尼力矩系數(shù)、翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)相差不大，而馬格努斯力系數(shù)和馬格努斯力矩系數(shù)差異很大。在表3和表4給出的初始條件下，各模型計算射程和實驗值見表5。由表5可知，馬格努斯力系數(shù)和馬格努斯力矩系數(shù)差異對計算誤差影響不大，計算誤差都在0.5%以內(nèi)，遠小于質(zhì)點外彈道學(xué)射程誤差。文獻[72]分析了155 mm口徑火炮榴彈彈丸地面密集度與射程的關(guān)系。表6和表7分別為155 mm口徑榴彈彈丸在50°射角條件下地面密集度計算值與射表的誤差對比以及不同射程下各因素(質(zhì)量散布、初速散布、縱風(fēng)散布、射角散布、橫風(fēng)散布和起始偏角)對地面密集度的影響。

表3 文獻給出的三種155 mm口徑榴彈彈丸剛體外彈道學(xué)模型初始參數(shù)

表4 文獻給出的三種155 mm榴彈彈丸模型剛體外彈道學(xué)計算用氣動力參數(shù)

表5 文獻給出的3種155 mm口徑彈丸剛體外彈道學(xué)計算射程和對應(yīng)測試值的誤差[71-73]

表6 彈2在50°射角和30 088 m射程條件下地面密集度計算值與射表值[72]

表7 彈2在不同射程和不同射角條件下各因素對地面密集度影響[72]

文獻[73]分析了考慮彈丸動不平衡時的彈丸6自由度外彈道方程(彈丸原始參數(shù)參考文獻[73])，用其解算了155 mm彈丸(模型初始參數(shù)見表3和表4中的彈丸3數(shù)據(jù))的飛行距離、高度、速度、速度高低角隨時間的變化規(guī)律，并與質(zhì)點外彈道學(xué)模型計算結(jié)果對比，如圖5所示?？煽闯鲑|(zhì)點彈道模型和剛體彈道模型解算出的曲線在趨勢上一致，但6D彈道模型比質(zhì)點彈道模型計算出的射程、最大高度、落點速度和落角小。

圖5 6D外彈道方程與質(zhì)點外彈道方程計算結(jié)果對比[73]Fig.5 Comparison of calculation results between 6D exterior ballistic equation and mass point exterior ballistic equation[73]

2.2 剛體外彈道學(xué)在引信技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用

剛體外彈道學(xué)模型能解決因彈丸繞質(zhì)心運動所產(chǎn)生的的引信零件受力分析所需的彈道力學(xué)環(huán)境問題[3]。

2.2.1動不平衡彈丸6D剛體運動方程

由于彈丸設(shè)計、制造等原因，彈丸會存在質(zhì)量分布不對稱和幾何外形不對稱的情況。前者使彈丸質(zhì)心偏離其幾何中心，使彈丸慣性主軸(彈丸的旋轉(zhuǎn)軸)偏離其幾何對稱軸(引信軸線)，后者使空氣動力軸偏離幾何對稱軸[78]。彈丸的不對稱性使得在計算彈丸外彈道6D剛體運動方程時，要去掉彈丸是完全對稱體的假設(shè)條件。

(1)

2.2.2彈丸質(zhì)量偏心對章動角變化規(guī)律的影響

彈丸章動會顯著影響章動力和爬行力。文獻[80]總結(jié)了155 mm口徑榴彈的最大章動角和偏心距以及早期、近期文獻所披露的爬行力、章進力及總軸向慣性力最大值，發(fā)現(xiàn)章動角在9°以內(nèi)時，考慮章動影響的爬行力是未考慮章動影響時的1.45倍。

彈丸質(zhì)量偏心是造成章動的關(guān)鍵因素之一，也是影響彈丸軸向慣性力的關(guān)鍵因素之一，在章動角相同的條件下，每1 mm的質(zhì)量偏心會增加15%～30%的軸向慣性力[80]。在有偏心同時又有初始擾動的情況下，章動現(xiàn)象是繞著某一章動軸線產(chǎn)生進動，但進動過程同時又是繞著速度方向軸線進行進動的復(fù)合章動運動，這會導(dǎo)致章動角發(fā)散[81]。文獻[81]中以120 mm口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈為例，在初速516 m/s、射角15°、初始擾動為3°條件下，通過Adams仿真對比了彈丸在無偏心和有1.6 mm徑向偏心時彈丸的章動角變化規(guī)律，如圖6所示。

圖6 120 mm口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈無偏心和有1.6 mm徑向偏心時章動角與時間關(guān)系[81]Fig.6 The relationship between nutation angle and time when 120 mm caliber rotary stabilized projectile has no eccentricity and 1.6 mm radial eccentricity

由圖6可看出，在無偏心的條件下，在炮口處彈丸的章動角最大，隨后逐漸衰減，隨著彈丸初始擾動角的增大，彈丸最大章動角也隨之增大。在有偏心的條件下，隨著彈丸初始擾動角的增大，彈丸最大章動角仍隨之增大，但章動角將無法收斂，且最大章動角比無偏心條件下的要大。

2.2.3自轉(zhuǎn)規(guī)律與以往公式結(jié)果對比

以往研究彈丸轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律常采用經(jīng)驗公式。按復(fù)雜程度劃分，比較簡易的有柔格里公式、冪函數(shù)式和指數(shù)函數(shù)式[82]，它們是考慮彈帶刻槽和彈體表面摩擦阻力得到的經(jīng)驗公式。其中柔格里公式的參數(shù)有炮口轉(zhuǎn)速、彈徑、彈長和極轉(zhuǎn)動慣量四個，冪函數(shù)式中的參數(shù)有炮口轉(zhuǎn)速和彈徑兩個，指數(shù)函數(shù)式的參數(shù)只有炮口轉(zhuǎn)速一個。冪函數(shù)式和指數(shù)函數(shù)式這兩個半經(jīng)驗公式形式簡單，能滿足彈丸和引信工程設(shè)計要求，并能用于彈丸和引信的性能估算，但未考慮極轉(zhuǎn)動慣量的影響，對極轉(zhuǎn)動慣量差異較大的另類彈丸(如破甲彈)，誤差大于柔格里公式[83]。

比較復(fù)雜的經(jīng)驗公式有斯列斯金公式[84]和在此基礎(chǔ)上改進的轉(zhuǎn)速衰減模型[85]，它們考慮了彈形、彈體表面摩擦阻力、空氣密度、彈道高度和空氣粘度的影響。其中斯列斯金公式將彈丸分為圓柱部和圓錐部兩個部分，并忽略彈帶刻槽的影響，導(dǎo)致其計算出的轉(zhuǎn)速下降緩慢，但趨勢上與實測規(guī)律基本接近。對此，曾通過修正斯列斯金公式系數(shù)“0.002 44”的方式進行改進。文獻[86]以59式100高榴彈在內(nèi)的五種彈丸在不同發(fā)射條件下的系數(shù)值作為樣本，取它們的平均系數(shù)值作為修正后的斯列斯金公式系數(shù)，修正后系數(shù)變?yōu)?.005 24，是之前的2.3倍，修正后的斯列斯金公式計算出的轉(zhuǎn)速-時間曲線與實測的轉(zhuǎn)速-時間曲線在趨勢上和下降速度上接近。轉(zhuǎn)速衰減模型則考慮了彈丸彈帶刻槽的影響，文獻[87]將該模型與其他經(jīng)驗公式的計算結(jié)果進行對比分析，從結(jié)果上看，轉(zhuǎn)速衰減模型的計算誤差明顯小于冪函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、柔格里公式和斯列斯金公式的計算誤差，與修正后的斯列斯金公式計算誤差接近。因此彈帶刻槽對彈丸自轉(zhuǎn)規(guī)律的影響不能忽略。

相比之下，6D彈道模型雖然可以計算彈丸的轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律，但是未考慮彈帶刻槽和彈形的影響，僅考慮了彈體表面的摩擦阻力，理論上誤差會很大。對該問題，目前還未有較好的解決方案。

而尾翼彈還受尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩的影響，出炮口后會促使彈丸轉(zhuǎn)速迅速增加，之后受極阻尼力矩和尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩共同影響，轉(zhuǎn)速會穩(wěn)定到一個固定的值[88]，這個過程不再適合用以往的經(jīng)驗公式計算，但是可通過6D彈道模型仿真得到。文獻[89]建立了一個基于6D彈道模型的彈丸單自由度滾轉(zhuǎn)仿真模型，得到了彈丸平衡轉(zhuǎn)速與速度的關(guān)系，以及平衡轉(zhuǎn)速與尾翼斜切角的關(guān)系，與實測結(jié)果相比，6D彈道模型計算出來的轉(zhuǎn)速值誤差在5%以內(nèi)。

2.2.4章動角規(guī)律

彈丸在外彈道飛行過程中飛行穩(wěn)定性受章動角影響，章動角過大會導(dǎo)致彈丸飛行失穩(wěn)，同時也可能導(dǎo)致引信零部件章動力過大，引發(fā)彈道炸[90-91]。章動角對彈丸飛行穩(wěn)定性影響可參考文獻[78]。該文獻認為，保證彈丸整個外彈道飛行穩(wěn)定性的關(guān)鍵之一就是將彈丸章動角控制在一定范圍內(nèi)，因此有必要知道全彈道的章動角規(guī)律。

為獲取章動角數(shù)據(jù)，很多測試章動角的方法被相繼提出，包括紙靶法、狹縫相機攝影法、單線陣立靶法、雷達法、光學(xué)法以及傳感器法[92]，但這些方法或多或少都有一定的限制。紙靶法最早被提出，但是紙靶法測量精度較低，局限于低伸彈道的測試，并且受炮口火焰與沖擊波影響，不能測量炮口處的起始章動角[93]。狹縫相機攝影法只適用于短距離彈丸章動測試?，F(xiàn)階段常采用彈道跟蹤技術(shù)與高速攝影結(jié)合測量章動角。單線陣立靶法的測試設(shè)備操作不便，使用成本較高，且易受到天氣影響[94]。雷達法對于被測彈丸外形具有較高的要求，更改了彈丸原有外形后，其空氣動力學(xué)特性便很難保持一致。光學(xué)法的前期準備工作較為復(fù)雜，易受試驗場地氣象條件影響，試驗成本較高[95]。傳感器法是目前的主流測試方法，通過不同的傳感器(加速度計、陀螺儀、磁傳感器、紅外傳感器)可獲知彈丸姿態(tài)變化過程中各種參量的變化[96]，這其中就包括章動角。另外，若要用傳感器法測量全彈道上的章動角變化規(guī)律，需要建立相應(yīng)的補償模型，例如用地磁傳感器測量全彈道上章動角變化規(guī)律時，需要建立全彈道上的磁場補償模型[97]。

目前常采用仿真的方式獲取全彈道的彈丸章動角。已有的仿真方式有Adams動力學(xué)仿真[81, 91]和LS-DYNA顯示動力學(xué)仿真[98]。這兩種方法都可以得到彈丸外彈道章動情況，前者需要先將彈丸模型導(dǎo)入Gambit和Fluent中獲取氣動力和力矩數(shù)據(jù)，后者則通過建立龐大的空氣域模擬彈丸全彈道飛行環(huán)境。

3 總結(jié)與展望

本文針對無控彈丸剛體外彈道學(xué)模型原理和應(yīng)用進行總結(jié)，得到以下結(jié)論：

1) 6D彈道模型在求解精度上高于質(zhì)點外彈道學(xué)模型，但在計算速度上遠不及后者，4D彈道模型與質(zhì)點外彈道學(xué)模型在計算速度上接近，在解算精度上4D彈道模型更高，5D彈道模型比質(zhì)點外彈道學(xué)模型的計算速度慢10倍左右，但5D彈道模型的解算精度更高。

2) 在射角小于65°時，準剛體外彈道學(xué)模型計算結(jié)果與6D彈道模型相近，在射角大于65°時，準剛體外彈道學(xué)模型在射程和偏流上與6D彈道模型差異較大。在相同初始條件下，剛體外彈道學(xué)模型計算時間遠大于準剛體外彈道學(xué)模型計算時間，大約是5D彈道模型的100倍，是4D彈道模型的500倍。

3) 6D彈道模型與準剛體外彈道學(xué)模型的解算初始條件都包含彈丸模型參量、發(fā)射環(huán)境和初始擾動，它們的差異體目前氣動力參量的選取不同，5D彈道模型和6D彈道模型考慮了全部的氣動力參數(shù)，4D彈道模型只考慮了阻力系數(shù)、升力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)和極阻尼力矩系數(shù)，而未考慮赤道阻尼力矩系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)和靜力矩系數(shù)。

4) 4階龍格-庫塔法適用于無控彈丸的剛體外彈道方程計算，但不適用于有控彈丸(尤其是導(dǎo)彈)，當(dāng)外彈道方程未知數(shù)和方程個數(shù)過多時，單純用龍格-庫塔法解算會出現(xiàn)發(fā)散和失真，此時應(yīng)當(dāng)采用吉爾法或龍格-庫塔法轉(zhuǎn)阿當(dāng)姆斯法。

5) 剛體外彈道學(xué)模型已應(yīng)用于現(xiàn)代武器的射表編制中，其中4D計算速度和計算精度能夠滿足戰(zhàn)場需求，4D彈道模型在國內(nèi)外已作為射表編制的標準模型。5D彈道模型在理論上具備編制射表的條件，具體效果還需要實際檢驗。6D彈道模型解算速度無法控制在5 s內(nèi)，不宜作為火控彈道模型，近些年也沒有用6D彈道模型編制射表的試驗。就研究意義而言，在目前計算機硬件條件下，4D彈道模型的研究意義不大，5D彈道模型形式簡單，有助于分析彈丸自轉(zhuǎn)規(guī)律，6D彈道模型最接近實際彈丸飛行狀態(tài)，有助于分析彈丸章動。

6) 剛體外彈道學(xué)模型的解算結(jié)果中包含引信零件外彈道受力環(huán)境，能夠為引信慣性發(fā)火機構(gòu)和解除保險機構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供數(shù)據(jù)參考。剛體外彈道模型能夠分析極端條件下(彈丸動不平衡、引信質(zhì)量偏心、引信安裝偏差等)引信零件的受力情況，有助于分析引信彈道炸問題。

7) 通過剛體外彈道學(xué)模型可以解算出全彈道上彈丸的轉(zhuǎn)速變化規(guī)律和章動角變化規(guī)律，為彈丸和引信的抗章動、抗過載性能估算、分析和論證提供數(shù)據(jù)支持。