頓繼安， 孫 芳， 劉 杰

(1.北京教育學院 數(shù)學與科學教育學院， 北京 100044；2.中國人民大學附屬中學， 北京 100086；3.北京市第十四中學，北京 100055)

一、問題的提出

21世紀初我國頒布的《全日制義務教育階段數(shù)學課程標準(實驗稿)》和《普通高中數(shù)學課程標準(實驗稿)》均提出，一些數(shù)學知識需要學生自主探索，這一要求一直延續(xù)至今，也得到了一線教師的認同和積極實踐。當今數(shù)學課堂上的探究已不能用二元對立的“有”和“無”來界定，課堂間的差異主要表現(xiàn)在自主探究程度的不同，包括兩個既獨立又互相影響的方面：一是探究程度即所探究的問題的深度，二是學生在探究中的自主程度。一種比較普遍的現(xiàn)象是：教師設計了有挑戰(zhàn)性的探究任務，即較高探究程度的問題，但學生卻未能獲得合適的自主程度。

(一)數(shù)學探究活動自主度問題亟待關注

鄭毓信教授在課改早期就發(fā)現(xiàn)數(shù)學課堂中“學生只能獲得‘大框架下的小自由’，教學往往未能給學生留下主動創(chuàng)造的自由空間。”[1]此后，高文君等的調(diào)查也得到了類似的結(jié)論:“引導式探究”是我國中學數(shù)學課堂采用的主要方式，即通過師問生答的形式，在教師的一步步引導下，師生一起對問題進行分析、提出解決方法、實施方案，一起對解決的情況進行評價和小結(jié)。該研究還發(fā)現(xiàn)，學生希望有更高的探究水平、更多的自主空間。[2]曹一鳴等的實證研究也表明，盡管圍繞“解決數(shù)學問題”展開自主探究已經(jīng)成為當前我國中學數(shù)學課堂教學的普遍特點，但課堂中學生提出的問題數(shù)量少、認知水平不高，而解決數(shù)學問題采用最廣泛的模式為“提出問題—(師生共同)討論解法”。這種模式滿足了大容量課堂中學生在短時間內(nèi)獲得知識的需求，但缺點在于要求學生與教師的步調(diào)一致，限制了學生的思維，其實質(zhì)仍然是學生未獲得與其自身水平相應的自主程度。[3]

由于受時空限制，數(shù)學教學中一個完整的數(shù)學探究過程很難完全由學生獨立完成，教師控制探究過程是必要的。好的教學在于找到教師控制和學生自主間的平衡點，即為學生提供合適的“自主度”。所謂“自主度”，是指學生在探究活動中的自主程度，自主度越高意味著探究活動中學生的獨立思考越多，教師的控制和指導越少。自主度不適當?shù)奶骄炕顒訒a(chǎn)生兩種極端表現(xiàn)：一是探究任務的挑戰(zhàn)性遠大于學生自主完成的能力，在學生陷入困境時教師處理不當就會帶來學習的低效。二是以教師之腦指揮學生之手的“偽探究”，這樣的探究過程表面很順利，甚至一些重要的結(jié)論也是學生說出的，但學生從事的只是機械操作性活動，他們對于一個復雜的問題如何轉(zhuǎn)化為若干個簡單問題而得以解決的機理不明就里，這樣的學習過程屬于“機械式發(fā)現(xiàn)學習”，同樣需要在教學中避免。

(二)刻畫數(shù)學探究活動自主度的工具存在不足

已有關于探究度的研究，其實質(zhì)都是在探討自主度。最早的探究度研究始自20世紀中期的科學教育界，施瓦布于1962年首先將科學探究中提出問題、設計方案、得出結(jié)論三個環(huán)節(jié)為學生提供的自主探究水平進行了刻畫。經(jīng)過幾十年的不斷發(fā)展，自主探究水平體系在實踐中得到了廣泛的應用。[4-6]美國2000年版的《科學探究與國家科學教育標準》按照問題、證據(jù)、解釋、評價和發(fā)表五個基本特征設定了量化的探究度等級。[6]我國科學教育研究者借鑒國外的研究，提出了一些與我國科學教育的現(xiàn)實特點更為吻合的框架。[7-8]

高文君等將科學探究水平體系引入數(shù)學教育，確定了數(shù)學探究的四要素，即提出問題、分析與假設、實施方案、評價與結(jié)論，并根據(jù)各要素的實施主體將數(shù)學課堂探究分為控制式、引導式、開放式和自主式四個自低到高的水平。[5]這種劃分對于整體認識數(shù)學課堂的探究表現(xiàn)有一定意義，但其缺點在于，將數(shù)學探究活動各環(huán)節(jié)中師生的參與情況都看成一致的，這與實際情況不符。例如，有的教師在分析問題時有較多的引導，但在實施環(huán)節(jié)則完全放手；有的教師在一些內(nèi)容學習的初期，會在分析問題的環(huán)節(jié)給學生較多自主空間，但為了讓學生規(guī)范書面表達，在實施環(huán)節(jié)即書寫解題步驟時則采用示范的方式。劉云等對教科書中設計的探究活動進行了研究，以這些活動由學生自主開始的起點作為刻畫探究水平的依據(jù)，將探究活動分為問題起始型、證據(jù)起始型、結(jié)論起始型、論證起始型四個自高到低的水平。[9]這種劃分方式對教師理解和用好教科書并設計探究活動有指導意義，但難以刻畫動態(tài)課堂的情況。例如，為學生提供問題起始型探究任務未必意味著學生一定能夠自主提出有意義的探究問題，教師的指導程度會影響這一環(huán)節(jié)中學生獲得的實際自主性。

已有研究為數(shù)學探究自主度的刻畫提供了基礎，但對于解釋和指導數(shù)學教學的實踐均存在明顯不足。本研究將構(gòu)建針對我國現(xiàn)階段數(shù)學教育目標和現(xiàn)實課堂互動環(huán)境下的自主探究度水平體系，教師據(jù)此可以拾階而上，提升數(shù)學課堂自主探究的水平。

二、數(shù)學探究活動自主度水平體系的構(gòu)建

(一)數(shù)學探究活動自主度體系的維度

“問題是數(shù)學的心臟”，“數(shù)學家存在的理由就是解決問題”[10]，數(shù)學探究的中心環(huán)節(jié)是解決問題，而圍繞解決問題的過程還需要包括問題的發(fā)現(xiàn)與提出環(huán)節(jié)，以及解決問題后的整理、組織與反思環(huán)節(jié)。前一個環(huán)節(jié)容易理解，這里解釋后一個環(huán)節(jié)的意義。數(shù)學家高斯用建筑過程比喻數(shù)學家的組織與整理工作，他說：“一座大教堂在最后的腳手架拆除和挪走之前，還算不上是一座大教堂”[11]。對于數(shù)學學習來說，解決問題的過程相當于建筑大廈的過程，其間會有大量的歸納、分析、子問題的探討，也可能有一些偏離或者曲折，它們共同構(gòu)成解決問題的腳手架。這些腳手架可能會遮蔽問題的主要脈絡，影響人們對數(shù)學本質(zhì)的洞察，而隨后的整理、組織與反思工作就是刪繁就簡、削枝強干，探討如何通過盡量少且能夠反映本質(zhì)的知識表達思路，再建立知識間的邏輯關系，從而讓本質(zhì)得以更清晰地呈現(xiàn)，是數(shù)學探究過程必要和重要的一環(huán)。

發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題、解決問題后的組織整理與反思這三個環(huán)節(jié)在數(shù)學教育意義下的探究過程中的地位不同。其中，盡管“發(fā)現(xiàn)與提出問題”在當今數(shù)學課程中得到了重視，但這種重視主要是相對傳統(tǒng)數(shù)學教育意義的缺失而言的，中學數(shù)學教學現(xiàn)實中以“解決現(xiàn)成的問題”為主要內(nèi)容的探究活動無疑占比最大，因此，需要細化這類問題的探究過程。

波利亞將數(shù)學解題過程分為四個階段：理解題目、擬訂方案、實施方案、回顧與反思，這一理論被廣泛認可，有“探索法小詞典”之稱。[12]這四個階段實質(zhì)就是指向“解決現(xiàn)成問題”的探究活動的環(huán)節(jié)，而其中的“回顧與反思”即為前述“解決問題后的整理、組織與反思”。面對現(xiàn)成的問題，“理解題目”是重要的一環(huán)，一些教師遇到新穎而有挑戰(zhàn)性的問題時會先充分解讀題目，這樣做幫助學生掃清了障礙，但也剝奪了學生自主將新問題、新概念與自己熟悉的問題和概念建立聯(lián)系的機會。因此，需要將之單獨作為始于現(xiàn)成數(shù)學問題的探究活動的一個環(huán)節(jié)，以提醒教師考慮將這一環(huán)節(jié)的工作留給學生自主完成。擬訂方案與實施方案是對分析與解決問題活動的分解，前者旨在形成解決問題的思路，后者是解決問題方案的實施、得到結(jié)果。

據(jù)此，本研究從教學的角度確定了數(shù)學探究活動的三個階段：發(fā)現(xiàn)與提出問題，分析與解決問題，解決問題后的整理、組織與反思。其中第二個階段包括解決問題思路的形成、解決問題方案的實施兩個基本環(huán)節(jié)，一些始于現(xiàn)成問題的探究活動則需要增加“理解題目”這一環(huán)。

(二)數(shù)學探究活動自主度水平的劃分

學生在數(shù)學探究活動每個環(huán)節(jié)的自主度水平的高低可以分為四級，最低等級記為I級，教學中表現(xiàn)為學生完全沒有自主性，即教學過程完全由教師控制；最高等級則表現(xiàn)為完全由學生自主完成探究，記為IV級；II、III級介于I級和IV級之間。按照教師對學生指導和幫助程度的大小區(qū)分，師生在各個環(huán)節(jié)各個等級中的表現(xiàn)如表1所示。

表1 數(shù)學探究活動中學生自主度水平等級體系

表1描述了數(shù)學探究活動中各個維度學生獲得的自主程度的幾種典型情況，而真實的課堂中許多活動為學生提供的自主程度會處于某兩個水平之間。需要特別說明的是，在純粹通過教師講授和演示為途徑的教學過程中，學生的自主探究度為最低等級。這種教學方法在數(shù)學教學中是必要的，好的講授對學生系統(tǒng)、深刻地理解數(shù)學有時候是其他教學方法不能替代的，但是講授法的好壞有自身的標準，對此本研究不做探討。本研究主要是探討指向數(shù)學活動為學生提供的自主性程度的情況，旨在為數(shù)學探究活動的優(yōu)化提供依據(jù)。

三、數(shù)學探究活動自主度水平體系的應用策略

數(shù)學探究活動的自主度水平體系對探究的各個維度做了等級的劃分，提供了一個基于學生自主探究的數(shù)學教學設計或改進的框架，教師可以根據(jù)學生、教學目標以及自己所能夠駕馭課堂的實際情況，組織適合的探究活動，給予學生適當?shù)闹笇А?/p>

(一)整體把握并恰當選擇探究環(huán)節(jié)

完整探究過程的每個環(huán)節(jié)都讓學生自主完成既不現(xiàn)實也無必要，有意義而務實的選擇是確定一些重要的環(huán)節(jié)組織學生探究。數(shù)學探究活動自主度水平體系的構(gòu)建考慮了我國中小學數(shù)學教學的實際，可以幫助教師在整體把握數(shù)學探究活動的基礎上作出決策：選擇哪些環(huán)節(jié)留給學生自主探究，以更好地發(fā)揮教學內(nèi)容的教育價值。

以近年中高考中經(jīng)常以“壓軸題”形象出現(xiàn)的新定義問題為例。一些教師在處理這類題目時，先對題目中給出的新概念進行充分解讀，然后再讓學生解決問題，這相當于在“理解題目”環(huán)節(jié)給學生較低的自主性。這種做法并不恰當，因為這類題目考查的內(nèi)容之一就是學生獨立理解新概念的能力，教師需要幫助學生學會借助題目中簡單的判斷題形成對抽象概念的直觀感性認識，進而將簡單的特殊例子推廣到一般情況。而教師在這一環(huán)節(jié)的高度控制未能考慮這類題目對于培養(yǎng)學生這類能力的機會，導致學生在考試中表現(xiàn)出“不能理解題目中各問之間的邏輯關系”，“缺少主動推廣的意識，導致后續(xù)解答困難”[13]。為此，教師需要在“理解題意”環(huán)節(jié)提升學生的自主性，通過了解學生自主理解題意中遇到的困難，幫助學生形成理解新概念的策略。

在不需要開放探究活動的地方開放探究同樣不妥。例如，一些超越學生思維能力的探究活動并無意義。以“勾股定理”為例。由于課程標準提出了“探索勾股定理”的要求，教師一般會在此組織探究活動。然而，有的教師設計了“發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊關系”自主探究活動，但由于這一發(fā)現(xiàn)挑戰(zhàn)巨大，教師又不得不高度控制探究過程：給學生一些特定的直角三角形，請學生測量三條邊的長后，觀察三邊及三邊平方的關系。學生在這樣的活動中自主度很低：當直角三角形三條邊的平方被分別測算出來后，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一關系也就很容易被看出來。可以說，從探討三條邊的關系到探討三條邊的平方關系的轉(zhuǎn)化并非學生思維的產(chǎn)物，而是“像從一頂帽子里抓出一只兔子的戲法一樣令人感到意外”[14]。與其將探究重點放在這一環(huán)節(jié)，不如在“勾股定理的證明思路形成”環(huán)節(jié)為學生提供更多的自主性。

(二)優(yōu)化探究任務

明確了重點探究環(huán)節(jié)后，教師可根據(jù)表1中自主度水平等級的描述設計適當?shù)幕顒樱屪灾魈骄空鎸嵃l(fā)生。

仍以“勾股定理”教學為例。在“勾股定理的證明思路形成”這一環(huán)節(jié)，有的教師在教學中直接為學生提供了四個全等的直角三角形紙片，讓學生動手拼正方形。當學生拼接出如圖1所示的各種情形，教師讓學生將大正方形的面積用直角三角形的邊表示，通過化簡就證明了勾股定理。

圖1

圖2

但是，為什么選擇四個直角三角形拼接、為什么用直角三角形的邊表示正方形的面積等關鍵問題，并非學生自主獲得，學生的操作之手是由教師的思維控制的。這種教學就是典型的“機械式探究”或者說是“偽探究”。

可以改進這個環(huán)節(jié)的自主度水平：從探究度IV級的活動開始，嘗試“讓學生獨立地分析問題、形成解決問題的思路”。實踐研究表明，在證明勾股定理的任務明確后，如果教師不規(guī)定學生必須借助現(xiàn)成的直角三角形紙片，在水平IV上開展自主探究的學生的方法和思路更為開放和多樣：有學生選擇用兩個直角三角形，通過構(gòu)造圖2所示的圖形而得到勾股定理；圖1所示的方法也由學生自主建立了與已有知識的實質(zhì)性聯(lián)系：“看到平方和就想到了完全平方和，于是就畫出了這個圖〔圖1(1)〕”，“我從c2想到構(gòu)造正方形，就得到了這個圖〔圖1(2)〕，然后看到里面的小正方形中還有一個(a-b)2，一整理就得到了勾股定理”[15]。

(三)漸進式調(diào)整探究活動的自主度

設計了自主度高的活動，未必意味著學生一定能夠自主探究成功，教師需要根據(jù)學生的具體表現(xiàn)做出響應。有的教師發(fā)現(xiàn)學生遇到困難，就直接給出答案或生硬地將學生往既定的思路引導，但是成功的思路與學生已有探索的關系未得到揭示，學生即使明白了教師所講的，也會困頓于“我為什么想不到”“我的想法到底有什么問題”。這樣的教學過程并未幫助學生突破真正的難點，會使得教師的教與學生的學“擦肩而過”[16]。

用自主度水平等級的遞進性解釋，教與學“擦肩而過”源于教師將一個自主度為IV級的活動直接降為I級或II級，相當于簡單判定學生為“會或不會”，對應的教學策略則為“會則自己完成，不會則聽教師告之”。但實際上，學生更有可能處于“有些想法，也有些進展，也有些困難”的狀態(tài)，因此，教師需要漸進式調(diào)整自主度，即將探究活動的自主度從IV級降為III級。對應的教學對策是：讓學生展示出自己的思考過程，用啟發(fā)法幫助學生突破難點。啟發(fā)法與自主探究、發(fā)現(xiàn)學習緊密相關，該方法的使用以學生展示、了解自己的思維過程為組成部分，而展示的過程也是推動學生發(fā)展的過程，如布魯納所說：“‘發(fā)現(xiàn)教學’所包含的，與其說是引導學生去發(fā)現(xiàn)‘那里發(fā)生’的事情的過程，不如說是他們發(fā)現(xiàn)他們自己頭腦里的想法的過程”[17]。當學生隱藏在頭腦中的想法被展示出來、成為明確的可以分析的對象時，突破難點的新思路就可能產(chǎn)生了。

例如，一位教師設計了基于學生自主探究而得到一元二次方程的解法的方案，首先讓學生自主解決如下四個一元二次方程：

(1)x2-4=0 (2)4x2+3x=0

(3)x2-4x-12=0 (4)5x2+3x-2=0

前兩個方程學生普遍很順利地解決了，但許多學生在后兩個方程的解決過程中遇到了困難。其中方程(3)的典型做法是先將之變形為x2-4x=12，再變?yōu)閤(x-4)=12，就陷入了困難。教師與一位學生通過4個問題開展了對話：

師(問題1)：你是怎么想到這樣做的？

生：我解第二個方程4x2+3x=0時，將等號左邊分解得到x(4x+3)=0，就解出來了，這道題我覺得12移到等號右邊后，左邊也能分解，但是發(fā)現(xiàn)做不下去了。

師(問題2)：為什么做不下去了？

生：不知道12分成兩個數(shù)相乘。

師(問題3)：為什么第二個題一分解就可以做了呢？這道題哪里不同呢？

生：第二題右邊的0可以分成0乘以任何一個數(shù)。

師(問題4)：那你思考下因式分解的方法可以解什么樣的方程？對這道題有何啟發(fā)？

生：右邊也得為0，哦，這道題不應該移項，直接分解就可以了。

這里的4個問題讓教師了解到學生想法的同時，也對學生進行了啟發(fā)，使他們覺察到了自己想法的來源、經(jīng)驗的意義、新問題與經(jīng)驗的差距，并找到了新的、成功的方法。

四、結(jié) 語

探究并非數(shù)學教學中唯一的方式，有時候也不是最佳的方式，判斷教學好壞的主要標準在于是否引發(fā)了有意義的學習，即建立新知識和已有知識間的實質(zhì)性的聯(lián)系。正如奧蘇伯爾指出：“無論是接受學習還是發(fā)現(xiàn)學習，都有可能是機械的，也都有可能是有意義的。如果教師講授教學得法，并非一定會導致機械學習；同樣，發(fā)現(xiàn)學習也并不一定是保證學生有意義學習的靈丹妙藥?！盵18]如果教師給了學生探究的機會，卻采取高度控制的方式，學生將只能做一些低級思維含量的操作性活動；而自主度適當?shù)幕顒訒寣W生更為主動地調(diào)動頭腦中的知識和經(jīng)驗，建立知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)有意義學習，涵育核心素養(yǎng)。

好的數(shù)學探究除了與自主度有關外，還與所探究問題的深度與廣度有關，本文并未專門討論如何設計好的數(shù)學探究問題。然而，從教學實踐看，探究空間狹小主要表現(xiàn)為教師引導和控制過多,而教師的引導通常是通過將一個復雜而有挑戰(zhàn)性的問題分解、轉(zhuǎn)化為若干簡單而容易解答的問題進行。這些簡單問題學生解答起來毫不費力，但至關重要的“分解和轉(zhuǎn)化”活動卻并未給學生自主性。因此，自主性與問題的設計緊密相關，本研究建構(gòu)的自主度水平體系亦可作為審視探究問題設計是否合理的參考。