孫凱

摘? 要：范希爾理論的核心內(nèi)容是幾何思維的五個(gè)水平及與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段. 以“軸對(duì)稱圖形”章頭導(dǎo)學(xué)為例，基于對(duì)范希爾理論的理解，在章頭導(dǎo)學(xué)中設(shè)計(jì)“欣賞感悟、操作探究、作圖描述、應(yīng)用延伸、創(chuàng)意設(shè)計(jì)”等階段性活動(dòng)，有助于發(fā)展學(xué)生對(duì)應(yīng)的幾何思維水平.

關(guān)鍵詞：范希爾理論;章頭導(dǎo)學(xué);設(shè)計(jì)意圖;幾何思維

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材在每個(gè)章節(jié)的起始位置都設(shè)計(jì)了章頭圖和章引言（以下統(tǒng)稱“章頭材料”）. 章頭材料由豐富多彩的圖表和言簡意賅的文字組成，它是對(duì)整章內(nèi)容的高度概括，在滲透德育、連接前后知識(shí)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面有重要作用. 章頭導(dǎo)學(xué)是指以章頭材料為內(nèi)容、以知識(shí)為載體、以結(jié)構(gòu)為目標(biāo)的課堂教學(xué)形態(tài)，是對(duì)全章教學(xué)內(nèi)容的濃縮，起到了引導(dǎo)、簡介、導(dǎo)覽的作用，幫助學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)了解內(nèi)容的本質(zhì). 對(duì)章頭材料教育教學(xué)價(jià)值的挖掘與利用，能幫助學(xué)生了解整章學(xué)習(xí)的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，明晰所學(xué)內(nèi)容的“來龍去脈”，掌握學(xué)習(xí)的具體方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 基于范希爾理論的內(nèi)涵分析，下面以“軸對(duì)稱圖形”章頭導(dǎo)學(xué)為例，闡釋理論運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐的分析與設(shè)計(jì).

一、范希爾理論的內(nèi)涵

荷蘭教育家范希爾夫婦（Pierre Van Hiele&Dina Van Hiele）曾在幾何教學(xué)中遇到一些普遍性的問題，在皮亞杰的認(rèn)知理論影響下，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，研究并提出幾何思維的五個(gè)水平及與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段，被稱為范希爾理論（幾何思維水平理論）. 五個(gè)幾何思維水平分別是水平0（視覺）、水平1（分析）、水平2（非形式化的演繹）、水平3（形式的演繹）、水平4（嚴(yán)密性）;對(duì)應(yīng)的五個(gè)幾何教學(xué)階段分別是階段1（提供信息）、階段2（特定方向）、階段3（解釋）、階段4（自由探索）、階段5（整合）. 幾何思維水平理論可以用來診斷學(xué)生的幾何思維水平，也可以用于教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì). 在初中幾何教學(xué)中，五個(gè)幾何教學(xué)階段分別對(duì)應(yīng)“整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象、分析幾何對(duì)象的要素與特征、通過幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象、利用演繹推理證明幾何關(guān)系、歸納描述幾何對(duì)象”五個(gè)方面.

二、教學(xué)分析

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

“軸對(duì)稱圖形”是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第二章的內(nèi)容，其章頭材料由4幅圖片、2段引言和2個(gè)活動(dòng)要求構(gòu)成.

圖1為等腰三角形ABC，根據(jù)圖形可知，△ABC沿AD折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，進(jìn)一步可得AD⊥BC，BD = CD. 此圖意在引導(dǎo)學(xué)生通過折疊思考AD⊥BC，BD = CD的依據(jù)是什么，既能引發(fā)學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形特征與性質(zhì)的思考，又能引導(dǎo)學(xué)生感受利用軸對(duì)稱性探索并證明圖形的性質(zhì)是本章學(xué)習(xí)探索的基本路徑與方法.

圖2是北京天壇，運(yùn)用美輪美奐的古代建筑引導(dǎo)學(xué)生欣賞軸對(duì)稱之美，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和欣賞生活，傳播數(shù)學(xué)文化，挖掘數(shù)學(xué)的育人功能.

學(xué)生通過活動(dòng)1中的觀察、折疊、剪紙等活動(dòng)，經(jīng)歷從空間想象到直觀操作的活動(dòng)過程，感受軸對(duì)稱圖形的共同特征，給出軸對(duì)稱圖形的概念. 活動(dòng)2是讓學(xué)生按活動(dòng)操作，探索、歸納軸對(duì)稱圖形的性質(zhì). 引言部分指出生活中的軸對(duì)稱之美及探索軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的具體方法，指明本章主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

章頭材料提供的信息基本蘊(yùn)含了為什么學(xué)、怎么學(xué)、學(xué)什么的核心內(nèi)容. 范希爾理論啟示我們，學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展具有次序性和進(jìn)階性等特點(diǎn). 因此，教學(xué)內(nèi)容的編排與教學(xué)活動(dòng)的組織應(yīng)與幾何思維水平的層級(jí)相對(duì)應(yīng)，使學(xué)生的幾何思維水平由低向高呈螺旋式發(fā)展.

2. 學(xué)生學(xué)情分析

在小學(xué)學(xué)段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱圖形的相關(guān)知識(shí)，現(xiàn)在我們對(duì)三個(gè)學(xué)段中關(guān)于軸對(duì)稱圖形的內(nèi)容進(jìn)行簡單的分析. 根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，在第一學(xué)段（1 ～ 3年級(jí)），主要是通過生活實(shí)例感受軸對(duì)稱現(xiàn)象;在第二學(xué)段（4 ～ 6年級(jí)），通過觀察、操作等活動(dòng)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸，能在方格紙上畫出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，能在方格紙上補(bǔ)全一個(gè)簡單的軸對(duì)稱圖形;在第三學(xué)段（7 ～ 9年級(jí)），通過具體實(shí)例了解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì)，能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形，了解軸對(duì)稱圖形的概念，探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對(duì)稱性質(zhì). 三個(gè)學(xué)段分別使用了“感受、認(rèn)識(shí)、探索”三個(gè)關(guān)鍵詞進(jìn)行表述，由此對(duì)三個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)要求有了清晰的認(rèn)識(shí). 從范希爾理論的視角分析可知，初中階段的學(xué)生已初步具備幾何思維水平0、水平1，即能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，能在方格紙上補(bǔ)全圖形，能用圖形的特性解決簡單的幾何問題.

3. 目標(biāo)及目標(biāo)解析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下.

（1）欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象和軸對(duì)稱圖形，感受軸對(duì)稱之美;

（2）在操作活動(dòng)中了解軸對(duì)稱圖形的概念，會(huì)確定對(duì)稱軸，通過操作探索軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，感悟軸對(duì)稱性;

（3）能畫出簡單平面圖形（點(diǎn)、線段、直線、三角形）關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形;

（4）運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決簡單的幾何問題;

（5）利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)簡單的圖案.

目標(biāo)解析：章頭導(dǎo)學(xué)的核心任務(wù)是導(dǎo)學(xué)，具體目標(biāo)包含整章知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，使學(xué)生通過學(xué)習(xí)了解整章知識(shí)體系與要求，在具體的問題情境中了解研究對(duì)象及研究方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊. 教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)要充分尊重學(xué)生的幾何思維水平，由低到高、由易到難、循序漸進(jìn)，逐層提高，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

三、教學(xué)價(jià)值取向分析

1. 合理設(shè)計(jì)活動(dòng)階段，發(fā)展幾何思維

在有關(guān)學(xué)生幾何概念發(fā)展與學(xué)習(xí)的研究中，范希爾的幾何思維水平體系是最具影響力的理論之一. 范希爾對(duì)幾何思維水平的分類一般分為“五水平分類法”和“三水平分類法”（直觀、描述、理論），雖分類結(jié)果不同，但其本質(zhì)是相同的. 基于學(xué)生的幾何思維特征及教學(xué)設(shè)計(jì)需要，本文中的范希爾模型采用了“三水平分類法”分析，五個(gè)教學(xué)活動(dòng)階段則采用了“五水平分類法”闡釋. 在章頭導(dǎo)學(xué)教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)階段性教學(xué)活動(dòng)取決于學(xué)生的幾何思維水平發(fā)展定位，階段性教學(xué)活動(dòng)應(yīng)與幾何思維水平的層級(jí)相對(duì)應(yīng)，活動(dòng)的目的是適當(dāng)引發(fā)學(xué)生的思維危機(jī)，使學(xué)生的幾何思維水平由低向高螺旋式提升. 因此，將“軸對(duì)稱圖形”一課的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)為如表1所示的五個(gè)階段：提供信息的活動(dòng)（欣賞感悟）、特定方向的活動(dòng)（操作探究）、解釋活動(dòng)（作圖描述）、自由探索活動(dòng)（應(yīng)用延伸）、整合活動(dòng)（創(chuàng)意設(shè)計(jì)）.

2. 合理設(shè)計(jì)問題情境，發(fā)展探究能力

導(dǎo)學(xué)有度是章頭導(dǎo)學(xué)課的基本追求. 所謂“有度”，指的是適可而止，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，問題情境合理有效，緊貼最近發(fā)展區(qū). 基于對(duì)章頭材料的研讀與理解，結(jié)合范希爾理論，確定“軸對(duì)稱圖形”一課導(dǎo)學(xué)的主要任務(wù)有三個(gè)：一是在提供信息的問題活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生欣賞軸對(duì)稱圖案，感受數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)很美;二是引導(dǎo)學(xué)生在特定方向和解釋的問題活動(dòng)中經(jīng)歷折疊、剪紙、折紙、扎孔等操作活動(dòng)，了解軸對(duì)稱圖形的概念，初步探索線段、角、等腰三角形等軸對(duì)稱圖形的性質(zhì);三是在自由探索和整合活動(dòng)中以問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)探索并解決經(jīng)典的幾何圖形問題. 其中，利用軸對(duì)稱性探索與證明相關(guān)性質(zhì)是導(dǎo)學(xué)的核心. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生初步探索相關(guān)性質(zhì)，使學(xué)生“既見樹木，又見森林”，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，布局整章知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 在探索軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的活動(dòng)中，應(yīng)把握好導(dǎo)學(xué)的度，適可而止，不必深究，引導(dǎo)學(xué)生理解掌握探索問題的基本策略與方法是關(guān)鍵.

3. 合理設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

范希爾理論啟示我們，幾何教學(xué)離不開直觀形象的操作活動(dòng)，親身經(jīng)歷操作活動(dòng)對(duì)學(xué)生幾何思維的發(fā)展至關(guān)重要. 在課堂教學(xué)中，教師對(duì)電腦、白板、課件、互聯(lián)網(wǎng)等多媒體的依賴越來越嚴(yán)重，甚至出現(xiàn)不用多媒體不知道如何上課的怪現(xiàn)象. 多媒體教學(xué)推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與發(fā)展，其積極意義毋庸置疑，但是過度依賴也會(huì)產(chǎn)生一些負(fù)面影響. 因?yàn)槿说膶W(xué)習(xí)是有快慢之分的，單純依賴技術(shù)性的快不一定符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生自主學(xué)習(xí)獲取知識(shí)的能力是技術(shù)過程代替不了的. 初中數(shù)學(xué)知識(shí)大多來源于幾千年來人類的生產(chǎn)、生活實(shí)踐，運(yùn)用實(shí)踐操作的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)具有重要意義. 正所謂：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行. 學(xué)生只有親歷實(shí)踐操作過程，才會(huì)深刻感受軸對(duì)稱圖形的特征，給出的概念才有“物質(zhì)”基礎(chǔ)，性質(zhì)探索的路徑和方法才會(huì)明晰，幾何思維水平的發(fā)展才會(huì)水到渠成. 因此，章頭導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，合理設(shè)計(jì)手腦結(jié)合的操作實(shí)踐活動(dòng)，搭建自主學(xué)習(xí)的平臺(tái)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

教師引言：小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱圖形的相關(guān)知識(shí)，在生活中存在很多軸對(duì)稱現(xiàn)象或軸對(duì)稱圖形，你能舉幾個(gè)例子嗎？

1. 欣賞感悟（提供信息的活動(dòng)）

欣賞圖3中的圖形，觀察并歸納圖形特征.

【設(shè)計(jì)意圖】為學(xué)生提供豐富的生活圖形信息，刺激視覺，展示軸對(duì)稱之美，引導(dǎo)學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)是有用的、數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生初步感悟軸對(duì)稱圖形的基本特征，發(fā)展視覺思維.

2. 操作探究（特定方向的活動(dòng)）

活動(dòng)1：觀察圖4，用兩張正方形紙折一折，再把它們剪出來，并與同學(xué)交流.

問題1：什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形？

師生活動(dòng)：學(xué)生語言描述圖形特征，教師給出軸對(duì)稱圖形的概念.

追問：如圖5，下列圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過折疊、剪紙等操作活動(dòng)，學(xué)生自主經(jīng)歷“玩數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”的過程，在觀察、操作、說理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，了解軸對(duì)稱圖形的概念，辨析簡單的軸對(duì)稱圖形并找出對(duì)稱軸，發(fā)展幾何直觀，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升分析思維.

3. 作圖描述（解釋活動(dòng)）

活動(dòng)2：如圖6，把一張紙折疊后，用針扎兩個(gè)孔;再把紙展開，針孔分別記為點(diǎn)A，點(diǎn)A′，點(diǎn)B，點(diǎn)B′，折痕記為[l];連接AA′，BB′.

問題2：線段AA′、線段BB′與折痕[l]有什么關(guān)系？

問題3：如圖7，仿照上面的操作，再扎孔、展開、標(biāo)記、連線，則線段CC′與折痕[l]有什么關(guān)系？

追問1：圖8中的圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，試畫出對(duì)稱軸，并說說你是怎樣畫的.

追問2：如圖9，如何畫出△ABC關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱圖形？完成作圖并說明理由.

【設(shè)計(jì)意圖】活動(dòng)1通過觀察、剪紙等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生體悟軸對(duì)稱圖形的特征，學(xué)生先用自己的語言描述這種特征，再給出軸對(duì)稱圖形的概念;活動(dòng)2通過折紙?jiān)谆顒?dòng)，在操作實(shí)踐中探索軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，進(jìn)一步體悟軸對(duì)稱圖形的特征，并引導(dǎo)學(xué)生歸納概括軸對(duì)稱圖形的基本性質(zhì). 通過追問引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用結(jié)論，經(jīng)歷解釋活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生非形式化的演繹思維.

4. 應(yīng)用延伸（自由探索活動(dòng)）

如圖10，將等腰三角形ABC沿線段AD折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合.

問題4：試寫出圖中相等的線段和角，并說明理由.

問題5：過點(diǎn)D分別作DE⊥AB、DF⊥AC，DE與DF有什么數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)G，H分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，則DG與DH有什么數(shù)量關(guān)系？

問題6：若在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，PC，則PB與PC相等嗎？為什么？

追問：如圖11，等腰三角形ABC沿線段AD折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，若AE = AF，則DE與DF相等嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)借助章頭材料中給出的圖1設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問題串，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探索相關(guān)線段、角之間的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷利用軸對(duì)稱性探索并證明圖形的性質(zhì)的活動(dòng)過程，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解軸對(duì)稱圖形的軸對(duì)稱性，積累寶貴的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展形式的演繹思維，也為后續(xù)整章學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

5. 創(chuàng)意設(shè)計(jì)（整合活動(dòng)）

試?yán)幂S對(duì)稱的性質(zhì)設(shè)計(jì)一幅作品.

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用所學(xué)軸對(duì)稱知識(shí)自主整合創(chuàng)作，通過動(dòng)手畫圖發(fā)展學(xué)生的作圖技能、創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生逐步形成研究幾何圖形的基本思路，即“概念—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”.

總之，范希爾理論與幾何章頭導(dǎo)學(xué)的結(jié)合，使教學(xué)形式更靈活、教學(xué)活動(dòng)更高效、教學(xué)效果更顯著. 對(duì)范希爾幾何思維水平理論的教學(xué)研究有助于提升學(xué)生的思維水平，更有助于提升教師的幾何教學(xué)設(shè)計(jì)水準(zhǔn).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3]曾友良，贠朝棟. 范希爾理論的幾何思維水平研究綜述及啟示[J]. 當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2017，9（5）：12-16.

[4]丁保媛，劉詠梅. 范·希爾理論指導(dǎo)下的函數(shù)概念教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013（3）：1-3.