縮小參數(shù)范圍 優(yōu)化解題過程

黃治元

摘 要：處理含參數(shù)的最值問題、恒成立問題，在無法分離參數(shù)時通常需要分類討論，但往往討論及其繁瑣.本文通過實例闡述如何做到快捷高效的分類討論，以便學生以后遇到此類問題時可以省時省力.

關鍵詞：參數(shù);恒成立;特值檢驗;極限

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0067-03

含參數(shù)的最值問題、恒成立問題是高考數(shù)學中的熱點問題，解題方法一般是通過對參數(shù)進行分類討論，但分類情況比較多時就會顯得繁瑣復雜.若先縮小參數(shù)范圍再加以討論，則往往會優(yōu)化解題過程.一、利用特值檢驗，縮小參數(shù)范圍

對于某個一般性的數(shù)學問題，如果一時難以解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象.

例1 已知函數(shù)fx=x2-x+3，x≤1x+2x，x>1，設a∈R，若關于x的不等式fx≥x2+a在R上恒成立，則a的取值范圍是（）.

A. -4716，2 B. -4716，3916

C.-23，2D. -23，3916

解析 這是2017年天津市高考理科試題選擇題第8題，標準解答如下：

不等式fx≥x2+a為 -fx≤x2+a≤fx*，

當x≤1時，*式即為-x2+x-3≤x2+a≤x2-x+3，-x2+x2-3≤a≤x2-32x+3，

又-x2+x2-3=-x-142-4716≤-4716當x=14時取等號，

x2-32x+3=x-342+3916≥3916當x=34時取等號，

所以，-4716≤a≤3916.當x>1時，*式為

-x-2x≤x2+a≤x+2x，-32x-2x≤a≤x2+2x.

又 -32x-2x=-32x+2x≤-23當x=233時取等號，

x2+2x≥2x2·2x=2當x=2時取等號，

所以-23≤a≤2.

綜上，-4716≤a≤2.

故選A.

評注 此法思路過程雖嚴謹清晰，但有點“小題大做”，不符合選擇題的解題特點.快速找出正確答案才是上策，解法如下：

不等式fx≥x2+a在R上恒成立，特別地，當x=0，2時

f0=3≥af2=3≥1+a-3≤a≤3-4≤a≤2-3≤a≤2 ，由排除法，選A.

例2 已知a>0，函數(shù)fx=x2+x-a-3在區(qū)間-1，1上的最大值是2，則a=.

解析 函數(shù)fx帶有雙重絕對值，絕對值函數(shù)問題一般是先去掉絕對值符號轉化為分段函數(shù)，但本題去掉內(nèi)層絕對值轉化為分段函數(shù)后不易確定相應的自變量x的范圍，這給后續(xù)分類討論帶來不便.若先縮小參數(shù)a的范圍，問題得到解決.

解法如下：f0=a-3=a-3≤2a>01≤a≤5，

∴當x∈-1，1時，fx=x2-x+a-3.

∴f-1=a-1≤2-1≤a≤3，從而1≤a≤3.

∴fx=x2-x+a-3，x∈-1，1，1≤a≤3

設t=x2-x-3，x∈-1，1，則t∈-134，-1，

且gt=t+a在-134，-1上的最大值為2.

∴g-134=a-134=2g-1=a-1≤2①

或g-1=a-1=2g-134=a-134≤2②

即134-a=2a-1≤2或a-1=2134-a≤2a=54或3.

評注 在得知1≤a≤3的情況下，求解①，②也更快捷.

例3 設函數(shù)fx=3ax-x+a2，其中a∈R.

若對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1，求實數(shù)a的取值范圍.

解析 先縮小參數(shù)a的取值范圍找其使命題成立的必要條件，有時該必要條件也恰好是使命題成立的充分條件，接下來證明其充分性即可.

因為對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1，所以fa≥-1fa+1≥-1，即3a2-4a2≥-13aa+1-2a+12≥-1 ，解得 -1≤a≤0.

下面證明，當a∈-1，0時，對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1.

（1）當a≤x≤0時，fx=-x2+ax-a2，fa=f0=-a2≥-1，故fx≥minfa，f0≥-1成立;

（2）當0≤x≤a+1時，fx=-x2-5ax-a2，fa+1≥-1，f0≥-1，

故fx≥minfa+1，f0≥-1成立;

由此，對任意x∈a，a+1，恒有fx≥-1.

所以實數(shù)a的取值范圍是-1，0.

例4 已知函數(shù)fx=x2-ax，ffx≤2在1，2上恒成立，則實數(shù)a的最大值為.

解析 利用從一般到特殊的解題思想，特值檢驗縮小參數(shù)a的范圍，猜測實數(shù)a的最大值，先猜后證.

由ffx=fx2-ax=x2-axx2-ax-a知ffx≤2，即x2-axx2-ax-a≤2對x∈1，2上恒成立，特別地，

當x=1，2時， 有

1-a1-2a≤24-2a4-3a≤2

-2≤a-12a-1≤2①-1≤a-23a-4≤1②

由①得，2a2-3a+3≥02a2-3a-1≤0

3-174≤a≤3+174③;

由②得，3a2-10a+9≥03a2-10a+7≤0

1≤a≤73④

由③④得，1≤a≤3+174

另一方面，當a=3+174時

由于fx=x2-ax圖象對稱軸x=a2<1，所以fx=x2-ax在1，2上遞增，

∴當x∈1，2時，f1≤fx≤f2，

又f2=4-2a=4-3+172=5-172<12≤a2

所以fx=x2-ax在f1，f2上遞減，

由f1≤fx≤f2

得ff2≤ffx≤ff1

又-2≤ff1≤2-2≤ff2≤2，

所以-2≤ffx≤2，

即ffx≤2.

綜上，amax=3+174.

二、利用極限思想，縮小參數(shù)范圍

極限思想是一種重要的數(shù)學思想，靈活地借助極限思想解題，往往可以避免復雜的討論，優(yōu)化解題過程.

例5 設a∈R，若x>0時，均有[a-1x-1]x2-ax-1≥0，則a=.

解析 此題是2012年浙江理科卷最后一個填空題.經(jīng)初步分析知，需要對不等式中的兩個因式的正負進行討論，也需對因式a-1x-1中一次項系數(shù)a-1的正負進行討論.討論情況有些復雜，先考慮縮小參數(shù)a的取值范圍.

注意到，當x→+∞時，x2-ax-1→+∞，

∴a-1>0a>1

a-1x-1x2-ax-1≥0對x>0恒成立，

x-1a-1x2-ax-1≥0對x>0恒成立，

x=1a-1是方程x2-ax-1=0的根，

a=32.

例6 若不等式ax+3x2-b≤0對任意的x∈0，+∞恒成立，則（）.

A. ab2=9B. a2b=9，a<0

C. b=9a2，a<0D. b2=9a

解析 含有兩個參數(shù)的不等式恒成立問題，分類討論情形復雜，優(yōu)先考慮縮小參數(shù)范圍.

注意到，當x→0+時，ax+3>0，從而x2-b≤0b>0.

當x→+∞時，x2-b>0，從而ax+3≤0，a<0.

∴ax+3x2-b≤0對任意的x∈0，+∞恒成立，

ax+3ax+bx-b≤0對任意的x∈0，+∞恒成立，

x+3ax-b≥0對任意的x∈0，+∞恒成立-3a=ba2b=9，a<0.

故選B.

含參數(shù)的最值問題、恒成立問題，優(yōu)先考慮縮小參數(shù)的范圍以達到簡化分類討論或是避免分類討論的目的.至于選擇怎樣的特殊值來檢驗縮小參數(shù)范圍，這需要一個嘗試的過程，一般會選擇區(qū)間的端點值（或取其極限），或是選擇給定區(qū)間內(nèi)的某個便于計算的值，這因題而異.

參考文獻：

[1]陳國林.應用函數(shù)性質(zhì)，破解數(shù)學問題[J].數(shù)理天地（高中版），2018（07）：11-12.

[責任編輯：李 璟]