摘 要：本文針對(duì)一類含雙變量x1，x2的不等式求解問題，通過結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行分析，尋求此類問題的解題策略，以便于同行交流與探討.

關(guān)鍵詞：雙變量x1，x2;不等式求解

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0043-04

含雙變量x1，x2的不等式求解問題一直是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)之一，并且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn).試題設(shè)計(jì)經(jīng)常與函數(shù)、不等式結(jié)合起來進(jìn)行考查，同時(shí)注重對(duì)轉(zhuǎn)化與構(gòu)造、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想與方法考查，試題整體難度較大，從而造成學(xué)生思維混亂，難以進(jìn)行深入推理與計(jì)算.因此，本文針對(duì)這類含雙變量x1，x2的不等式求解問題，將結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析，尋求此類問題的解題策略，以便于同行交流與探討.

一、對(duì)稱轉(zhuǎn)化，借助單調(diào)

例1 已知函數(shù)fx=1ex，gx=lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)于任意的x1>x2>0，gx1-gx2>λfx2-fx1成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解析 由題意得對(duì)于任意x1>x2>0，gx1-gx2>λfx2-fx1成立，即

gx1+λfx1>gx2+λfx2.設(shè)φx=gx+λfx，所以，對(duì)于任意x1>x2>0，總有φx1>φx2，故函數(shù)φx=gx+λfx單調(diào)遞增.φ′x=g′x+λf ′x=ex-λxxex≥0在0，+SymboleB@上恒成立，λ≤exxmin.令y=exx，

則y′=ex·x-exx′，若y′=0，

得x=1，若y′>0，得x>1;若y′<0，得0<x<1.所以函數(shù)y=exx在0，1上單調(diào)遞減，在1，+SymboleB@上單調(diào)遞增，函數(shù)y=exx的最小值是y=e，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤e.

評(píng)注 由gx1-gx2>λfx2-fx1化為gx1+λfx1>gx2+λfx2

是一種數(shù)學(xué)對(duì)稱美的體現(xiàn)，遇到類似的條件句朝著對(duì)稱的方向轉(zhuǎn)化.這樣一來，對(duì)于任意的x1>x2>0，總有g(shù)x1+λfx1>gx2+λfx2成立，就變成了φx1>φx2，這就轉(zhuǎn)化成為函數(shù)φx=gx+λfx在0，+SymboleB@上單調(diào)遞增，最終轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題.

例2 已知函數(shù)fx=-lnx-2x2+1，證明對(duì)于任意x1，x2∈0，+SymboleB@，不等式fx1-fx2≥4x1-x2恒成立.

證明 fx的定義域?yàn)?，+SymboleB@.f ′x=-1x-4x，因?yàn)閒 ′x=-1x-4x<0，所以fx在0，+SymboleB@上單調(diào)遞減.假設(shè)x1≥x2，fx1-fx2=fx2-fx1，則fx1-fx2≥4x1-x2fx2+4x2≥fx1+4x1，令gx=fx+4x=-lnx-2x2+1+4x，因?yàn)間′x=-4x2+4x-1x=-2x-12x≤0，所以gx在0，+SymboleB@上單調(diào)遞減，故gx1≤gx2.即不等式fx1-fx2≥4x1-x2恒成立.

評(píng)注 含有fx1-fx2的式子關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，可以利用單調(diào)性去絕對(duì)值符號(hào).即對(duì)于單調(diào)函數(shù)fx，若x1<x2，則fx1-fx2=fx2-fx1.若a≤x1<x2≤b，gx2>gx1在a，b上恒成立gx在a，b上單調(diào)遞增，所以g′x≥0在a，b恒成立.對(duì)于含有二元變量x1，x2的函數(shù)，可以使變量x1，x2分別位于不等號(hào)兩邊，呈現(xiàn)出不等式左右兩邊結(jié)構(gòu)一樣的對(duì)稱關(guān)系式，便于構(gòu)造函數(shù)模型取解決問題.

二、整體換元，構(gòu)造函數(shù)

例3 對(duì)任意不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，試證：

x1-x2lnx1-lnx2<x1+x22.

解析 x1-x2lnx1-lnx2<x1+x22，等價(jià)轉(zhuǎn)化為lnx1x2>2x1-x2x1+x2=2x1x2-1x1x2+1

不妨設(shè)x1>x2，令x1x2=t（t>1），構(gòu)造函數(shù)gt=lnt-2t-1t+1（t>1），求導(dǎo)得g′t=1t-4t+12=t-12tt+12，因?yàn)閠>1時(shí)，g′t>0，所以gt在1，+SymboleB@上為增函數(shù)，從而gt>g1=0，也就是lnx1x2>2x1x2-1x1x2+1成立.所以x1-x2lnx1-lnx2<x1+x22成立.

評(píng)注 此不等式是對(duì)數(shù)平均不等式，它的證明給我們提供了把二元變量x1，x2的函數(shù)變成一元變量的一種方法，即設(shè)x1=tx2，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為證明lnt>2t-1t+1（t>1）.利用這個(gè)不等式可解決很多極值點(diǎn)偏移的題目.

例4 已知0<a<1e，函數(shù)fx=xlnx-a2x2-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，分別為x1，x2，x1>x2>0.

（1）若gx=lnx-2x-1x+1（x>1），求函數(shù)gx的值域;

（2）證明：x1x2>e2.

解析 （1）由gx=lnx-2x-1x+1，則g′x=x-12xx+12>0，因?yàn)楹瘮?shù)gx在1，+SymboleB@單調(diào)遞增，所以gx>g1=0，函數(shù)gx的值域是0，+SymboleB@.（2）

f ′x=lnx-ax，x1，x2是fx的兩個(gè)極值點(diǎn)，可知x1，x2分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，設(shè)x1>x2，相加得

lnx1+lnx2=ax1+x2①

相減得lnx1-lnx2=ax1-x2②

即a=lnx1-lnx2x1-x2③

因此，要證明不等式x1x2>e2，等價(jià)于證明lnx1+lnx2>2，結(jié)合①，只需要證明

ax1+x2>2.結(jié)合③，只需要證明lnx1x2>2x1-x2x1+x2.令x1x2=t，則t>1，

lnx1x2>2x1x2-11+x1x2lnt>2t-1t+1.設(shè)gt=lnt-2t-1t+1，由典例1知，gt>0，即不等式lnt>2t-1t+1成立.所以lnx1x2>2x1x2-1x1x2+1，即lnx1x2>2x1-x2x1+x2，

故所證不等式x1x2>e2成立.

評(píng)注 要證明x1x2>e2，只需要證明lnx1+lnx2>2，而lnx1+lnx2=ax1+x2，只需要證明ax1+x2>2，因a=lnx1-lnx2x1-x2，所以只需要證明不等式lnx1x2>2x1-x2x1+x2成立.本題的解題方向和目標(biāo)就是證明不等式lnx1x2>2x1-x2x1+x2成立，可轉(zhuǎn)化為lnx1x2>2x1x2-1x1x2+1.這樣一來，就把二元變量轉(zhuǎn)化為一元變量問題，構(gòu)造新函數(shù)也就水到渠成了.

三、關(guān)注極值，借助偏移

例5 已知函數(shù)fx=x-2ex+3x-12有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)x1，x2是fx的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解析 由題意知f ′x=x-1ex+6x-1=x-1ex+6.因?yàn)閒x在-SymboleB@，1上單調(diào)遞減，在1，+SymboleB@上單調(diào)遞增，因此函數(shù)的唯一的極值點(diǎn)是x=1.構(gòu)造函數(shù)

Fx=fx-f2-x=x-2ex+3x-12--xe2-x+31-x2

=x-2ex+xe2-x.

F′x=ex+x-2ex+e2-x-xe2-x=x-1e2x-exex，當(dāng)x>1時(shí)，x-1>0，e2x-e2>0，F(xiàn)′x>0;當(dāng)x<1時(shí)，x-1<0，e2x-e2<0，F(xiàn)′x>0.

所以Fx=fx-f2-x在R上單調(diào)遞增.因?yàn)镕1=

f1-f2-1=0，所以當(dāng)x>1時(shí)，fx>f2-x，不妨設(shè)x1<1<x2，則fx2>f2-x2.所以fx1=fx2>f2-x2，即fx1>f2-x2.因?yàn)閤2>1，則2-x2<1，且x1<1，又因?yàn)閒x在-SymboleB@，1上單調(diào)遞減，所以x1<2-x2，即x1+x2<2.

評(píng)注 已知函數(shù)y=fx是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間x1，x2內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)x0（即y=fx為單峰函數(shù)）且fx1=fx2，若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同，函數(shù)的圖像不具有對(duì)稱性，常常有極值點(diǎn)x0≠x1+x22的情況，我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”.若fx1=fx2且x1+x2=2x0，則極值點(diǎn)無偏移;若fx1=fx2且x1+x2>2x0，則極值點(diǎn)x0向左偏移;若fx1=fx2且x1+x2<2x0，則極值點(diǎn)x0向右偏移.極值點(diǎn)偏移是高考導(dǎo)數(shù)部分的一個(gè)熱點(diǎn)，本題證明的思路：先求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間有兩個(gè)目的，求極值點(diǎn)，x=1確定極值點(diǎn)偏離方向，然后構(gòu)造函數(shù)Fx=fx-f2-x驗(yàn)證F1=0，根據(jù)Fx的單調(diào)性，目的是得x>1，fx>f2-x，最后明確fx1=fx2的作用，即在x2>1得到fx2>f2-x2的情況下，實(shí)現(xiàn)fx1&gt;f2-x2的轉(zhuǎn)化.

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造模型

例6 函數(shù)fx=x-3ex，對(duì)于任意x1，x2∈1，3有fx1-fx2≤a，則實(shí)數(shù)a的最小值為.

解析 令f ′x=0，解得x=2，因?yàn)閒1=-2e，f2=-e2，f3=0，所以fxmin=-e2，fxmax=0.又因?yàn)閷?duì)于任意x1，x2∈1，3，有fx1-fx2≤a，所以fxmax-fxmin≤a.因?yàn)閒xmax-fxmin=e2，所以a≥e2，故實(shí)數(shù)a的最小值為e2.

評(píng)注 fx1-fx2≤fxmax-fxminfxmin-fxmax≤fx1-fx2≤fxmax-fxmin.對(duì)于任意x1，x2∈D，fx1-fx2≤afxmax-fxmin≤a;fx1-fx2≥afxmin-fxmax≥a.

五、依據(jù)結(jié)構(gòu)，等價(jià)轉(zhuǎn)化

例7 已知函數(shù)fx=x+1x+a2，gx=x2-2ax+2aa-1.

（1）若任意x1，x2∈1a，a，a>1，總有fx1-fx2≤4成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

（2）若存在x1，x2∈1a，a，a>1，使得fx1-fx2≥4成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

（3）若存在x1，x2∈1a，a，a>1，使得fx1-gx2≤6成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析 由f ′x=1-1x2=x2-1x2=0，得x=1，x=-1（舍去）.當(dāng)f ′x>0時(shí)，x>1;當(dāng)f ′x<0時(shí)，0<x<1，所以fx在1a，1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增.故x=1時(shí)，fx的最小值是fxmin=f1=2+a2，fx的最大值是fxmax=fa=f1a=a+1a+a2.

（1）若任意x1，x2∈1a，a，a>1，總有fx1-fx2≤4，即fxmax-fxmin≤4，則a+1a+a2-2-a2≤4，即a2-6a+1≤0，解得3-22≤a≤3+22.又因?yàn)閍>1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，3+22.

（2）存在x1，x2∈1a，a，a>1，使得fx1-fx2≥4成立，即fxmax-fxmin≥4，則a2-6a+1≥0，且a>1，得a≥3+22，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3+22，+SymboleB@.

（3）gx=x2-2ax+2aa-1在1a，a上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值是ga=a2-2a.而fx的最小值是f1=2+a2a>1，且a2-2a<a2+2，所以存在x1，x2∈1a，a，a>1，使得fx1-gx2≤6成立，等價(jià)于fxmin-gxmax≤6，即a2+2-a2+2a≤6，解得1<a≤2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1<a≤2.

評(píng)注 對(duì)于任意的x1，x2，不等式fx2-fx1≤m恒成立的意義就是函數(shù)fx在區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)函數(shù)值相差都不超過m，即fxmax-fxmin≤m;而存在x1，x2，能滿足不等式fx2-fx1≥m的意義是函數(shù)fx在區(qū)間內(nèi)，至少存在兩個(gè)函數(shù)值相差超過m，即fxmax-fxmin≥m，若存在x1∈A，x2∈B，使得fx1-gx2≤m等價(jià)于gxmin-fxmax≤m，且fxmin-gxmax≤m.

六、任意存在，注意區(qū)別

例8 已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，fx=xlnx+a，gx=x2ex.

（1）若對(duì)任意x1∈1e，1，總存在x2∈-1，1使得fx1=gx2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）若對(duì)任意x1∈1e，1，總存在唯一的x2∈-1，1使得fx1=gx2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 因?yàn)閤≥1e，lnx≥-1，所以f ′x=lnx+1≥0，函數(shù)fx=xlnx+a在區(qū)間1e，1上單調(diào)遞增，所以-1e+a≤fx≤a，即x∈1e，1時(shí)，函數(shù)fx的值域?yàn)?1e+a，a.因?yàn)間′x=2x+x2ex，x∈-1，1，當(dāng)g′x>0時(shí)，0<x≤1;當(dāng)g′x<0時(shí)，-1≤x<0.所以gx在-1，0上單調(diào)遞減，在0，1上單調(diào)遞增，故gx在x=0處取得極小值0，且g-1=1e，g1=e，即x∈-1，1時(shí)，函數(shù)gx的值域是0，e.

（1）對(duì)任意x1∈1e，1，總存在x2∈-1，1使得fx1=gx2，即fx的值域是函數(shù)gx值域的子集，所以0≤-1e+aa≤e，解得1e≤a≤e.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1e≤a≤e.

（2）令y=fx1=m，則對(duì)任意x1∈1e，1，總存在唯一的x2∈-1，1使得fx1=gx2，等價(jià)于方程m=gx存在唯一的解x2，其中x2∈-1，1，則1e≤-1e+aa≤e，解得2e<a≤e.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2e<a≤e.

評(píng)注 若任意x1∈D1總存在x2∈D2使得fx1=gx2，實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，故此類問題利用值域可解;當(dāng)涉及x2的具體個(gè)數(shù)時(shí)，就不是單純依靠函數(shù)值域就能解決的.如若任意x1∈D1總存在唯一的x2∈D2使得fx1=gx2，函數(shù)gx在區(qū)間-1，1內(nèi)取一個(gè)與fx1相等的函數(shù)值，對(duì)應(yīng)的自變量的值x2是唯一的.從圖形上看，函數(shù)gx在區(qū)間-1，1上必須是單調(diào)的，且y=fx1與函數(shù)gx圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

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[責(zé)任編輯：李 璟]